Surjektion av Fréchet-utrymmen

Theorem on the surjection of Fréchet spaces är en viktig sats, på grund av Stefan Banach , som kännetecknar när en kontinuerlig linjär operator mellan Fréchet spaces är surjektiv.

Vikten av denna sats är relaterad till den öppna kartläggningssatsen , som säger att en kontinuerlig linjär surjektion mellan Fréchet-rymden är en öppen karta . Ofta i praktiken vet man att de har en kontinuerlig linjär karta mellan Fréchet-rum och vill visa att den är surjektiv för att använda den öppna kartläggningssatsen för att dra slutsatsen att det också är en öppen avbildning. Detta teorem kan hjälpa till att nå det målet.

Preliminärer, definitioner och notation

Låt $L:X\to Y$ vara en kontinuerlig linjär karta mellan topologiska vektorrum.

Det kontinuerliga dubbla utrymmet för $X$ betecknas med $X^{\prime }.$

Transponeringen av $L$ är kartan ${}^{t}L:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ definierad av $L\left(y^{\prime }\right):=y^{\prime }\circ L.$ Om $L:X\to Y$ är surjektiv så är ${}^{t}L:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ kommer att vara injektiv , men det omvända är inte sant i allmänhet.

Den svaga topologin på $X$ (resp. $X^{\prime }$ ) betecknas med $\sigma \left(X,X^{\ prime }\right)$ (resp. ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)})$ . Mängden $X$ som är utrustad med denna topologi betecknas med ${\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right).} Topologin$ σ $\displaystyle \sigma \left(X,X^ {\prime }\right)}$ är den svagaste topologin på $X$ vilket gör alla linjära funktionaler i $X^{\prime }$ kontinuerliga.

Om $S\subseteq Y$ så betecknas polaren för $S$ i ${\displaystyle Y} med$$S^{\circ }.$

Om $p:X\to \mathbb {R}$ är en seminorm på $X$ , då kommer $X_{p}$ att beteckna vektorrummet ${\ displaystyle X}$ utrustad med den svagaste TVS- topologin vilket gör $p$ kontinuerlig. En grannskapsbas av $X_{p}$ vid ursprunget består av mängderna $\left\{x\in X:p(x)< r\right\}$ eftersom $r$ sträcker sig över de positiva realerna. Om $p$ inte är en norm så är $X_{p}$ inte Hausdorff och $\ker p:= \left\{x\in X:p(x)=0\right\}$ är ett linjärt delrum av $X$ . Om $p$ är kontinuerlig så är identitetskartan $\operatorname {Id} :X\to X_{p}$ kontinuerlig så vi kan identifiera det kontinuerliga dubbla utrymmet ${ \displaystyle X_{p}^{\prime }}$ av $X_{p}$ som en delmängd av $X^{\prime }$ via transponeringen av identitetskartan ${\displaystyle {}^{t}\operatörsnamn {Id} :X_{p}^{\prime }\to X^{\prime },} som$ är injektiv .

Surjektion av Fréchet-utrymmen

  Sats (Banach) — Om $L:X\to Y$ är en kontinuerlig linjär karta mellan två Fréchet-rum, så är $L:X\to Y$ surjektiv om och endast om följande två villkor båda gäller:

1. ${}^{t}L:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ är injektiv , och
2. bilden av ${}^{t}L,$ betecknad med $\operatorname {Im} {}^{t}L,$ är svagt stängd i ${\ displaystyle X^{\prime }}$ (dvs stängd när $X^{\prime }$ är utrustad med svag-* topologin).

Förlängningar av satsen

Teorem — Om $L:X\to Y$ är en kontinuerlig linjär karta mellan två Fréchet-rymder så är följande ekvivalenta:

1. $L:X\to Y$ är surjektiv.
2. Följande två villkor gäller:
   1. ${}^{t}L:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ är injektiv ;
   2. bilden $\operatorname {Im} {}^{t}L$${}^{t}L}$ { displaystyle är svagt stängd i $X^{\prime }.$
3. För varje kontinuerlig seminorm $p$ på $X$ finns det en kontinuerlig seminorm $q$ på $Y$ så att följande är sant:
   1. för varje $y\in Y$ finns det några $x\in X$ så att $q(L(x)-y )=0$ ;
   2. för varje $y^{\prime }\in Y,$ om ${}^{t}L\left(y^{\prime }\right)\i X_{p}^{\prime }$ sedan $y^{\prime }\in Y_{q}^{\prime }.$
4. För varje kontinuerlig seminorm $p$ på $X$ finns det ett linjärt delrum $N$ av $Y$ så att följande är sant:
   1. för varje $y\in Y$ finns det några $x\in X$ så att $L(x)-y\in N$ ;
   2. för varje $y^{\prime }\in Y^{\prime },$ om ${}^{t}L\left (y^{\prime }\right)\i X_{p}^{\prime }$ sedan $y^{\prime }\in N^{\circ }.$
5. Det finns en icke-ökande sekvens $N_{1}\supseteq N_{2}\supseteq N_{3}\supseteq \cdots$ av slutna linjära delrum av $Y$ vars skärningspunkt är lika med $\{0\}$ och så att följande är sant:
   1. för varje $y\in Y$ och varje positivt heltal ${\displaystyle k} ,$ finns det några $x\in X$ så att ${ \displaystyle L(x)-y\in N_{k}}$ ;
   2. för varje kontinuerlig seminorm $p$ på $X$ finns det ett heltal $k$ så att alla $x\in X$ som uppfyller $L(x)\in N_{k}$ är gränsen, i betydelsen av seminormen $p$ , för en sekvens $x_{1},x_ {2},\ldots$ i element av $X$ så att $L\left(x_{i}\right)=0$ för alla $i.$

Lemmas

Följande lemman används för att bevisa satserna om surjektiviteten hos Fréchet-utrymmen. De är användbara även på egen hand.

Sats — Låt $X$ vara ett Fréchet-rum och $Z$ vara ett linjärt delrum av $X^{\prime }.$ Följande är likvärdiga:

1. $Z$ är svagt stängd i $X^{\prime }$ ;
2. Det finns en bas ${\mathcal {B}}$ för stadsdelar med ursprunget till $X$ så att för varje $B\in {\mathcal {B}},$$B^{\circ }\cap Z$ är svagt stängd;
3. Skärningen av $Z$ med varje ekvikontinuerlig delmängd $E$ av $X^{\prime }$ är relativt sluten i $E$ (där $X ^{\prime }$ ges den svaga topologin inducerad av $X$ och $E$ ges subrymdstopologin inducerad av ${\displaystyle X^{\prime }} )$ .

Teorem — På det dubbla $X^{\prime }$ i ett Fréchet-rymd ${\displaystyle X} är$ topologin för enhetlig konvergens på kompakta konvexa delmängder av $X$ identisk med topologin för enhetlig konvergens på kompakta delmängder av $X$ .

Teorem — Låt $L:X\to Y$ vara en linjär karta mellan Hausdorff lokalt konvexa TVS, med $X$ också mätbar. Om kartan ${\displaystyle L:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime) }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)} är kontinuerlig sedan L : X →$ Y $X\to Y}$ är kontinuerlig (där $X$ och $Y$ bär sina ursprungliga topologier).

Ansökningar

Borels sats om potensserieutvidgningar

  Sats (E. Borel) — Fixa ett positivt heltal $n$ . Om $P$ är en godtycklig formell potensserie i $n$ indeterminanter med komplexa koefficienter så finns det en ${\mathcal {C}}^{\infty }$ funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ vars Taylor-expansion vid origo är identisk med $P$ .

Det vill säga, anta att för varje $n$ -tuppel av icke-negativa heltal $p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n }\right)$ får vi ett komplext tal $a_{p}$ (utan begränsningar). Sedan finns det en ${\mathcal {C}}^{\infty }$ funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ så att ${\displaystyle a_{p}=\left(\partial /\partial x\right)^{p}f{\bigg \vert }_{x=0}} för varje n {\$ displaystyle $}$ -tuppel $sid.$

Linjära partiella differentialoperatorer

Se även: Distribution (matematik)

Teorem — Låt $D$ vara en linjär partiell differentialoperator med ${\mathcal {C}}^{\infty }$ koefficienter i en öppen delmängd $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}.$ Följande är likvärdiga:

1. För varje $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)$ finns det några $u\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)$ så att $Du=f.$
2. $U$ är $D$ -konvex och $D$ är semiglobalt lösbar.

$D$ är semiglobalt lösbar i $U$ betyder att för varje relativt kompakt öppen delmängd $V$ av $U$ gäller följande villkor:

till varje $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)$ finns det några $g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)$ så att $Dg=f$ i $V$ .

$U$ är $D$ -konvex betyder att för varje kompakt delmängd $K\subseteq U$ och varje heltal $n\geq 0,$ finns en kompakt delmängd $C_{n}$ av $U$ så att för varje distribution $d$ med kompakt stöd i $U$ gäller följande villkor:

om ${}^{t}Dd$ är av ordningen $\leq n$ och om $\operatorname {supp} {}^{t }Dd\subseteq K,$ sedan $\operatörsnamn {supp} d\subseteq C_{n}.$

Se även

• Epimorfism – surjektiv homomorfism Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Exponentiell formel
• Öppen avbildningssats (funktionell analys) – Förutsättning för att en linjär operator ska vara öppen

Bibliografi

•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiska vektorutrymmen . Ren och tillämpad matematik (andra upplagan). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Trèves, François (2006) [1967]. Topologiska vektorutrymmen, distributioner och kärnor . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .