Höjdfunktion

Den här artikeln handlar om matematiska funktioner som kvantifierar komplexitet. För annan användning av höjd, se Höjd (disambiguation) .

En höjdfunktion är en funktion som kvantifierar komplexiteten hos matematiska objekt. I Diophantine geometri kvantifierar höjdfunktioner storleken på lösningar till Diophantine ekvationer och är typiskt funktioner från en uppsättning punkter på algebraiska varianter (eller en uppsättning algebraiska varianter) till de reella talen .

Till exempel definieras den klassiska eller naiva höjden över de rationella talen typiskt för att vara maximum av täljarna och nämnare för koordinaterna (t.ex. 7 för koordinaterna (3/7, 1/2) ), men i en logaritmisk skala .

Betydelse

Höjdfunktioner tillåter matematiker att räkna objekt, såsom rationella punkter , som annars är oändliga i kvantitet. Till exempel är uppsättningen av rationella tal av naiv höjd (maximum för täljaren och nämnaren när de uttrycks i lägsta termer ) under en given konstant är ändlig trots att uppsättningen av rationella tal är oändlig. I denna mening kan höjdfunktioner användas för att bevisa asymptotiska resultat som Bakers teorem i transcendental talteori som bevisades av Alan Baker ( 1966 , 1967a , 1967b ).

I andra fall kan höjdfunktioner särskilja vissa objekt baserat på deras komplexitet. Till exempel, subrymdsatsen bevisad av Wolfgang M. Schmidt ( 1972 ) visar att punkter med liten höjd (dvs liten komplexitet) i projektiv rymd ligger i ett ändligt antal hyperplan och generaliserar Siegels sats om integralpunkter och lösning av S-enheten ekvation .

Höjdfunktioner var avgörande för bevisen för Mordell-Weils sats och Faltings sats av Weil ( 1929 ) respektive Faltings ( 1983 ). Flera utestående olösta problem om höjderna av rationella punkter på algebraiska varianter, såsom Manin-förmodan och Vojtas förmodan , har långtgående konsekvenser för problem i diofantisk approximation , diofantiska ekvationer , aritmetisk geometri och matematisk logik .

Historia

En tidig form av höjdfunktion föreslogs av Giambattista Benedetti (ca 1563), som hävdade att konsonansen av ett musikaliskt intervall kunde mätas med produkten av dess täljare och nämnare (i reducerad form); se Giambattista Benedetti § Musik .

Höjderna i diofantin geometri utvecklades ursprungligen av André Weil och Douglas Northcott med början på 1920-talet. Innovationer på 1960-talet var Néron-Tate-höjden och insikten att höjder var kopplade till projektiva representationer på ungefär samma sätt som rikliga linjebuntar finns i andra delar av algebraisk geometri . På 1970-talet Suren Arakelov Arakelov-höjder i Arakelov-teorin . 1983 utvecklade Faltings sin teori om Faltings höjder i sitt bevis på Faltings teorem.

Höjdfunktioner i diofantin geometri

Naiv höjd

Klassisk eller naiv höjd definieras i termer av ordinärt absolutvärde på homogena koordinater . Det är vanligtvis en logaritmisk skala och kan därför ses som proportionell mot den "algebraiska komplexiteten" eller antalet bitar som behövs för att lagra en punkt. Det definieras typiskt som logaritmen för det maximala absoluta värdet av vektorn av coprime-heltal som erhålls genom att multiplicera med en minsta gemensam nämnare . Detta kan användas för att definiera höjden på en punkt i projektiv rymd över Q , eller för ett polynom, betraktat som en vektor av koefficienter, eller av ett algebraiskt tal, från höjden av dess minimala polynom.

Den naiva höjden av ett rationellt tal x = p / q (i lägsta termer) är

• multiplikativ höjd $H(p/q)=\max\{|p|,|q|\}$
• logaritmisk höjd: $h(p/q)=\log H(p/q)$

är de naiva multiplikativa och logaritmiska höjderna på 4/10 5 och log(5) till exempel.

Den naiva höjden H för en elliptisk kurva E given av y ² = x ³ + Ax + B definieras som H(E) = log max(4| A | ³ , 27| B | ² ) .

Néron–Tate höjd

Huvudartikel: Néron–Tate höjd

Néron -Tate-höjden , eller kanonisk höjd , är en kvadratisk form på Mordell-Weil-gruppen av rationella punkter av en abelsk variation som definieras över ett globalt fält . Den är uppkallad efter André Néron , som först definierade den som en summa av lokala höjder, och John Tate , som definierade den globalt i ett opublicerat verk.

Weil höjd

Weil -höjden definieras på en projektiv variant X över ett nummerfält K utrustat med en linjebunt L på X . Givet en mycket riklig linjebunt L ₀ på X , kan man definiera en höjdfunktion med den naiva höjdfunktionen h . Eftersom ₀ L ' är mycket rik, ger dess kompletta linjära system en karta ϕ från X till projektiv rymd. Sedan för alla punkter p på X , definiera $h_{L_{0}}(p):=h(\phi (p)).$

Man kan skriva en godtycklig linjebunt L på X som skillnaden mellan två mycket rikliga linjebuntar L ₁ och L ₂ på X , upp till Serres vridbara bunt O(1) , så man kan definiera Weil-höjden h _L på X med respekt till L via $h_{L}:=h_{L_{1}}-h_{L_{2}},$ (upp till O(1) ).

Arakelov höjd

Arakelovhöjden på ett projektivt utrymme över fältet av algebraiska tal är en global höjdfunktion med lokala bidrag som kommer från Fubini–Studiemetrik på de arkimediska fälten och den vanliga metriken på de icke -arkimediska fälten . Det är den vanliga Weil-höjden utrustad med en annan metrik.

Faltingshöjd

Faltingshöjden för en abelsk sort definierad över ett talfält är ett mått på dess aritmetiska komplexitet. Den definieras i termer av höjden på en metriserad linjebunt . Det introducerades av Faltings ( 1983 ) i hans bevis på Mordell-förmodan .

Höjdfunktioner i algebra

Se även: Höjd (abelsk grupp) och Höjd (ringteori)

Höjden på ett polynom

För ett polynom P av grad n givet av

$P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_ {n}x^{n},$

höjden H ( P ) definieras som det maximala av storleken på dess koefficienter :

$H(P)={\underset {i}{\max }}\,|a_{i}|.$

Man skulle på liknande sätt kunna definiera längden L ( P ) som summan av koefficienternas storlek:

$L(P)=\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|.$

Förhållande till Mahler mått

Mahlermåttet M ( P ) för P är också ett mått på komplexiteten hos P. De tre funktionerna H ( P ), L ( P ) och M ( P ) är relaterade av ojämlikheterna

${\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}^{-1}H(P)\leq M(P)\leq H(P){\sqrt {n+1}};$

$L(p)\leq 2^{n}M(p)\leq 2^{n}L(p);$

$H(p)\leq L(p)\leq (n+1)H(p)$

där $\scriptstyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}$ är binomialkoefficienten .

Höjdfunktioner i automorfa former

Ett av villkoren i definitionen av en automorf form på den allmänna linjära gruppen av en adelisk algebraisk grupp är måttlig tillväxt , vilket är ett asymptotiskt tillstånd för tillväxten av en höjdfunktion på den allmänna linjära gruppen som ses som en affin sort .

Andra höjdfunktioner

Höjden på ett irreducerbart rationellt tal x = p / q , q > 0 är $|p|+q$ (denna funktion används för att konstruera en bijektion mellan $\mathbb {N}$ och $\mathbb {Q}$ ).

Se även

• abc gissning
• Birch och Swinnerton-Dyer gissningar
• Elliptisk Lehmer gissning
• Heath-Brown–Moroz konstant
• Höjd av en formell grupplag
• Höjd zeta funktion
• Raynauds isogenisats
• Trädets höjd

Källor

•    Baker, Alan (1966). "Linjära former i logaritmerna för algebraiska tal. I". Mathematika . 13 (2): 204–216. doi : 10.1112/S0025579300003971 . ISSN 0025-5793 . MR 0220680 .
•    Baker, Alan (1967a). "Linjära former i logaritmerna för algebraiska tal. II". Mathematika . 14 : 102–107. doi : 10.1112/S0025579300008068 . ISSN 0025-5793 . MR 0220680 .
•    Baker, Alan (1967b). "Linjära former i logaritmerna för algebraiska tal. III". Mathematika . 14 (2): 220–228. doi : 10.1112/S0025579300003843 . ISSN 0025-5793 . MR 0220680 .
•    Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert (2007). Logaritmiska former och diofant geometri . Nya matematiska monografier. Vol. 9. Cambridge University Press . sid. 3. ISBN 978-0-521-88268-2 . Zbl 1145.11004 .
•    Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). Höjder i diofantin geometri . Nya matematiska monografier. Vol. 4. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-71229-3 . Zbl 1130.11034 .
•    Borwein, Peter (2002). Beräkningsexkursioner i analys och talteori . CMS-böcker i matematik. Springer-Verlag . s. 2 , 3, 14148. ISBN 0-387-95444-9 . Zbl 1020.12001 .
•   Bump, Daniel (1998). Automorfa former och representationer . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 55. Cambridge University Press. sid. 300. ISBN 9780521658188 .
•   Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. (1986). Aritmetisk geometri . New York: Springer. ISBN 0387963111 . → Innehåller en engelsk översättning av Faltings (1983)
•    Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Ändlighetssatser för abelska varieteter över talfält]. Inventiones Mathematicae (på tyska). 73 (3): 349–366. Bibcode : 1983InMat..73..349F . doi : 10.1007/BF01388432 . MR 0718935 . S2CID 121049418 .
•    Faltings, Gerd (1991). "Diofantisk approximation på abelska sorter". Annals of Mathematics . 123 (3): 549–576. doi : 10.2307/2944319 . JSTOR 2944319 . MR 1109353 .
•   Fili, Paul; Petsche, Clayton; Pritsker, Igor (2017). "Energiintegraler och små punkter för Arakelovhöjden". Archiv der Mathematik . 109 (5): 441–454. arXiv : 1507.01900 . doi : 10.1007/s00013-017-1080-x . S2CID 119161942 .
•   Mahler, K. (1963). "På två extrema egenskaper hos polynom" . Illinois Journal of Mathematics . 7 (4): 681–701. doi : 10.1215/ijm/1255645104 . Zbl 0117.04003 .
•    Néron, André (1965). "Quasi-fonctions et hauteurs sur les variétés abéliennes". Annals of Mathematics (på franska). 82 (2): 249–331. doi : 10.2307/1970644 . JSTOR 1970644 . MR 0179173 .
•    Schinzel, Andrzej (2000). Polynom med särskild hänsyn till reducerbarhet . Encyclopedia of Mathematics och dess tillämpningar. Vol. 77. Cambridge: Cambridge University Press . sid. 212 . ISBN 0-521-66225-7 . Zbl 0956.12001 .
•    Schmidt, Wolfgang M. (1972). "Normformekvationer". Annals of Mathematics . Andra serien. 96 (3): 526–551. doi : 10.2307/1970824 . JSTOR 1970824 . MR 0314761 .
•     Lang, Serge (1988). Introduktion till Arakelov teori . New York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-96793-1 . MR 0969124 . Zbl 0667.14001 .
•    Lang, Serge (1997). Undersökning av diofantin geometri . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8 . Zbl 0869.11051 .
•   Weil, André (1929). "L'arithmétique sur les courbes algébriques" . Acta Mathematica . 52 (1): 281–315. doi : 10.1007/BF02592688 . MR 1555278 .
•   Silverman, Joseph H. (1994). Avancerade ämnen i aritmetiken av elliptiska kurvor . New York: Springer. ISBN 978-1-4612-0851-8 .
•     Vojta, Paul (1987). Diofantiska approximationer och värdefördelningsteori . Föreläsningsanteckningar i matematik. Vol. 1239. Berlin, New York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/BFb0072989 . ISBN 978-3-540-17551-3 . MR 0883451 . Zbl 0609.14011 .
• Kolmogorov, Andrey ; Fomin, Sergei (1957). Element i funktionsteorin och funktionsanalys . New York: Graylock Press.

externa länkar

• Polynomhöjd vid Mathworld