Normal undergrupp

I abstrakt algebra är en normal undergrupp (även känd som en invariant undergrupp eller självkonjugerad undergrupp ) en undergrupp som är invariant under konjugering av medlemmar i gruppen som den är en del av. Med andra ord, en undergrupp i gruppen är normal i om och endast om för alla och Den vanliga notationen för denna relation är

Normala undergrupper är viktiga eftersom de (och bara de) kan användas för att konstruera kvotgrupper för den givna gruppen. Dessutom är de normala undergrupperna av just kärnorna i grupphomomorfismer med domänen vilket betyder att de kan användas för att internt klassificera dessa homomorfismer.

Évariste Galois var den första som insåg vikten av att det finns normala undergrupper.

Definitioner

En undergrupp i en grupp kallas en normal undergrupp av om den är invariant under konjugering ; det vill säga, konjugeringen av ett element av med ett element av är alltid i Den vanliga notationen för denna relation är

Likvärdiga förhållanden

För varje undergrupp av motsvarar följande villkor att är en normal undergrupp av Därför kan vilken som helst av dem tas som definition:

  • Bilden av konjugering av med något element av är en delmängd av
  • Bilden av konjugering av med valfritt element i är lika med
  • För alla vänster och höger coset och lika.
  • Uppsättningarna av vänster och höger coset av i sammanfaller.
  • Produkten av ett element av den vänstra coseten av med avseende på och ett element av den vänstra coseten av med avseende på är en element i den vänstra coseten av med avseende på : för alla om och
  • är en förening av konjugationsklasser av
  • bevaras av de inre automorfismerna hos
  • Det finns någon grupphomomorfism vars kärna är
  • Det finns en viss kongruensrelation för vilken ekvivalensklassen för identitetselementet är .
  • För alla och är kommutatorn [ är i [ citat behövs ]
  • Alla två element pendlar angående den normala undergruppsmedlemskapsrelationen. Det vill säga för alla om och endast om [ citat behövs ]

Exempel

För vilken grupp triviala undergruppen som bara består av identitetselementet för alltid en normal undergrupp av På samma sätt är själv alltid en normal undergrupp av (Om dessa är de enda normala undergrupperna, så sägs enkel .) Andra namngivna normala undergrupper i en godtycklig grupp inkluderar mitten av gruppen (uppsättningen av element som pendlar med alla andra element) och kommutatorundergruppen Mer generellt, eftersom konjugering är en isomorfism, är varje karakteristisk undergrupp en normal undergrupp.

Om är en abelsk grupp så är varje undergrupp av normal, eftersom en Hamiltonsk grupp .

Ett konkret exempel på en normal undergrupp är undergruppen i den symmetriska gruppen bestående av identiteten och båda trecyklerna. I synnerhet kan man kontrollera att varje coset av antingen är lika med själv eller är lika med Å andra sidan är undergruppen är inte normalt i eftersom undergrupp i index två är normalt.

I Rubiks kub-gruppen är undergrupperna som består av operationer som endast påverkar orienteringen av antingen hörnbitarna eller kantbitarna normala.

Översättningsgruppen är en normal undergrupp av den euklidiska gruppen oavsett dimension . Detta betyder: att tillämpa en stel transformation, följt av en translation och sedan den inversa stela transformationen, har samma effekt som en enkel translation. Däremot är undergruppen av alla rotationer kring ursprunget inte en normal undergrupp av den euklidiska gruppen, så länge dimensionen är minst 2: först att översätta, sedan rotera runt ursprunget och sedan översätta tillbaka kommer vanligtvis inte att fixa ursprunget och kommer därför inte att ha samma effekt som en enda rotation kring ursprunget.

Egenskaper

  • Om en normal undergrupp av och är en undergrupp av som innehåller då är en normal undergrupp av
  • En normal undergrupp av en normal undergrupp i en grupp behöver inte vara normal i gruppen. Det vill säga, normalitet är inte en transitiv relation . Den minsta gruppen som uppvisar detta fenomen är den dihedriska gruppen av ordning 8. En karakteristisk undergrupp av en normal undergrupp är dock normal. En grupp där normaliteten är transitiv kallas en T-grupp .
  • De två grupperna och är normala undergrupper av deras direkta produkt
  • Om gruppen är en halvdirekt produkt så är normal i även om behöver inte vara normal i
  • Om och är normala undergrupper av en additiv grupp så att och , sedan
  • Normalitet bevaras under surjektiva homomorfismer; det vill säga om är en surjektiv grupphomomorfism och är normal i då bilden är normal i
  • Normalitet bevaras genom att ta omvända bilder ; det vill säga om är en grupphomomorfism och är normal i så är den omvända bilden är normal i
  • Normalitet bevaras vid intag av direkta produkter ; det vill säga om och
  • Varje undergrupp av index 2 är normal. Mer generellt innehåller en undergrupp, av ändligt index, i en undergrupp, normal i och index som delar kallas den normala kärnan . I synnerhet, om är det minsta primtal som delar ordningen av så är varje undergrupp av index normal.
  • Det faktum att normala undergrupper av är just kärnorna i grupphomomorfismer definierade på står för en del av betydelsen av normala undergrupper; de är ett sätt att internt klassificera alla homomorfismer definierade på en grupp. Till exempel är en ändlig grupp med icke-identitet enkel om och bara om den är isomorf för alla sina homomorfa bilder med icke-identitet, en ändlig grupp är perfekt om och endast om den inte har några normala undergrupper av primtalsindex , och en grupp är imperfekt om och endast om den härledda undergruppen inte kompletteras med någon riktig normal undergrupp.

Gitter av normala undergrupper

Givet två normala undergrupper, och av deras skärningspunkt och deras produkt är också normala undergrupper av

De normala undergrupperna av bildar ett gitter under delmängdsinkludering med minsta element , och största element , Mötet mellan två normala undergrupper, och i detta gitter är deras skärningspunkt och sammanfogningen är deras produkt.

Gallret är komplett och modulärt .

Normala undergrupper, kvotgrupper och homomorfismer

Om är en normal undergrupp, kan vi definiera en multiplikation på cosets enligt följande:

Denna relation definierar en mappning För att visa att denna mappning är väldefinierad måste man bevisa att valet av representativa element påverkar inte resultatet. För detta ändamål, betrakta några andra representativa element Sedan finns det så att Det följer att
där vi också använde det faktum att är en normal undergrupp, och därför finns det så att Detta bevisar att denna produkt är en väldefinierad mappning mellan cosets.

Med denna operation är uppsättningen av coset i sig en grupp, kallad kvotgrupp och betecknad med Det finns en naturlig homomorfism , given av Denna homomorfism mappar till identitetselementet för som är coseten vill säga

I allmänhet skickar en grupphomomorfism, undergrupper av till undergrupper av Dessutom är förbilden för en undergrupp av en undergrupp av Vi kallar förbilden av trivialgruppen i för homomorfismens kärna och betecknar den med Som det visar sig är kärnan alltid normal och bilden av är alltid isomorf till (den första isomorfismens sats ) . Faktum är att denna överensstämmelse är en bijektion mellan mängden av alla kvotgrupper av och mängden av alla homomorfa bilder av ( upp till isomorfism ). Det är också lätt att se att kärnan i kvotmappen, är själva , så de normala undergrupperna är exakt kärnorna av homomorfismer med domän

Normala undergrupper och Sylow-satsen

Den andra Sylow-satsen säger: Om och är Sylow p-undergrupper till en grupp , så finns det såsom att

Det finns en direkt följd av satsen ovan: Låt vara en finit grupp och en Sylow p-undergrupp för något primtal . Då normal i om och endast om är den enda Sylow p-undergruppen i .

Se även

Anteckningar

  • Bergvall, Olof; Hynning, Elin; Hedberg, Mikael; Mickelin, Joel; Masawe, Patrick (16 maj 2010). "På Rubiks kub" (PDF) . KTH . {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )
  •   Cantrell, CD (2000). Moderna matematiska metoder för fysiker och ingenjörer . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59180-5 .
  • Dõmõsi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2004). Algebraisk teori om automatnätverk . SIAM monografier om diskret matematik och tillämpningar. SIAM.
  •   Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstrakt algebra (3:e upplagan). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9 .
  •   Fraleigh, John B. (2003). En första kurs i abstrakt algebra (7:e upplagan). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-15608-2 .
  •   Hall, Marshall (1999). Theory of Groups . Providence: Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-1967-8 .
  • Hungerford, Thomas (2003). Algebra . Examentexter i matematik. Springer.
  • Hungerford, Thomas (2013). Abstrakt algebra: en introduktion . Brooks/Cole Cengage Learning.
  • Judson, Thomas W. (2020). Abstrakt algebra: teori och tillämpningar .
  •    Robinson, Derek JS (1996). En kurs i gruppteori . Examentexter i matematik. Vol. 80 (andra upplagan). Springer-Verlag . ISBN 978-1-4612-6443-9 . Zbl 0836.20001 .
  •   Thurston, William (1997). Levy, Silvio (red.). Tredimensionell geometri och topologi, vol. 1 . Princeton Mathematical Series. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08304-9 .
  •    Bradley, CJ (2010). Den matematiska teorin om symmetri i fasta ämnen: representationsteori för punktgrupper och rymdgrupper . Oxford New York: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7 . OCLC 859155300 .

Vidare läsning

  • IN Herstein , Ämnen i algebra. Andra upplagan. Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ont., 1975. xi+388 s.

externa länkar