Dicyklisk grupp

I gruppteorin är en dicyklisk grupp (notation Dic _n eller Q _{4 n} , ⟨ n ,2,2⟩) en speciell typ av icke-abelisk grupp av ordningen 4 n ( n > 1). Det är en förlängning av den cykliska gruppen av ordning 2 med en cyklisk grupp av ordning 2 n , vilket ger namnet dicyklisk . I notationen av exakta sekvenser av grupper kan denna förlängning uttryckas som:

$1\to C_{2n}\to {\mbox{Dic}}_{n}\to C_{2}\to 1.\,$

Mer generellt, givet en ändlig abelisk grupp med ett ordning-2-element, kan man definiera en dicyklisk grupp.

Definition

För varje heltal n > 1 kan den dicykliska gruppen Dic _n definieras som undergruppen av enhetskvaternioner som genereras av

${\begin{aligned}a&=e^{\frac {i\pi }{n}}=\cos {\ frac {\pi }{n}}+i\sin {\frac {\pi }{n}}\\x&=j\end{aligned}}$

Mer abstrakt kan man definiera den dicykliska gruppen Dic _n som gruppen med följande presentation

$\operatorname {Dic} _{n}=\left\langle a,x\mid a^{2n}=1,\ x^{2}=a^{n},\ x^{-1} ax=a^{-1}\right\rangle .\,\!$

Några saker att notera som följer av denna definition:

• $x^{4}=1$
• $x^{2}a^{k}=a^{k+n}=a^{k}x^{2}$
• om $j=\pm 1$ , då $x^{j}a^{k}=a^{-k}x^{j }$
• $a^{k}x^{-1}=a^{kn }a^{n}x^{-1}=a^{kn}x^{2}x^{-1}=a^{kn}x$

Således kan varje element i Dic _n unikt skrivas som en ^k x ^j , där 0 ≤ k < 2 n och j = 0 eller 1. Multiplikationsreglerna ges av

• $a^{k}a^{m}=a^{k+m}$
• $a^{k}a^{m}x=a^{k+m}x$
• $a^{k}xa^{m}=a^{km}x$
• $a^{k}xa^{m}x=a^{k-m+n}$

Av detta följer att Dic _n har ordningen 4 n .

När n = 2 är den dicykliska gruppen isomorf till kvartjongruppen Q . Mer generellt, när n är en potens av 2, är den dicykliska gruppen isomorf till den generaliserade kvaterniongruppen .

Egenskaper

För varje n > 1 är den dicykliska gruppen Dicn _en icke-abelisk grupp av ordningen 4n . (För det degenererade fallet n = 1 är gruppen Dic _{1 den cykliska gruppen} C ₄ , som inte anses vara dicyklisk.)

Låt A = ⟨ a ⟩ vara undergruppen av Dic _n som genereras av a . Då A en cyklisk grupp av ordningen 2 n , så [Dic _n : A ] = 2. Som en undergrupp till index 2 är den automatiskt en normal undergrupp . Kvotgruppen Dic _n / A är en cyklisk grupp av ordning 2.

Dic _n är lösbar ; Observera att A är normalt, och att vara abelisk är i sig lösbar.

Binär dihedral grupp

Den dicykliska gruppen är en binär polyedrisk grupp — den är en av klasserna av undergrupper i Pin-gruppen Pin ₋ (2), som är en undergrupp till Spin-gruppen Spin(3) — och är i detta sammanhang känd som den binära dihedralen grupp .

Sambandet med den binära cykliska gruppen C _{2 n} , den cykliska gruppen C _n och den dihedriska gruppen Dih _n av ordningen 2 n illustreras i diagrammet till höger och är parallellt med motsvarande diagram för Pin-gruppen. Coxeter skriver den binära dihedriska gruppen som ⟨2,2, n ⟩ och binär cyklisk grupp med vinkelparenteser, ⟨ n ⟩.

Det finns en ytlig likhet mellan de dicykliska grupperna och de dihedriska grupperna ; båda är ett slags "spegling" av en underliggande cyklisk grupp. Men presentationen av en dihedrisk grupp skulle ha x ² = 1, istället för x ² = a ⁿ ; och detta ger en annan struktur. I synnerhet är Dic _n inte en halvdirekt produkt av A och ⟨ x ⟩, eftersom A ∩ ⟨ x ⟩ inte är trivial.

Den dicykliska gruppen har en unik involution (dvs ett element av ordning 2), nämligen x ² = a ⁿ . Observera att detta element ligger i mitten av Dic _n . I själva verket består mitten enbart av identitetselementet och x ² . Om vi ​​adderar relationen x ² = 1 till presentationen av Dic _n får man en presentation av den dihedriska gruppen Dih _n , så kvotgruppen Dic _n /< x ² > är isomorf till Dih _n .

Det finns en naturlig 2-till-1 homomorfism från gruppen av enhetskvaternioner till den 3-dimensionella rotationsgruppen som beskrivs vid quaternions och rumsliga rotationer . Eftersom den dicykliska gruppen kan vara inbäddad i enhetens quaternions kan man fråga sig vilken bild av den är under denna homomorfism. Svaret är bara den dihedriska symmetrigruppen Dih _n . Av denna anledning är den dicykliska gruppen också känd som den binära dihedriska gruppen . Observera att den dicykliska gruppen inte innehåller någon undergrupp som är isomorf till Dih _n .

Den analoga förbildskonstruktionen, som använder Pin ₊ (2) istället för Pin ₋ (2), ger en annan dihedrisk grupp, Dih _{2 n} , snarare än en dicyklisk grupp.

Generaliseringar

Låt A vara en abelsk grupp , som har ett specifikt element y i A med ordning 2. En grupp G kallas en generaliserad dicyklisk grupp , skriven som Dic( A , y ) , om den genereras av A och ett ytterligare element x , och dessutom har vi att [ G : A ] = 2, x ² = y , och för alla a i A , x ⁻¹ ax = a ⁻¹ .

Eftersom det för en cyklisk grupp av jämn ordning alltid finns ett unikt element i ordning 2, kan vi se att dicykliska grupper bara är en specifik typ av generaliserad dicyklisk grupp.

Se även

• binär polyedrisk grupp
• binär cyklisk grupp , ⟨ n ⟩, ordning 2 n
• binär tetraedrisk grupp , 2T = ⟨2,3,3⟩, ordning 24
• binär oktaedrisk grupp , 2O = ⟨2,3,4⟩, ordning 48
• binär ikosaedrisk grupp , 2I = ⟨2,3,5⟩, order 120

• Coxeter, HSM (1974), "7.1 The Cyclic and Dicyclic groups", Regular Complex Polytopes , Cambridge University Press, s. 74–75 .
•   Coxeter, HSM; Moser, WOJ (1980). Generatorer och relationer för diskreta grupper . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9 .

externa länkar

• Dicykliska grupper på gruppnamn