ADM-formalism

Richard Arnowitt , Stanley Deser och Charles Misner vid konferensen ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation som hölls i november 2009 för att hedra 50-årsjubileet av deras tidning.

ADM -formalismen (uppkallad efter dess författare Richard Arnowitt , Stanley Deser och Charles W. Misner ) är en Hamiltonsk formulering av allmän relativitet som spelar en viktig roll i kanonisk kvantgravitation och numerisk relativitet . Den publicerades första gången 1959.

Den omfattande recensionen av formalismen som författarna publicerade 1962 har tryckts om i tidskriften General Relativity and Gravitation , medan originalartiklarna finns i Physical Reviews arkiv .

Översikt

Formalismen förutsätter att rymdtiden är folierad till en familj av rymdliknande ytor $\Sigma _{t}$ , märkta med sin tidskoordinat $t$ , och med koordinater på varje skiva givna av ${\ displaystil x^{i}}$ . De dynamiska variablerna i denna teori antas vara den metriska tensorn för tredimensionella rumsliga skivor $\gamma _{ij}(t,x^{k})$ och deras konjugat momenta $\pi ^{ij}(t,x^{k})$ . Med hjälp av dessa variabler är det möjligt att definiera en Hamiltonian och därmed skriva rörelseekvationerna för allmän relativitet i form av Hamiltons ekvationer .

Förutom de tolv variablerna $\gamma _{ij}$ och $\pi ^{ij}$ finns det fyra Lagrange-multiplikatorer : lapse-funktionen, $N$ , och komponenter i skiftvektorfältet, $N_{i}$ . Dessa beskriver hur var och en av "löven" $\Sigma _{t}$ av rymdtidens foliation är sammansvetsade. Rörelseekvationerna för dessa variabler kan specificeras fritt; denna frihet motsvarar friheten att specificera hur man ska lägga ut koordinatsystemet i rum och tid.

Notation

De flesta referenser använder notation där fyrdimensionella tensorer skrivs i abstrakt indexnotation, och att grekiska index är rumtidsindex som tar värden (0, 1, 2, 3) och latinska index är rumsliga index som tar värden (1, 2, 3). I härledningen här läggs en upphöjd skrift (4) före storheter som vanligtvis har både en tredimensionell och en fyrdimensionell version, såsom den metriska tensorn för tredimensionella skivor g i j {\displaystyle g_ $}$ och den metriska tensorn för den fullständiga fyrdimensionella rumtiden ${^{(4)}}g_{\mu \nu }$ .

Texten här använder Einstein-notation där summering över upprepade index antas.

Två typer av derivator används: Partiella derivator betecknas antingen av operatorn $\partial _{i}$ eller av sänkta derivator som föregås av ett kommatecken. Kovarianta derivator betecknas antingen av operatorn $\nabla _{i}$ eller av sänkta skrifter som föregås av semikolon.

Det absoluta värdet av determinanten för matrisen av metriska tensorkoefficienter representeras av $g$ (utan index). Andra tensorsymboler skrivna utan index representerar spåret av motsvarande tensor som $\pi =g^{ij}\pi _{ij}$ .

Härledning

Lagrangisk formulering

Utgångspunkten för ADM-formuleringen är lagrangian

{\mathcal {L}}={^{(4)}R}{\sqrt {^{(4)}g}},

som är en produkt av kvadratroten av determinanten av den fyrdimensionella metriska tensorn för hela rumtiden och dess Ricci-skalär . Detta är Lagrangian från Einstein-Hilbert-handlingen .

Det önskade resultatet av härledningen är att definiera en inbäddning av tredimensionella rumsliga skivor i den fyrdimensionella rymdtiden. Metriken för de tredimensionella skivorna

g_{ij}={^{(4)}}g_{ij}

kommer att vara de generaliserade koordinaterna för en Hamiltonsk formulering. Det konjugerade momentet kan sedan beräknas som

\pi ^{ij}={\sqrt { ^{(4)}g}}\left({^{(4)}}\Gamma _{pq}^{0}-g_{pq}{^{(4)}}\Gamma _{rs}^ {0}g^{rs}\right)g^{ip}g^{jq},

använda standardtekniker och definitioner. Symbolerna ${^{(4)}}\Gamma _{ij}^{0}$ är Christoffel-symboler förknippade med måtten för den fullständiga fyrdimensionella rumtiden. Förfallet

{\displaystyle N=\left(-{^{(4)}g^{00}}\right)^{-1/2

och skiftvektorn

N_{i}={^{(4)}g_{0i}}

är de återstående elementen i den fyra-metriska tensorn.

Efter att ha identifierat kvantiteterna för formuleringen, är nästa steg att skriva om Lagrangian i termer av dessa variabler. Det nya uttrycket för Lagrangian

{\mathcal {L} }=-g_{ij}\partial _{t}\pi ^{ij}-NH-N_{i}P^{i}-2\partial _{i}\left(\pi ^{ij}N_{ j}-{\frac {1}{2}}\pi N^{i}+\nabla ^{i}N{\sqrt {g}}\right)

är bekvämt skrivet i termer av de två nya kvantiteterna

H=-{\sqrt {g}}\left[^{(3)}R +g^{-1}\left({\frac {1}{2}}\pi ^{2}-\pi ^{ij}\pi _{ij}\right)\right]

och

P^{i}=-2\pi ^{ij}{}_{;j},

som är kända som den Hamiltonska begränsningen respektive momentumbegränsningen. Lapsen och skiftningen visas i Lagrangian som Lagrange-multiplikatorer .

Rörelseekvationer

Även om variablerna i Lagrangian representerar den metriska tensorn på tredimensionella rum inbäddade i den fyrdimensionella rumtiden , är det möjligt och önskvärt att använda de vanliga procedurerna från Lagrangian mekanik för att härleda "rörelseekvationer" som beskriver tidsutvecklingen för båda metriken $g_{ij}$ och dess konjugerade momentum $\pi ^{ij}$ . Resultatet

\partial _{t}g_{ij}={\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi _{ij}-{\tfrac {1}{2}}\ pi g_{ij}\right)+N_{i;j}+N_{j;i}

och

{\begin{aligned}\partial _{t}\pi ^{ij}=&-N{\sqrt {g}}\left(R^{ij}-{\tfrac {1 }{2}}Rg^{ij}\right)+{\frac {N}{2{\sqrt {g}}}}g^{ij}\left(\pi ^{mn}\pi _{mn }-{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\right)-{\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi ^{in}{\pi _{ n}}^{j}-{\tfrac {1}{2}}\pi \pi ^{ij}\right)\\&+{\sqrt {g}}\left(\nabla ^{i}\ nabla ^{j}Ng^{ij}\nabla ^{n}\nabla _{n}N\right)+\nabla _{n}\left(\pi ^{ij}N^{n}\right) -{N^{i}}_{;n}\pi ^{nj}-{N^{j}}_{;n}\pi ^{ni}\end{aligned}}

är en icke-linjär uppsättning partiella differentialekvationer .

Att ta variationer med avseende på lapse och shift ger begränsningsekvationer

H=0

och

P^{i}=0,

och själva lapse och shift kan fritt specificeras, vilket återspeglar det faktum att koordinatsystem kan specificeras fritt i både rum och tid.

Ansökningar

Tillämpning på kvantgravitation

Med hjälp av ADM-formuleringen är det möjligt att försöka konstruera en kvantteori om gravitation på samma sätt som man konstruerar Schrödinger-ekvationen som motsvarar en given Hamiltonian i kvantmekaniken . Det vill säga ersätt det kanoniska momentan $\pi ^{ij}(t,x^{k})$ och de rumsliga metriska funktionerna med linjära funktionella differentialoperatorer

{\hat {g}}_{ij}(t,x^{k})\mapsto g_{ij} (t,x^{k}),

{\hat {\pi }}^{ij}(t,x^{k})\mapsto -i{\frac {\delta }{\delta g_{ij}(t,x^{k} )}}.

Mer exakt, ersättandet av klassiska variabler med operatorer begränsas av kommuteringsrelationer . Hattarna representerar operatorer i kvantteorin. Detta leder till Wheeler–DeWitt-ekvationen .

Tillämpning på numeriska lösningar av Einsteins ekvationer

Det finns relativt få kända exakta lösningar på Einsteins fältekvationer . För att hitta andra lösningar finns det ett aktivt studieområde som kallas numerisk relativitet där superdatorer används för att hitta ungefärliga lösningar på ekvationerna. För att konstruera sådana lösningar numeriskt börjar de flesta forskare med en formulering av Einsteins ekvationer som är nära relaterade till ADM-formuleringen. De vanligaste tillvägagångssätten börjar med ett initialt värdeproblem baserat på ADM-formalismen.

I Hamiltonska formuleringar är den grundläggande punkten att ersätta uppsättningen av andra ordningens ekvationer med en annan första ordningens uppsättning ekvationer. Vi kan få denna andra uppsättning ekvationer genom Hamiltonsk formulering på ett enkelt sätt. Naturligtvis är detta mycket användbart för numerisk fysik, för att reducera ordningen på differentialekvationer är ofta praktiskt om vi vill förbereda ekvationer för en dator.

ADM energi och massa

ADM-energi är ett speciellt sätt att definiera energin i allmän relativitet , som endast är tillämpligt på vissa speciella geometrier av rumtid som asymptotiskt närmar sig en väldefinierad metrisk tensor i oändligheten – till exempel en rumtid som asymptotiskt närmar sig Minkowskis rymd . ADM-energin i dessa fall definieras som en funktion av den metriska tensorns avvikelse från dess föreskrivna asymptotiska form. Med andra ord, ADM-energin beräknas som styrkan av gravitationsfältet i oändligheten.

Om den erforderliga asymptotiska formen är tidsoberoende (som Minkowski-utrymmet självt), så respekterar den tidstranslationssymmetrin . Noethers teorem antyder då att ADM-energin är bevarad. Enligt den allmänna relativitetsteorien gäller inte bevarandelagen för den totala energin i mer generella, tidsberoende bakgrunder – till exempel är den helt kränkt i fysisk kosmologi . Kosmisk inflation i synnerhet kan producera energi (och massa) från "ingenting" eftersom vakuumenergitätheten är ungefär konstant, men universums volym växer exponentiellt .

Applikation på modifierad gravitation

Genom att använda ADM-nedbrytningen och införa extra hjälpfält, 2009, Deruelle et al. hittade en metod för att hitta gränstermen Gibbons–Hawking–York för modifierade gravitationsteorier "vars Lagrangian är en godtycklig funktion av Riemann-tensoren".

Se även

Anteckningar

Kiefer, Claus (2007). Kvantgravitation . Oxford, New York: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-921252-1 .