Noll element

För annan användning av "Noll", se Noll (disambiguation) .

Inom matematiken är ett nollelement en av flera generaliseringar av talet noll till andra algebraiska strukturer . Dessa alternativa betydelser kan eller kanske inte reduceras till samma sak, beroende på sammanhanget.

Additiv identitet

En additiv identitet är identitetselementet i en additiv grupp . Det motsvarar elementet 0 så att för alla x i gruppen, 0 + x = x + 0 = x . Några exempel på additiv identitet inkluderar:

• Nollvektorn under vektoraddition : vektorn med längden 0 och vars komponenter alla är 0. Betecknas ofta som { $\displaystyle \mathbf {0} }$ eller ${\vec {0}}$ .
• Nollfunktionen eller nollavbildningen definierad av z ( x ) = 0 , under punktvis addition ( f + ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) g
• Den tomma uppsättningen under set union
• En tom summa eller tom biprodukt
• Ett initialt objekt i en kategori (en tom samprodukt, och så en identitet under samprodukter )

Absorberande element

Ett absorberande element i en multiplikativ semigrupp eller semiring generaliserar egenskapen 0 ⋅ x = 0 . Exempel inkluderar:

• Den tomma mängden , som är ett absorberande element under kartesisk produkt av mängder, eftersom { } × S = { }
• Nollfunktionen eller nollavbildningen definierad av z ( x ) = 0 under punktvis multiplikation ( f ⋅ g ) ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x )

Många absorberande element är också additiva identiteter, inklusive den tomma uppsättningen och nollfunktionen. Ett annat viktigt exempel är det distinguerade elementet 0 i ett fält eller ring , som är både den additiva identiteten och det multiplikativa absorberande elementet, och vars huvudideal är det minsta idealet.

Noll objekt

Ett nollobjekt i en kategori är både ett initialt och ett slutobjekt (och alltså en identitet under både samprodukter och produkter ). Till exempel är den triviala strukturen (som endast innehåller identiteten) ett nollobjekt i kategorier där morfismer måste kartlägga identiteter till identiteter. Specifika exempel inkluderar:

• Den triviala gruppen , som endast innehåller identiteten (ett nollobjekt i kategorin grupper )
• Nollmodulen , som endast innehåller identiteten (ett nollobjekt i kategorin moduler över en ring)

Noll morfismer

En nollmorfism i en kategori är ett generaliserat absorberande element under funktionssammansättning : varje morfism sammansatt med en nollmorfism ger en nollmorfism. Specifikt, om 0 _XY : X → Y är nollmorfismen bland morfismer från X till Y , och f : A → X och g : Y → B är godtyckliga morfismer, då g ∘ 0 _XY = 0 _XB och 0 _XY ∘ f = 0 _AY .

0 Om en kategori har ett nollobjekt , så finns det kanoniska morfismer X → 0 och 0 → Y , och att sammansätta dem ger en nollmorfism 0 _XY : X → Y. I kategorin grupper , till exempel, är nollmorfismer morfismer som alltid returnerar gruppidentiteter, vilket generaliserar funktionen z ( x ) = 0.

Minst element

Ett minsta element i en partiellt ordnad mängd eller ett gitter kan ibland kallas ett nollelement och skrivas antingen som 0 eller ⊥.

Noll modul

I matematik är nollmodulen den modul som endast består av den additiva identiteten för modulens additionsfunktion . I heltal är denna identitet noll , vilket ger namnet nollmodul . Att nollmodulen i själva verket är en modul är enkelt att visa; den stängs under addition och multiplikation trivialt.

Noll ideal

I matematik är nollidealet i en ring R {\displaystyle R} idealet { } { $displaystyle$zero \ $\{0\}$ consisting of only the additive identity (or zero element). The fact that this is an ideal follows directly from the definition.

Noll matris

Huvudartikel: Nollmatris

Inom matematiken , särskilt linjär algebra , är en nollmatris en matris där alla dess poster är noll . Den betecknas växelvis med symbolen $O$ . Några exempel på nollmatriser är

$0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2, 2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\$

Mängden m × n matriser med poster i en ring K bildar en modul $K_{m,n}$ . Nollmatrisen $0_{K_{m,n}}$ i $K_{m,n}$ är matrisen med alla poster lika med $0_{K }$ , där $0_{K}$ är den additiva identiteten i K .

$\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}& \cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K} \end{bmatrix}}}$

Nollmatrisen är den additiva identiteten i $K_{m,n}$ . Det vill säga för alla $A\in K_{m,n}$ :

$0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A$

Det finns exakt en nollmatris av vilken storlek som helst m × n (med poster från en given ring), så när sammanhanget är tydligt hänvisar man ofta till nollmatrisen . I allmänhet är nollelementet i en ring unikt, och vanligtvis betecknat som 0 utan någon sänkning för att indikera den överordnade ringen. Därför representerar exemplen ovan nollmatriser över valfri ring.

Nollmatrisen representerar också den linjära transformationen som skickar alla vektorer till nollvektorn.

Noll tensor

Inom matematiken är nolltensoren en tensor av vilken ordning som helst, vars alla komponenter är noll . Nolltensorn av ordning 1 är ibland känd som nollvektorn.

Att ta en tensorprodukt av vilken tensor som helst med vilken som helst nolltensor resulterar i en annan nolltensor. Att lägga till nolltensorn motsvarar identitetsoperationen.

Se även

• Noll semigrupp
• Nolldelare
• Noll objekt
• Noll av en funktion
• Noll — icke-matematisk användning