Langlands klassificering

Inom matematik är Langlands -klassificeringen en beskrivning av de irreducibla representationerna av en reduktiv Lie-grupp G , föreslagen av Robert Langlands (1973). Det finns två lite olika versioner av Langlands-klassificeringen. En av dessa beskriver de irreducerbara tillåtna ( g , K ) -modulerna , för g en Lie-algebra för en reduktiv Lie-grupp G , med maximal kompakt undergrupp K , i termer av tempererade representationer av mindre grupper. De härdade representationerna klassificerades i sin tur av Anthony Knapp och Gregg Zuckerman . Den andra versionen av Langlands-klassificeringen delar upp de irreducibla representationerna i L-paket och klassificerar L-paketen i termer av vissa homomorfismer av Weil-gruppen av R eller C i Langlands dubbla grupp .

Notation

g är Lie-algebra för en verklig reduktiv Lie-grupp G i Harish-Chandra-klassen .
K är en maximal kompakt undergrupp av G , med Lie algebra k .
ω är en kartaninvolution av G , som fixerar K .
p är −1 egenutrymmet för en Cartan-involution av g .
a är ett maximalt abeliskt delrum av p .
Σ är rotsystemet för a in g .
Δ är en uppsättning enkla rötter till Σ.

Klassificering

Langlands-klassificeringen anger att de irreducerbara tillåtna representationerna av ( g , K ) parametriseras av trippel

( F , σ,λ)

var

F är en delmängd av Δ
Q är den standardparaboliska undergruppen av F , med Langlands nedbrytning Q = MAN
σ är en irreducerbar tempererad representation av den halvenkla Lie-gruppen M (upp till isomorfism)
λ är ett element av Hom( a _F , C ) med α(Re(λ))>0 för alla enkla rötter α inte i F .

Närmare bestämt är den irreducerbara tillåtna representationen som ges av data ovan den irreducerbara kvoten av en paraboliskt inducerad representation.

För ett exempel på Langlands-klassificeringen, se representationsteorin för SL2(R) .

Variationer

Det finns flera mindre variationer av Langlands-klassificeringen. Till exempel:

Istället för att ta en irreducerbar kvot kan man ta en irreducerbar submodul.
Eftersom tempererade representationer i sin tur ges som vissa representationer inducerade från diskreta serier eller gräns för diskreta serierepresentationer, kan man göra båda induktioner på en gång och få en Langlands-klassificering parametriserad av diskreta serier eller gräns för diskreta serierepresentationer istället för tempererade representationer. Problemet med att göra detta är att det är svårt att avgöra när två irreducerbara representationer är lika.

Adams, Jeffrey; Barbasch, Dan; Vogan, David A. (1992), The Langlands classification and irreducible characters for real reductive groups , Progress in Mathematics, vol. 104, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3634-0 , MR 1162533
EP van den Ban, Induced representations and the Langlands classification, i ISBN 0-8218-0609-2 (T. Bailey och AW Knapp, red.).
Borel, A. och Wallach, N. Kontinuerlig kohomologi, diskreta undergrupper och representationer av reduktiva grupper . Andra upplagan. Mathematical Surveys and Monographs, 67. American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. xviii+260 s. ISBN 0-8218-0851-6
Langlands, Robert P. (1989) [1973], "Om klassificeringen av irreducible representationer av verkliga algebraiska grupper", i Sally, Paul J.; Vogan, David A. (red.), Representation theory and harmonic analysis on semisimple Lie groups , Math. Surveys Monogr., vol. 31, Providence, RI: American Mathematical Society , s. 101–170, ISBN 978-0-8218-1526-7 , MR 1011897
Vogan, David A. (2000), "A Langlands classification for unitary representations" (PDF) , i Kobayashi, Toshiyuki; Kashiwara, Masaki ; Matsuki, Toshihiko; Nishiyama, Kyo; Oshima, Toshio (red.), Analysis on homogeneous spaces and representation theory of Lie groups, Okayama--Kyoto (1997) , Adv. Hingst. Pure Math., vol. 26, Tokyo: Matte. Soc. Japan, s. 299–324, ISBN 978-4-314-10138-7 , MR 1770725
D. Vogan, Representations of real reductive Lie groups , ISBN 3-7643-3037-6