Cauchys sats (gruppteori)

Inom matematiken , särskilt gruppteorin , säger Cauchys sats att om $G$ är en finit grupp och $p$ är ett primtal som delar ordningen av $G$ (antalet element i $G$ ), så innehåller $G$ ett element av ordningen $p$ . Det vill säga, det finns $x$ i $G$ så att $p$ är det minsta positiva heltal med $x$ ^$p$ = $e$ , där $e$ är identitetselementet för $G$ . Den är uppkallad efter Augustin-Louis Cauchy , som upptäckte den 1845.

Satsen är relaterad till Lagranges sats , som säger att ordningen för varje undergrupp av en ändlig grupp $G$ delar ordningen av $G$ . Cauchys sats antyder att för varje primtal divisor $p$ av ordningen $G$ finns det en undergrupp av $G$ vars ordning är $p$ — den cykliska grupp som genereras av elementet i Cauchys sats.

Cauchys sats är generaliserad av Sylows första sats , vilket innebär att om $p$ ^$n$ är den maximala potensen av $p$ som dividerar ordningen på $G$ , så har $G$ en undergrupp av ordningen $p$ ^$n$ (och med det faktum att en $p$ -grupp är lösbar , en kan visa att $G$ har undergrupper av ordningen $p$ ^$r$ för vilken $r som helst$ mindre än eller lika med $n$ ).

Uttalande och bevis

Många texter bevisar satsen med hjälp av stark induktion och klassekvationen , även om det krävs betydligt mindre maskiner för att bevisa satsen i det abelska fallet. Man kan också åberopa gruppåtgärder för bevisningen.

Cauchys sats — Låt $G$ vara en finit grupp och $p$ vara ett primtal . Om $p$ delar ordningen av $G$ , så har $G$ ett element av ordningen $p$ .

Bevis 1

Vi bevisar först det speciella fallet att där $G$ är abel , och sedan det allmänna fallet; båda bevisen är genom induktion på $n$ = | $G$ |, och har som startfall $n$ = $p$ vilket är trivialt eftersom alla icke-identitetselement nu har ordningen $p$ . Antag först att $G$ är abelsk. Ta alla icke-identitetselement $a$ och låt $H$ vara den cykliska grupp som den genererar. Om $p$ delar | $H$ |, sedan $en$ ^{| $H$ |/ $p$} är ett element av ordningen $p$ . Om $p$ inte delar | $H$ |, sedan delar den ordningen [ $G$ : $H$ ] av kvotgruppen $G$ / $H$ , som därför innehåller ett element av ordningen $p$ av den induktiva hypotesen. Det elementet är en klass $xH$ för vissa $x$ i $G$ , och om $m$ är ordningen av $x$ i $G$ , så ger $x$ ^$m$ = $e$ i $G ($ $xH$ ) ^$m$ = $eH$ i $G$ / $H$ , så $p$ delar $m$ ; som tidigare $x$ ^{$m$ / $p$} nu ett element av ordningen $p$ i $G$ , vilket kompletterar beviset för det abelska fallet.

I det allmänna fallet, låt $Z$ vara mitten av $G$ , som är en abelsk undergrupp. Om $p$ delar | $Z$ |, sedan innehåller $Z$ ett element av ordningen $p$ i fallet med abelska grupper, och detta element fungerar också för $G.$ Så vi kan anta att $p$ inte delar ordningen av $Z$ . Eftersom $p$ delar | $G$ |, och $G$ är den disjunkta föreningen av $Z$ och av konjugationsklasserna av icke-centrala element, det finns en konjugationsklass av ett icke-centralt element $a$ vars storlek inte är delbar med $p$ . Men klassekvationen visar att storleken är [ $G$ : $C$ _$G$ ( $a$ )], så $p$ delar ordningen på centraliseraren $C$ _$G$ ( $a$ ) av $a$ i $G$ , vilket är en riktig undergrupp eftersom $a$ inte är central. Denna undergrupp innehåller ett element av ordningen $p$ av den induktiva hypotesen, och vi är klara.

Bevis 2

Detta bevis använder det faktum att för varje åtgärd av en (cyklisk) grupp av prime order $p$ , är de enda möjliga omloppsstorlekarna 1 och $p$ , vilket är omedelbart från omloppsstabilisatorsatsen .

Uppsättningen som vår cykliska grupp ska agera på är uppsättningen

X=\{\,(x_{1},\ldots ,x_{p})\ i G^{p}:x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e\,\}

av $p$ -tuplar av element i $G$ vars produkt (i ordning) ger identiteten. En sådan $p$ -tupel bestäms unikt av alla dess komponenter utom den sista, eftersom det sista elementet måste vara inversen av produkten av de föregående elementen. Man ser också att de $p$ − 1 elementen kan väljas fritt, så $X$ har | $G$ | ^{$p$ −1} element, som är delbart med $p$ .

Nu av det faktum att i en grupp om $ab$ = $e$ då också $ba$ = $e$ , följer det att varje cyklisk permutation av komponenterna i ett element av $X$ återigen ger ett element av $X$ . Därför kan man definiera en verkan av den cykliska gruppen $C$ _$p$ av ordningen $p$ på $X$ genom cykliska permutationer av komponenter, med andra ord där en vald generator av $C$ _$p$ skickar

(x_{1},x_{2},\ldots,x_{p})\mapsto ( x_{2},\ldots ,x_{p},x_{1})

.

Som påpekats har banor i $X$ under denna åtgärd antingen storlek 1 eller storlek $p$ . Det förra händer just för de tupler $(x,x,\ldots ,x)$ för vilka $x^{p}=e$ . Om man räknar elementen i $X$ med banor och reducerar modulo $p$ , ser man att antalet element som uppfyller $x^{p}=e$ är delbart med $p$ . Men $x$ = $e$ är ett sådant element, så det måste finnas åtminstone $p$ − 1 andra lösningar för $x$ , och dessa lösningar är element av ordningen $p$ . Detta fullbordar beviset.

Används

En praktiskt taget omedelbar konsekvens av Cauchys sats är en användbar karakterisering av finita $p$ -grupper , där $p$ är ett primtal. Speciellt är en finit grupp ^$G$ $en$ p $-$ grupp (dvs alla dess element har ordningen $pk$ för något naturligt tal $k$ ) om och endast om $G$ har ordningen $p$ ^$n$ för något naturligt tal $n$ . Man kan använda det abelska fallet med Cauchys sats i ett induktivt bevis för den första av Sylows satser, liknande det första beviset ovan, även om det också finns bevis som undviker att göra detta specialfall separat.

Exempel 1

Låt $G$ vara en finit grupp där $x 2 = e$ för alla element $x$ i $G$ . Då $G$ ordningen $2 n$ för något icke-negativt heltal $n$ . Låt $| G |$ lika $m$ . I fallet med $m$ är 1, då $G = {e}$ . I fallet $m \geq 2$ , om $m$ har den udda primtalsfaktorn $p$ , har $G$ elementet $x$ där $x p = e$ från Cauchys sats. Det strider mot antagandet. Därför måste $m vara$ $2 n$ . $G$ är en abelsk grupp, och $G$ kallas en elementär abelsk 2-grupp eller boolesk grupp . Det välkända exemplet är Klein four-group .

Exempel 2

En abelisk enkel grupp är antingen ${e}$ eller cyklisk grupp $C p$ vars ordning är ett primtal $p$ . Låt $G är en abelsk grupp, då$ är alla undergrupper av $G$ normala undergrupper . Så, om $G$ är en enkel grupp, har $G$ endast normal undergrupp som antingen är ${e}$ eller $G$ . Om $| G | = 1$ , då är $G$ ${e}$ . Det är lämpligt. Om $| G | \geq 2$ , låt $a \in G$ inte är $e$ , den cykliska gruppen $\langle a\rangle$ är undergrupp till $G$ och $\langle a\rangle$ är inte ${e}$ , då $G=\langle a\rangle .$ Låt $n$ vara ordningen av $\langle a\rangle$ . Om $n$ är oändligt, då

G=\langle a\rangle \supsetneqq \langle a^{2}\rangle \supsetneqq \{e\}.

Så i det här fallet är det inte lämpligt. Då $n$ ändlig. Om $n$ är sammansatt är $n$ delbart med primtal $q$ som är mindre än $n$ . Från Cauchys sats kommer undergruppen $H$ att finnas vars ordning är $q$ , den är inte lämplig. Därför $n$ vara ett primtal.

Anteckningar

Cauchy, Augustin-Louis (1845), "Mémoire sur les arrangemang que l'on peut tidigare avec des lettres données, et sur les permutations ou substitutions à l'aide desquelles on passe d'un arrangement à un autre" , Exercises d ' analys et de physique mathématique , Paris, 3 : 151–252
Cauchy, Augustin-Louis (1932), "Oeuvres complètes" (PDF) , Lilliad - Université de Lille - Sciences et Technologies , andra serien (omtryckt utg.), Paris: Gauthier-Villars, 13 : 171–282
Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic Algebra , Dover Books on Mathematics, vol. I (andra upplagan), Dover Publications , sid. 80, ISBN 978-0-486-47189-1
McKay, James H. (1959), "Another proof of Cauchy's group theorem", American Mathematical Monthly , 66 (2): 119, CiteSeerX 10.1.1.434.3544 , doi : 10.2307/2310010 , JSTOR 701 9bl , JSTOR 701 9bl . 0082.02601
Meo, M. (2004), "The matematical life of Cauchy's group theorem" , Historia Mathematica , 31 (2): 196–221, doi : 10.1016/S0315-0860(03)00003-X

externa länkar

"Cauchys teorem" . PlanetMath .
"Bevis för Cauchys sats" . PlanetMath .