Multiplikativ grupp

I matematik och gruppteori hänvisar termen multiplikativ grupp till ett av följande begrepp:

gruppen , under multiplikation av de inverterbara elementen i ett fält ring eller annan struktur för vilken en av dess operationer kallas multiplikation . I fallet med ett fält F är gruppen ( F ∖ {0}, •) , där 0 hänvisar till nollelementet i F och den binära operationen • är fältmultiplikationen ,
den algebraiska torusen GL(1). ^{[ förtydligande behövs ]} .

Exempel

Den multiplikativa gruppen av heltal modulo n är gruppen under multiplikation av de inverterbara elementen i $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ . När n inte är primtal finns det andra element än noll som inte är inverterbara.
Den multiplikativa gruppen av positiva reella tal $\mathbb {R} ^{+}$ är en abelsk grupp med 1 dess identitetselement . Logaritmen är en gruppisomorfism av denna grupp till den additiva gruppen av reella tal, $\displaystyle \mathbb {R} }$ { .
Den multiplikativa gruppen för ett fält $F$ är mängden av alla element som inte är noll: ${\displaystyle F^{\times }=F-\{0\}} ,$ under multiplikationsoperationen . Om $F$ är ändlig av ordningen q (till exempel q = p ett primtal, och $F=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z } /p\mathbb {Z}$ ), då är den multiplikativa gruppen cyklisk: $F^{\times }\cong C_{q-1}$ .

Gruppschema för enhetens rötter

Gruppschemat av n: te enhetsrötter är per definition kärnan i n -potenskartan på den multiplikativa gruppen GL(1), betraktad som ett gruppschema . Det vill säga, för vilket heltal som helst n > 1 kan vi betrakta morfismen på den multiplikativa gruppen som tar n -te potenser, och ta en lämplig fiberprodukt av scheman , med morfismen e som fungerar som identitet.

Det resulterande gruppschemat skrivs μ _n (eller ${\displaystyle \mu \!\!\mu _{n}} )$ . Det ger upphov till ett reducerat schema , när vi tar det över ett fält K , om och endast om egenskapen för K inte delar n . Detta gör det till en källa till några nyckelexempel på icke-reducerade system (scheman med nilpotenta element i sina strukturskivor ); till exempel μ _p över ett ändligt fält med p element för valfritt primtal p .

Detta fenomen är inte lätt att uttrycka i det klassiska språket för algebraisk geometri. Till exempel visar det sig vara av stor betydelse för att uttrycka dualitetsteorin om abelska varieteter i karakteristisk p (teori om Pierre Cartier ). Galois-kohomologin för detta gruppschema är ett sätt att uttrycka Kummers teori .

Anteckningar

^ Se Hazewinkel et al. (2004), sid. 2.
^ Milne, James S. (1980). Étale kohomologi . Princeton University Press. s. xiii, 66.

Michiel Hazewinkel , Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebror, ringar och moduler . Volym 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0

Se även

[1] Se Hazewinkel et al. (2004), sid. 2.

[2] Milne, James S. (1980). Étale kohomologi . Princeton University Press. s. xiii, 66.