Kvadratisk irrationellt tal

Inom matematiken är ett kvadratiskt irrationellt tal (även känt som en kvadratisk irrationell , en kvadratisk irrationalitet eller kvadratisk surd ) ett irrationellt tal som är lösningen på någon kvadratisk ekvation med rationella koefficienter som är irreducerbar över de rationella talen . Eftersom bråk i koefficienterna för en andragradsekvation kan rensas genom att multiplicera båda sidor med deras minsta gemensamma nämnare, är en kvadratisk irrationell en irrationell rot av någon andragradsekvation med heltalskoefficienter . De kvadratiska irrationella talen, en delmängd av de komplexa talen , är algebraiska tal av grad 2 , och kan därför uttryckas som

{a+b{\sqrt {c}} \over d},

för heltal $a, b, c, d$ ; med $b$ , $c$ och $d$ icke-noll, och med $c$ kvadratfritt . När $c$ är positivt får vi reella kvadratiska irrationella tal , medan ett negativt $c$ ger komplexa kvadratiska irrationella tal som inte är reella tal . Detta definierar en injektion från de kvadratiska irrationalerna till fyrdubblar av heltal, så deras kardinalitet är på sin höjd räknebar ; eftersom å andra sidan varje kvadratrot ur ett primtal är en distinkt kvadratisk irrationell, och det finns oräkneligt många primtal, är de åtminstone räknebara; därför är de kvadratiska irrationalerna en räknebar mängd .

Kvadratiska irrationaler används i fältteorin för att konstruera fältförlängningar av fältet för rationella tal $Q$ . Givet det kvadratfria heltal $c$ , ger ökningen av $Q$ med kvadratiska irrationaler med $\sqrt c$ ett kvadratiskt fält $Q (\sqrt c$ ). Till exempel inverserna av element i $Q (\sqrt c$ ) av samma form som ovanstående algebraiska tal:

{d \over a+b{\sqrt {c}}}={ad-bd{\sqrt {c}} \over a^{2}-b^{2}c}.

Kvadratiska irrationaler har användbara egenskaper, särskilt i förhållande till fortsatta bråk , där vi har resultatet att alla reella andragradsirrationaler, och endast reella andragradsirrationer, har periodiska fortsatta bråkformer . Till exempel

{\sqrt {3}}=1.732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]

De periodiska fortsatta bråken kan placeras i en-till-en-överensstämmelse med de rationella talen. Korrespondensen tillhandahålls uttryckligen av Minkowskis frågeteckenfunktion , och en uttrycklig konstruktion ges i den artikeln. Det är helt analogt med överensstämmelsen mellan rationella tal och strängar av binära siffror som har en så småningom upprepande svans, vilket också tillhandahålls av frågeteckenfunktionen. Sådana upprepade sekvenser motsvarar periodiska banor för den dyadiska transformationen (för de binära siffrorna) och Gauss-kartan $h(x)=1/x-\lfloor 1 /x\rfloor$ för fortsatta bråk.

Reella kvadratiska irrationella tal och obestämda binära kvadratiska former

Vi kan skriva om en kvadratisk irrationalitet enligt följande:

{\frac {a+b{\sqrt {c}}}{d}}={\frac {a+{\sqrt {b^{2}c}}}{d}}.

Det följer att varje kvadratiskt irrationellt tal kan skrivas i formen

{\frac {a+{\sqrt {c}}}{d}}.

Detta uttryck är inte unikt.

Fixa ett icke-kvadrat, positivt heltal $c$ kongruent med $0$ eller $1$ modulo $4$ , och definiera en uppsättning $S_{c}$ som

S_{c}=\left\{{\frac {a+{\sqrt {c}}}{d}}\colon a,d{\text{ heltal, }}\,d{\text{ även }},\,a^{2}\equiv c{\pmod {2d}}\right\}.

Varje kvadratisk irrationalitet finns i någon uppsättning $S_{c}$ , eftersom kongruensvillkoren kan uppfyllas genom att skala täljaren och nämnaren med en lämplig faktor

En matris

{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}

med heltalsposter och $\alpha \delta -\beta \gamma =1$ kan användas för att transformera ett tal $y$ i $S_{c}$ . Det omvandlade talet är

z={\frac {\alpha y+\beta }{\gamma y+\delta }}

Om $y$ är i $S_{c}$ , så är $z$ det också.

Relationen mellan $y$ och $z$ ovan är en ekvivalensrelation . (Detta följer, till exempel, eftersom transformationen ovan ger en gruppåtgärd av gruppen av heltalsmatriser med determinant 1 på mängden ${\displaystyle S_{c}} .$ Således, $S_{c}$ partitioner i ekvivalensklasser . Varje ekvivalensklass omfattar en samling kvadratiska irrationaliteter med varje par ekvivalent genom verkan av någon matris. Serrets teorem antyder att de regelbundna fortsatta bråkexpansionerna av ekvivalenta kvadratiska irrationaliteter till slut är desamma, det vill säga deras sekvenser av partiella kvoter har samma svans. Alltså har alla tal i en ekvivalensklass fortsatt bråkexpansion som så småningom är periodisk med samma svans.

Det finns ändligt många ekvivalensklasser av kvadratiska irrationaliteter i $S_{c}$ . Standardbeviset på detta innebär att man betraktar kartan $\phi$ från binära kvadratiska former av diskriminant $c$ till $S_{c}$ som ges av

\phi (tx^{2}+uxy+vy^{2})={\frac {-u+{\ sqrt {c}}}{2t}}

En beräkning visar att $\phi$ är en bijektion som respekterar matrisåtgärden på varje uppsättning. Ekvivalensklasserna för kvadratiska irrationaliteter är då i bijektion med ekvivalensklasserna för binära kvadratiska former, och Lagrange visade att det finns ändligt många ekvivalensklasser av binära kvadratiska former av given diskriminant.

Genom bijektionen ${\displaystyle \phi } motsvarar$ att expandera ett tal i $S_{c}$ i en fortsatt bråkdel mot att reducera den kvadratiska formen. Den så småningom periodiska karaktären av den fortsatta fraktionen återspeglas sedan i den så småningom periodiska karaktären av omloppsbanan för en kvadratisk form under reduktion, med reducerade kvadratiska irrationaliteter (de med en rent periodisk fortsatt fraktion) motsvarande reducerade kvadratiska former.

Kvadratroten av icke-kvadrat är irrationell

Definitionen av kvadratiska irrationaler kräver att de uppfyller två villkor: de måste uppfylla en andragradsekvation och de måste vara irrationella. Lösningarna till andragradsekvationen ax ² + bx + c = 0 är

{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.

Sålunda är kvadratiska irrationaler just de reella tal i denna form som inte är rationella. Eftersom b och 2 a båda är heltal, är att fråga när ovanstående kvantitet är irrationell detsamma som att fråga när kvadratroten ur ett heltal är irrationell. Svaret på detta är att kvadratroten av ett naturligt tal som inte är ett kvadrattal är irrationellt.

Kvadratroten ur 2 var det första talet som visade sig vara irrationellt. Theodorus av Cyrene bevisade irrationaliteten i kvadratrötterna av icke-kvadratrötterna naturliga tal upp till 17, men stannade där, förmodligen för att algebra han använde inte kunde tillämpas på kvadratroten av tal större än 17. Euklids Elements Book 10 är tillägnad till klassificering av irrationella magnituder. Det ursprungliga beviset för irrationaliteten hos de icke-kvadratmässiga naturliga talen beror på Euklids lemma .

Många bevis på irrationaliteten av kvadratrötterna av icke-kvadratmässiga naturliga tal antar implicit aritmetikens grundläggande teorem, som först bevisades av Carl Friedrich Gauss i hans Disquisitiones Arithmeticae . Detta hävdar att varje heltal har en unik faktorisering till primtal. För alla rationella icke-heltal i lägsta termer måste det finnas ett primtal i nämnaren som inte delar sig i täljaren. När täljaren är kvadratisk kommer det primtal fortfarande inte att delas in i det på grund av den unika faktoriseringen. Därför är kvadraten på ett rationellt icke-heltal alltid ett icke-heltal; genom kontrapositiv är kvadratroten av ett heltal alltid antingen ett annat heltal eller irrationellt.

Euklid använde en begränsad version av grundsatsen och några noggranna argument för att bevisa satsen. Hans bevis finns i Euclids Elements Book X Proposition 9.

Den grundläggande aritmetikens grundsats krävs dock inte för att bevisa resultatet. Det finns självständiga bevis av bland annat Richard Dedekind . Följande bevis anpassades av Colin Richard Hughes från ett bevis på irrationaliteten i kvadratroten ur 2 som hittades av Theodor Estermann 1975.

Antag att D är ett icke-kvadrat naturligt tal, då finns det ett tal n så att:

n ² < D < ( n + 1) ² ,

så i synnerhet

0 < √ D − n < 1.

Antag att kvadratroten ur D är ett rationellt tal p / q , antag att q här är det minsta för vilket detta är sant, därav det minsta talet för vilket q √ D också är ett heltal. Sedan:

( √ D − n ) q √ D = qD − nq √ D

är också ett heltal. Men 0 < ( √ D − n ) < 1 så ( √ D − n ) q < q . Därför är ( √ D − n ) q ett heltal mindre än q . Detta är en motsägelse eftersom q definierades som det minsta talet med denna egenskap; därför √ D inte vara rationell.

Se även

externa länkar