Relativ skalär

I matematik är en relativ skalär (av vikt w ) en skalärvärderad funktion vars transformation under en koordinattransform,

${\bar {x}}^{j}={\bar {x}}^{j}(x^{i})$

på ett n -dimensionellt grenrör lyder följande ekvation

${\bar {f}}({\bar {x}}^{j})=J^{w}f(x^{i })$

var

$J={\begin{vmatrix}\displaystyle {\frac {\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}{\partial ({\bar {x}}^{1} ,\ldots ,{\bar {x}}^{n})}}\end{vmatrix}},$

det vill säga bestämningsfaktorn för förvandlingens Jacobian . En skalär densitet hänvisar till fallet ${\displaystyle w=1} .$

Relativa skalärer är ett viktigt specialfall av det mer allmänna begreppet en relativ tensor .

Vanlig skalär

En vanlig skalär eller absolut skalär hänvisar till fallet ${\displaystyle w=0} .$

Om $x^{i}$ och ${\bar {x}}^{j}$ refererar till samma punkt $P$ på grenröret, då önskar vi ${\bar {f}}({\bar {x}}^{j})=f(x^{i})$ . Denna ekvation kan tolkas på två sätt när ${\bar {x}}^{j}$ ses som de "nya koordinaterna" och $x^{i}$ ses som "ursprungliga koordinater". Den första är som ${\bar {f}}({\bar {x}}^{j})=f(x^ {i}({\bar {x}}^{j}))$ , som "konverterar funktionen till de nya koordinaterna". Den andra är som $f(x^{i})={\bar {f}}({\bar {x}}^{ j}(x^{i}))$ , som "konverterar tillbaka till de ursprungliga koordinaterna. Naturligtvis är "ny" eller "original" ett relativt begrepp.

Det finns många fysiska storheter som representeras av vanliga skalärer, som temperatur och tryck.

Vikt 0 exempel

Antag att temperaturen i ett rum ges i termer av funktionen $f(x,y,z)=2x+y+5$ i kartesiska koordinater $(x,y,z)$ och funktionen i cylindriska koordinater $(r,t,h)$ önskas. De två koordinatsystemen är relaterade av följande uppsättningar ekvationer:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,$

$t=\arctan(y /x)\,$

$h=z\,$

och

$x=r\cos(t)\,$

$y=r\sin(t)\,$

$z=h.\,$

Använder ${\bar {f}}({\bar {x}}^{j})=f(x^{i} ({\bar {x}}^{j}))$ låter en härleda ${\ stapel {f}}(r,t,h)=2r\cos(t)+r\sin(t)+5$ som den transformerade funktionen.

Betrakta punkten $P$ vars kartesiska koordinater är $(x,y,z)=(2,3,4)$ och vars motsvarande värdet i det cylindriska systemet är $(r,t,h)=({\sqrt {13}},\arctan { (3/2)},4)$ . En snabb beräkning visar att $f(2,3,4)=12$ och ${\bar {f}}({\sqrt {13}},\arctan {(3/2)},4)=12$ också. Denna likhet skulle ha gällt för vilken vald punkt ${\displaystyle P} som helst$ . Således $f(x,y,z)$ "temperaturfunktionen i det kartesiska koordinatsystemet" och ${\bar { f}}(r,t,h)$ är "temperaturfunktionen i det cylindriska koordinatsystemet".

Ett sätt att se dessa funktioner är som representationer av "förälder"-funktionen som tar en punkt av grenröret som ett argument och ger temperaturen.

Problemet kunde ha vänts. Man kunde ha fått ${\bar {f}}$ och önskat ha härlett den kartesiska temperaturfunktionen $f$ . Detta vänder bara på begreppet "nytt" kontra det "ursprungliga" koordinatsystemet.

Antag att man vill integrera dessa funktioner över "rummet", vilket kommer att betecknas med $D$ . (Ja, det är konstigt att integrera temperatur men det är delvis det som ska visas.) Antag att regionen $D$ ges i cylindriska koordinater som $r$ från $[0,2]$ , $t$ från $[0,\pi /2]$ och $h$ från $[0,2]$ (det är, "rummet" är en fjärdedel av en cylinder med radie och höjd 2). Integralen av $f$ över regionen $D$ är

$$\int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\sqrt {2^{2}-x^{2}}}\!\int _{0}^{2 }\!f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx=16+10\pi .$$

Värdet på integralen av ${\bar {f}}$ över samma region är

$$\int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}( r,t,h)\,dh\,dt\,dr=12+10\pi .$$

De är inte lika. Temperaturintegralen är inte oberoende av vilket koordinatsystem som används. Det är icke-fysiskt i den meningen, därav "konstigt". Observera att om integralen av ${\bar {f}}$ inkluderade en faktor av jakobisk (som bara är $r$ ), får vi

$$\int _{0}^{2}\!\int _{0 }^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}(r,t,h)r\,dh\,dt\,dr=16+10 \pi ,$$

som är lika med den ursprungliga integralen men det är dock inte integralen av temperatur eftersom temperaturen är en relativ skalär med vikt 0, inte en relativ skalär av vikt 1.

Vikt 1 exempel

Om vi ​​hade sagt att $f(x,y,z)=2x+y+5$ representerade massdensitet, så borde dess transformerade värde inkludera den jakobiska faktorn som tar hänsyn till koordinatsystemets geometriska distorsion. Den transformerade funktionen är nu ${\bar {f}}(r,t,h )=(2r\cos(t)+r\sin(t)+5)r$ . Denna gång $f(2,3,4)=12$ men ${\ stapel {f}}({\sqrt {13}},\arctan {(3/2)},4)=12{\sqrt {29}}$ . Som tidigare är integral (den totala massan) i kartesiska koordinater är

$$\int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\sqrt {2^{2}-x^{2}}}\!\int _{0}^{2 }\!f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx=16+10\pi .$$

Värdet på integralen av ${\bar {f}}$ över samma region är

$$\int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}( r,t,h)\,dh\,dt\,dr=16+10\pi .$$

De är lika. Integralen av massdensitet ger total massa som är ett koordinatoberoende koncept. Observera att om integralen av ${\bar {f}}$ också inkluderade en faktor av jakobisk som tidigare, får vi

$$\int _{0}^{2}\!\int _ {0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}(r,t,h)r\,dh\,dt\,dr=24 +40\pi /3,$$

som inte är lika med föregående fall.

Andra fall

Andra vikter än 0 och 1 uppstår inte lika ofta. Det kan visas att determinanten för en typ (0,2) tensor är en relativ skalär med vikt 2.

Se även

• Jacobiansk matris och determinant