Euklidiskt förhållande

Inom matematiken Euklids är euklidiska relationer en klass av binära relationer som formaliserar " Axiom 1 " i element : "Magnituder som är lika med samma är lika med varandra."

Definition

Höger euklidisk egenskap: heldragna och streckade pilar indikerar antecedenter respektive följder.

En binär relation R på en mängd X är euklidisk (ibland kallad högereuklidisk ) om den uppfyller följande: för varje a , b , c i X , om a är relaterat till b och c , så är b relaterat till c . För att skriva detta i predikatlogik :

$\forall a,b,c\in X\,(a\,R\,b\land a\,R\,c\to b\,R\,c).$

lämnas en relation R på X euklidisk om för varje a , b , c i X , om b är relaterad till a och c är relaterad till a , då är b relaterad till c :

$\forall a,b,c\in X\,(b\,R\,a\land c\,R\,a\to b\,R\,c).$

Egenskaper

Schematiserad höger euklidisk relation enligt egenskap 10. Djupt färgade rutor indikerar ekvivalensklasserna för R ′ . Blekfärgade rektanglar indikerar möjliga samband mellan element i X \ran( R ). I dessa rektanglar kan relationer, eller kanske inte, hålla.

1. På grund av kommutativiteten för ∧ i definitionens antecedent, antyder aRb ∧ aRc till och med bRc ∧ cRb när R är rätt euklidiskt. På liknande sätt antyder bRa ∧ cRa bRc ∧ cRb när R lämnas euklidiskt.
2. Egenskapen att vara euklidisk skiljer sig från transitivitet . Till exempel är ≤ transitiv, men inte höger euklidisk, medan xRy definierad av 0 ≤ x ≤ y + 1 ≤ 2 inte är transitiv, utan höger euklidisk på naturliga tal .
3. För symmetriska relationer sammanfaller transitivitet, höger euklidiskhet och vänstereuklidiskhet. Men även en icke-symmetrisk relation kan vara både transitiv och höger euklidisk, till exempel, xRy definierad av y =0.
4. En relation som är både rätt euklidisk och reflexiv är också symmetrisk och därför en ekvivalensrelation . På liknande sätt är varje vänstereuklidisk och reflexiv relation en likvärdighet.
5. Omfånget för en rätt euklidisk relation är alltid en delmängd av dess domän . Inskränkningen av en rätt euklidisk relation till dess räckvidd är alltid reflexiv, och därför en ekvivalens . På liknande sätt är domänen för en vänstereuklidisk relation en delmängd av dess intervall, och begränsningen av en vänstereuklidisk relation till dess domän är en ekvivalens.
6. En relation R är både vänster och höger euklidisk, om, och endast om, domänen och intervallmängden av R överensstämmer, och R är en ekvivalensrelation på den mängden.
7. En högereuklidisk relation är alltid kvasitransitiv , liksom en vänstereuklidisk relation.
8. En sammanhängande rätt euklidisk relation är alltid transitiv; och så är en sammankopplad vänstereuklidisk relation.
9. Om X har minst 3 element kan en ansluten höger-euklidisk relation R på X inte vara antisymmetrisk , och inte heller en ansluten vänstereuklidisk relation på X . På 2-elementsmängden är X = { 0, 1 }, t.ex. är relationen xRy definierad av y =1 ansluten, höger euklidisk och antisymmetrisk, och xRy definierad av x =1 är ansluten, vänster euklidisk och antisymmetrisk.
10. En relation R på en mängd X är rätt euklidisk om, och endast om, begränsningen R ′ := R | _{ran( R )} är en ekvivalens och för varje x i X \ran( R ) är alla element som x är relaterade till under R ekvivalenta under R ′ . På liknande sätt lämnas R på X euklidiskt om, och endast om, R ′ := R | _{dom( R )} är en ekvivalens och för varje x i X \dom( R ) är alla element som är relaterade till x under R ekvivalenta under R ′ .
11. En vänstereuklidisk relation är vänsterunik om, och endast om, den är antisymmetrisk . På samma sätt är en rätt euklidisk relation rätt unik om, och bara om, den är antisymmetrisk.
12. En vänstereuklidisk och vänsterunik relation är vacuously transitiv, och så är en högereuklidisk och högerunik relation.
13. En vänstereuklidisk relation lämnas kvasireflexiv . För vänsterunika relationer gäller också det omvända. Dubbelt sett är varje rätt euklidisk relation rätt kvasi-reflexiv, och varje rätt unik och rätt kvasi-reflexiv relation är rätt euklidisk.