Direkt produkt av grupper

Inom matematiken , specifikt i gruppteorin , är den direkta produkten en operation som tar två grupper $G$ och $H$ och konstruerar en ny grupp, vanligtvis betecknad $G \times H.$ Denna operation är den gruppteoretiska analogen till den kartesiska produkten av mängder och är en av flera viktiga föreställningar om direkt produkt i matematik.

I sammanhanget av abelska grupper , kallas den direkta produkten ibland som den direkta summan och betecknas $G\oplus H$ . Direkta summor spelar en viktig roll i klassificeringen av abelska grupper: enligt den grundläggande satsen för ändliga abelska grupper kan varje ändlig abelisk grupp uttryckas som den direkta summan av cykliska grupper .

Definition

Givet grupperna $G$ (med operation $*$ ) och $H$ (med operation $∆ ),$ definieras den direkta produkten $G \times H enligt följande:$

Den underliggande uppsättningen är den kartesiska produkten, $G \times H$ . Det vill säga de ordnade paren $(g, h)$ , där $g \in G$ och $h \in H$ .
Den binära operationen på $G \times H$ definieras komponentmässigt:
$(g 1, h 1) \cdot (g 2, h 2) = (g 1 * g 2, h 1 ∆ h 2)$

Det resulterande algebraiska objektet uppfyller axiomen för en grupp. Specifikt:

Associativitet: Den binära operationen på $G \times H$ är associativ .
Identitet: Den direkta produkten har ett identitetselement , nämligen $(1 G 1 H)$ , , där $1 G$ är identitetselementet för $G$ och $1 H$ är identitetselementet för $H.$
Inverser: Inversen av ett element $(g, h)$ av $G \times H$ är paret $(g -1, h -1)$ , där $g -1$ är inversen av $g$ i $G$ och $h -1$ är inversen av $h$ i $H$ .

Exempel

Låt $R$ vara gruppen av reella tal under addition . Då är den direkta produkten $R \times R$ gruppen av alla tvåkomponentsvektorer ( $x, y) under$ vektoradditionens operation :

_(x 1, y 1) + (x 2, y 2) = (x 1 + x 2 ) y 1 + y 2)

.

Låt $R +$ vara gruppen av positiva reella tal under multiplikation. Då är den direkta produkten $R + \times R +$ gruppen av alla vektorer i den första kvadranten under operationen av komponentvis multiplikation (

x 1, y 1) \times (x 2, y 2) = (x 1 \times x 2, y 1 \times y 2)

.

Låt $G$ och $H$ vara cykliska grupper med två element vardera:

$G$

* 1 a

1 1 a

a a 1
$H$

* 1 b

1 1 b

b b 1

är den direkta produkten $G \times H$ isomorf till Klein-fyragruppen :

$G\ gånger H$
*	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(a,b)
(1,1)	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(a,b)
(a,1)	(a,1)	(1,1)	(a,b)	(1,b)
(1,b)	(1,b)	(a,b)	(1,1)	(a,1)
(a,b)	(a,b)	(1,b)	(a,1)	(1,1)

Elementära egenskaper

Den direkta produkten är kommutativ och associativ upp till isomorfism. Det vill säga $G \times H ≅ H \times G$ och $(G \times H) \times K ≅ G \times (H \times K)$ för alla grupper $G$ , $H$ och $K$ .
Den triviala gruppen är identitetselementet i den direkta produkten, upp till isomorfism. Om $E$ betecknar den triviala gruppen, $G ≅ G \times E ≅ E \times G$ för alla grupper $G$ .
Ordningen för en direkt produkt $G \times H$
$är G \times H | = | G | | H |$ .
produkten av ordningarna av $G$ och $H$ : | Detta följer av formeln för kardinalitet av den kartesiska produkten av mängder.
Ordningen för varje element $(g, h)$ är den minsta gemensamma multipeln av ordningsföljden $g$ och $h$ :
$| (g, h) | = lcm (| g |, | h |)$ .
I synnerhet om $| g |$ och $| h |$ är relativt primtal , då är ordningen av $(g, h)$ produkten av ordningen $g$ och $h$ .
Som en konsekvens, om $G$ och $H$ är cykliska grupper vars ordningsföljder är relativt prime, så är $G \times H$ också cyklisk. Det
$(Z / mZ \times (Z / nZ) ≅ Z / mnZ . vill är$ )
säga, om $m$ och $n$ relativt primtal, då Detta faktum är nära relaterat till den kinesiska restsatsen .

Algebraisk struktur

Låt $G$ och $H$ vara grupper, låt $P = G \times H$ , och betrakta följande två delmängder av $P$ :

G' = { (g, 1 ) : g \in G}

och

H' = { (1, h) : h \in H}

.

Båda dessa är i själva verket undergrupper av $P$ , den första är isomorf till $G$ och den andra är isomorf till $H$ . Om vi identifierar dessa med $G$ respektive $H$ , så kan vi tänka oss att den direkta produkten $P$ innehåller de ursprungliga grupperna $G$ och $H$ som undergrupper.

Dessa undergrupper av $P$ har följande tre viktiga egenskaper: (Återigen säger att vi identifierar $G'$ och $H'$ med $G$ respektive $H$ .)

Skärningen $G \cap H$ är trivial . _
Varje element av $P$ kan uttryckas unikt som produkten av ett element av $G$ och ett element av $H$ .
Varje element i $G$ pendlar med varje element i $H$ .

Tillsammans bestämmer dessa tre egenskaper helt den algebraiska strukturen för den direkta produkten $P$ . Det vill säga, om $P$ är någon grupp som har undergrupperna $G$ och $H$ som uppfyller egenskaperna ovan, så är $P$ nödvändigtvis isomorf till den direkta produkten av $G$ och $H.$ I denna situation hänvisas ibland $P till som den$ interna direkta produkten av dess undergrupper $G$ och $H$ .

I vissa sammanhang ersätts den tredje egenskapen ovan med följande:

3′. Både

G

och

H

är normala i

P

.

i två normala undergrupper med triviala skärningspunkter nödvändigtvis pendlar, ett faktum som kan härledas genom att betrakta kommutatorn [ g $, h] för alla$ g $i$ G $,$ $h$ i $H$ .

Exempel

Låt $V$ vara Klein-fyragruppen :
$V$

∙ $1$ $a$ $b$ $c$

$1$ $1$ $a$ $b$ $c$

$a$ $a$ $1$ $c$ $b$

$b$ $b$ $c$ $1$ $a$

$c$ $c$ $b$ $a$ $1$

Då är $V$ den interna direkta produkten av tvåelementsundergrupperna {1, a } och {1, b }.
Låt $\langle a\rangle$ vara en cyklisk grupp av ordningen mn , där m och n är relativt primtal. Då är $\langle a^{n}\rangle$ och $\langle a^{m}\rangle$ cykliska undergrupper av order m respektive n , och $\langle a\rangle$ är den interna direkta produkten av dessa undergrupper.
Låt $C \times$ vara gruppen av komplexa tal som inte är noll under multiplikation . Då $C \times$ den interna direkta produkten av cirkelgruppen $T$ av enhetskomplexa tal och gruppen $R +$ av positiva reella tal under multiplikation.
Om n är udda, så är den allmänna linjära gruppen $GL(n, R)$ den interna direkta produkten av den speciella linjära gruppen $SL(n, R)$ och undergruppen som består av alla skalära matriser .
På liknande sätt, när n är udda är den ortogonala gruppen $O(n, R)$ den interna direkta produkten av den speciella ortogonala gruppen $SO(n, R)$ och tvåelementsundergruppen ${- I, I},$ där $I$ betecknar identitetsmatrisen .
Symmetrigruppen i en kub är den interna direkta produkten av undergruppen av rotationer och tvåelementsgruppen { $- -$ $I, I},$ där $I$ är identitetselementet och I är punktreflektionen genom kubens centrum. Ett liknande faktum gäller för symmetrigruppen av en icosahedron .
Låt n vara udda och låt D _{4 n} vara den dihedriska gruppen av ordningen 4 n :
${\displaystyle D_{4n}=\langle r,s\mid r^{2n}=s^{2}=1,sr=r^{-1}s\rangle .} Då är D 4$
n _{den interna} direkta produkten av undergruppen $\langle r^{2},s\rangle$ (som är isomorf till D _{2 n} ) och tvåelementsundergruppen {1, r ⁿ }.

Presentationer

Den algebraiska strukturen för $G \times H$ kan användas för att ge en presentation för den direkta produkten i termer av presentationerna av $G$ och $H$ . Konkret, anta det

G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle \ \

och

\ \ H=\ langle S_{H}\mid R_{H}\rangle ,

där $S_{G}$ och $S_{H}$ är (disjunkta) genererande uppsättningar och $R_{G}$ och $R_{H}$ definierar relationer. Sedan

G\times H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{ H}\cup R_{P}\rangle

där $R_{P}$ är en uppsättning relationer som anger att varje element i $S_{G}$ pendlar med varje element i $S_{H}$ .

Till exempel om

G=\langle a\mid a^{3}=1\rangle \ \

och

\ \ H= \langle b\mid b^{5}=1\rangle

sedan

G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .

Normal struktur

Som nämnts ovan är undergrupperna $G$ och $H$ normala i $G \times H$ . Definiera specifikt funktionerna $π G : G \times H \to G$ och $π H : G \times H \to H$ med

π G (g, h) = g

och

π H (g, h) = h

.

Sedan är $π G$ och $π H$ homomorfismer projektionshomomorfismer , kända som , vars kärnor är $H$ respektive $G.$

Det följer att $G \times H$ är en förlängning av $G$ med $H$ (eller vice versa). I fallet där $G \times H$ är en ändlig grupp , följer det att sammansättningsfaktorerna för $G \times H$ är just föreningen av sammansättningsfaktorerna för G $och$ sammansättningsfaktorerna för $H.$

Ytterligare fastigheter

Universell egendom

Den direkta produkten $G \times H$ kan karakteriseras av följande universella egenskap . Låt $π G : G \times H \to G$ och $π H : G \times H \to H$ vara projektionshomomorfismerna. Sedan för vilken grupp $P som helst$ och alla homomorfier $ƒ G : P \to G$ och $ƒ H : P \to H$ , finns det en unik homomorfism $ƒ: P \to G \times H$ vilket gör att följande diagram pendlar :

Specifikt ges homomorfismen $ƒ$ av formeln

ƒ(p) = (ƒ G (p), ƒ H (p))

.

Detta är ett specialfall av den universella egenskapen för produkter inom kategoriteori .

Undergrupper

Om $A$ är en undergrupp av $G$ och $B$ är en undergrupp av $H$ , så är den direkta produkten $A \times B$ en undergrupp av $G \times H.$ Till exempel är den isomorfa kopian av $G$ i $G \times H$ produkten $G \times {1}$ , där ${1}$ är den triviala undergruppen av $H$ .

Om $A$ och $B$ är normala är $A \times B$ en normal undergrupp av $G \times H$ . Dessutom kvoten av de direkta produkterna isomorf till den direkta produkten av kvoterna:

(G \times H) / (A \times B) ≅ (G / A) \times (H / B)

.

Observera att det inte är sant i allmänhet att varje undergrupp av $G \times H$ är produkten av en undergrupp av $G$ med en undergrupp av $H$ . Till exempel, om $G är någon icke-trivial grupp, så$ har produkten $G \times G en$ diagonal undergrupp

Δ = { (g, g) : g \in G}

som inte är den direkta produkten av två undergrupper av $G$ .

Undergrupperna av direkta produkter beskrivs av Goursats lemma . Andra undergrupper inkluderar fiberprodukter av $G$ och $H.$

Konjugation och centraliserare

Två element $(g 1, h 1)$ och $(g 2, h 2)$ är konjugerade i $G \times H$ om och endast om $g 1$ och $g 2$ är konjugerade i $G$ och $h 1$ och $h 2$ är konjugerade i $H$ . Det följer att varje konjugationsklass i $G \times H$ helt enkelt är den kartesiska produkten av en konjugationsklass i $G$ och en konjugationsklass i $H$ .

, om $(g, h) \in G \times H$ , är centraliseraren för $(g, h)$ helt enkelt produkten av centraliseraren av $g$ och $h$ :

C G \times H (g, h)

=

C G (g \times CH (h) .

)

På liknande sätt är mitten av $G \times H$ produkten av mitten av $G$ och $H$ :

Z (G \times H)

=

Z (G) \times Z (H)

.

Normalisatorer beter sig på ett mer komplext sätt eftersom inte alla undergrupper av direkta produkter själva bryts ner som direkta produkter.

Automorfismer och endomorfismer

Om $α$ är en automorfism av $G$ och $β$ är en automorfism av $H$ , då är produktfunktionen $α \times β : G \times H \to G \times H$ definierad av

(α \times β)(g, h) = (α (g), β (h))

är en automorfism av $G \times H$ . Det följer att $Aut(G \times H)$ har en undergrupp som är isomorf till den direkta produkten $Aut(G) \times Aut(H)$ .

Det är inte sant i allmänhet att varje automorfism av $G \times H$ har ovanstående form. (Det vill säga, $Aut(G) \times Aut(H)$ är ofta en riktig undergrupp av $Aut(G \times H)$ .) Till exempel, om $G$ är någon grupp, så finns det en automorfism $σ$ av $G \times G$ som växlar de två faktorer, dvs

σ (g 1, g 2) = (g 2, g 1)

.

är automorfismgruppen för $Z \times Z$ $GL (2, Z)$ , gruppen av alla 2 $\times 2$ matriser med heltalsposter och determinant $\pm1$ . Denna automorfismgrupp är oändlig, men endast ändligt många av automorfismerna har den form som ges ovan.

I allmänhet kan varje endomorfism av $G \times H$ skrivas som en $2 \times 2$ matris

{\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}

där $α$ är en endomorfism av $G$ , $δ$ är en endomorfism av $H$ , och $β : H \to G$ och $γ : G \to H$ är homomorfismer. En sådan matris måste ha egenskapen att varje element i bilden av $α$ pendlar med varje element i bilden av $β$ , och varje element i bilden av $γ$ pendlar med varje element i bilden av $δ$ .

När G och H är oupplösliga, mittlösa grupper, är automorfismgruppen relativt okomplicerad, eftersom Aut( G ) × Aut( H ) om G och H inte är isomorfa, och Aut( G ) wr 2 om G ≅ H , wr anger kransprodukten . _ Detta är en del av Krull-Schmidt-satsen och gäller mer generellt för finita direkta produkter.

Generaliseringar

Finita direkta produkter

Det är möjligt att ta den direkta produkten av mer än två grupper samtidigt. Givet en ändlig sekvens $G 1, ..., G n$ av grupper, den direkta produkten

\prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\ gånger G_{ 2}\times \cdots \times G_{n}

definieras enligt följande:

Elementen i $G 1 \times \dots \times G n$ är tuplar $(g 1, ..., g n)$ , där $g i \in G i$ för varje $i$ .
Operationen på $G 1 \times \dots \times G n$ definieras komponentmässigt:
$(g 1, ..., g n)(g 1', ..., g n')$ = $(g 1 g 1', .. ., g n g n')$ .

Denna har många av samma egenskaper som den direkta produkten av två grupper, och kan karakteriseras algebraiskt på liknande sätt.

Oändliga direkta produkter

Det är också möjligt att ta den direkta produkten av ett oändligt antal grupper. För en oändlig sekvens $G 1, G 2, ...$ av grupper kan denna definieras precis som den ändliga direkta produkten ovan, med element i den oändliga direkta produkten som oändliga tuplar.

Mer generellt, givet en indexerad familj { $Gi}$ $i \in I$ av grupper, definieras den direkta produkten $Π i \in I G i enligt följande:$

Elementen i $Π i \in I G i$ är elementen i den oändliga kartesiska produkten av mängderna $G i$ ; dvs funktioner $ƒ: I \to ⋃ i \in I G i$ med egenskapen att $ƒ(i) \in G i$ för varje $i$ .
Produkten av två element $ƒ, g$ definieras komponentvis:
$(ƒ • g)(i)$ = $ƒ(i) • g (i)$ .

Till skillnad från en finit direkt produkt genereras inte den oändliga direkta produkten $Π i \in I G i av elementen i de isomorfa undergrupperna {$ $G i$ } $i \in I$ . Istället genererar dessa undergrupper en undergrupp av den direkta produkten känd som den oändliga direkta summan , som består av alla element som bara har ändligt många icke-identitetskomponenter.

Andra produkter

Halvdirekta produkter

Kom ihåg att en grupp $P$ med undergrupperna $G$ och $H$ är isomorf till den direkta produkten av $G$ och $H$ så länge den uppfyller följande tre villkor:

Skärningen $G \cap H$ är trivial . _
Varje element av $P$ kan uttryckas unikt som produkten av ett element av $G$ och ett element av $H$ .
Både $G$ och $H$ är normala i $P$ .

En halvdirekt produkt av $G$ och $H$ erhålls genom att slappna av det tredje tillståndet, så att endast en av de två undergrupperna $G, H$ krävs för att vara normal. Den resulterande produkten består fortfarande av ordnade par $(g, h)$ , men med en något mer komplicerad regel för multiplikation.

Det är också möjligt att slappna av det tredje tillståndet helt, vilket kräver att ingen av de två undergrupperna är normala. I det här fallet hänvisas gruppen $P till som en$ Zappa–Szép-produkt av $G$ och $H$ .

Gratis produkter

Den fria produkten av $G$ och $H$ , vanligtvis betecknad $G * H$ , liknar den direkta produkten, förutom att undergrupperna $G$ och $H$ av $G * H$ inte krävs för att pendla. Det vill säga om

G

=

〈 S G

|

R G 〉

och

H

=

〈 S H

|

R H 〉

,

är presentationer för $G$ och $H$ , alltså

G * H

=

〈 S G \cup S H

|

R G \cup R H 〉

.

Till skillnad från den direkta produkten kan delar av den fria produkten inte representeras av beställda par. Faktum är att den fria produkten av två icke-triviala grupper är oändlig. Den kostnadsfria produkten är faktiskt samprodukten i kategorin grupper .

Underdirekta produkter

Om $G$ och $H$ är grupper är en subdirekt produkt av $G$ och $H$ vilken undergrupp som helst av $G \times H$ som kartläggs surjektivt på $G$ och $H$ under projektionshomomorfismerna. Enligt Goursats lemma är varje subdirekt produkt en fiberprodukt.

Fiberprodukter

Låt $G$ , $H$ och $Q$ vara grupper, och låt $φ : G \to Q$ och $χ : H \to Q$ vara homomorfier. Fiberprodukten av $G$ och $H$ över $Q$ , även känd som en pullback , är följande undergrupp av $G \times H$ :

G \times Q H

= {

(g, h) \in G \times H : φ(g) = χ(h)

} .

Om $φ : G \to Q$ och $χ : H \to Q$ är epimorfismer , så är detta en subdirekt produkt.

^ Gallian, Joseph A. (2010). Contemporary Abstract Algebra (7 uppl.). Cengage Learning. sid. 157. ISBN 9780547165097 .

Artin, Michael (1991), Algebra , Prentice Hall , ISBN 978-0-89871-510-1
Herstein, Israel Nathan (1996), Abstrakt algebra (3:e upplagan), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7 , MR 1375019 .
Herstein, Israel Nathan (1975), Ämnen i algebra (2:a upplagan), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR 0356988 .
Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , vol. 211 (reviderad tredje upplagan), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556
Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (3:e upplagan), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-22025-3 .
Robinson, Derek John Scott (1996), En kurs i teorin om grupper , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6 .

[1] Gallian, Joseph A. (2010). Contemporary Abstract Algebra (7 uppl.). Cengage Learning. sid. 157. ISBN 9780547165097 .

∙	$1$	$a$	$b$	$c$
$1$	$1$	$a$	$b$	$c$
$a$	$a$	$1$	$c$	$b$
$b$	$b$	$c$	$1$	$a$
$c$	$c$	$b$	$a$	$1$

∙	$1$	$a$	$b$	$c$
$1$	$1$	$a$	$b$	$c$
$a$	$a$	$1$	$c$	$b$
$b$	$b$	$c$	$1$	$a$
$c$	$c$	$b$	$a$	$1$

∙	$1$	$a$	$b$	$c$
$1$	$1$	$a$	$b$	$c$
$a$	$a$	$1$	$c$	$b$
$b$	$b$	$c$	$1$	$a$
$c$	$c$	$b$	$a$	$1$