Rang av en abelsk grupp

Inom matematik är rangen , Prüfer rangen eller vridningsfri rang för en abelisk grupp A kardinaliteten av en maximal linjärt oberoende delmängd. Rangen A bestämmer storleken på den största fria abelska gruppen som finns i A . Om A är torsionsfri bäddas den in i ett vektorrum över de rationella talen för dimensionsrang A . För ändligt genererade abelska grupper är rang en stark invariant och varje sådan grupp bestäms upp till isomorfism av dess rang- och vridningsundergrupp . Torsionsfria abelska grupper av rang 1 har blivit helt klassificerade. Teorin om abelska grupper av högre rang är dock mer involverad.

Termen rang har en annan betydelse i sammanhanget av elementära abelska grupper .

Definition

En delmängd { a _α } av en abelsk grupp A är linjärt oberoende (över Z ) om den enda linjära kombinationen av dessa element som är lika med noll är trivial: om

\sum _{\alpha }n_{\alpha }a_{\alpha }=0,\quad n_{\alpha }\in \mathbb {Z} ,

där alla utom ändligt många koefficienter n _α är noll (så att summan i själva verket är ändlig), då är alla koefficienter noll. Alla två maximala linjärt oberoende uppsättningar i A har samma kardinalitet , vilket kallas rangen av A.

Rangen för en abelisk grupp är analog med dimensionen av ett vektorrum . Den största skillnaden med fallet med vektorrymd är närvaron av torsion . Ett element i en abelisk grupp A klassificeras som torsion om dess ordning är ändlig. Mängden av alla torsionselement är en undergrupp, kallad torsionsundergruppen och betecknad T ( A ). En grupp kallas torsionsfri om den inte har några icke-triviala torsionselement. Faktorgruppen A / T ( A ) är den unika maximala vridningsfria kvoten av A och dess rankning sammanfaller med rankningen av A .

Begreppet rang med analoga egenskaper kan definieras för moduler över vilken integral domän som helst , fallet med abelska grupper som motsvarar moduler över Z. För detta, se ändligt genererad modul#Generisk rang .

Egenskaper

Rangen för en abelisk grupp A sammanfaller med dimensionen av Q -vektorrummet A ⊗ Q . Om A är torsionsfri är den kanoniska kartan A → A ⊗ Q injektiv och rangordningen för A är den minsta dimensionen av Q -vektorrymden som innehåller A som en abelsk undergrupp. I synnerhet har vilken mellanliggande grupp Zn < A < Qn ^som helst rang ⁿ .
Abeliska grupper av rang 0 är exakt de periodiska abelska grupperna .
Gruppen Q av rationella tal har rang 1. Torsionsfria abelska grupper av rang 1 realiseras som undergrupper av Q och det finns en tillfredsställande klassificering av dem upp till isomorfism. Däremot finns det ingen tillfredsställande klassificering av torsionsfria abelska grupper av rang 2.
Rangen är additiv över korta exakta sekvenser : if

0\to A\to B\to C\to 0\;

är en kort exakt följd av abelska grupper då rk B = rk A + rk C . Detta följer av planheten hos Q och motsvarande faktum för vektorrum.

Rank är additiv över godtyckliga direkta summor :

\operatorname {rank} \left(\bigoplus _{j\in J} A_{j}\right)=\summa _{j\in J}\operatörsnamn {rank} (A_{j}),

där summan på höger sida använder kardinalaritmetik .

Grupper av högre rang

Abeliska grupper med högre rang än 1 är källor till intressanta exempel. Till exempel, för varje kardinal d finns det vridningsfria abelska grupper av rang d som är oupplösliga , dvs inte kan uttryckas som en direkt summa av ett par av deras egentliga undergrupper. Dessa exempel visar att vridningsfria abelska grupper av rang högre än 1 inte helt enkelt kan byggas av direkta summor från vridningsfria abelska grupper av rang 1, vars teori är väl förstådd. Dessutom, för varje heltal $n\geq 3$ , finns det en vridningsfri abelsk grupp av rang $2n-2$ som samtidigt är en summa av två oupplösliga grupper, och en summan av n oupplösliga grupper. ^{[ citat behövs ]} Därför är inte ens antalet oupplösliga summeringar av en grupp med en jämn rang som är större eller lika med 4 väldefinierad.

Ett annat resultat om icke-unikhet hos direkta summasönderdelningar beror på ALS Corner: givet heltal ${\displaystyle n\geq k\geq 1} ,$ finns det en vridningsfri abelsk grupp A av rang n så att för valfri partition $n=r_{1}+\cdots +r_{k}$ till k naturliga summor, gruppen A är den direkta summan av k oupplösliga undergrupper av rangorden $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}$ . ^{[ citat behövs ]} Således sekvensen av rangordnar av oupplösliga summeringar i en viss direkt summanedbrytning av en torsionsfri abelisk grupp av finit rang är mycket långt ifrån att vara en invariant av A .

^inkluderar torsionsfria rang 2-grupper An , _{isomorf m och} Bn , _{n m så} att An är till Bn om och endast om är delbart med m ^.

För abelska grupper av oändlig rang finns det ett exempel på en grupp K och en undergrupp G så att

K är oupplöslig;
K genereras av G och ett enda annat element; och
Varje direkt summa som inte är noll av G är nedbrytbar.

Generalisering

₀ Begreppet rang kan generaliseras för vilken modul M som helst över en integral domän R , som dimensionen över R , kvotfältet , för modulens tensorprodukt med fältet :

\operatörsnamn {rank} (M)=\dim _{R_{0}}M\otimes _{R}R_{0}

₀ Det är vettigt, eftersom R är ett fält, och därför är vilken modul som helst (eller, för att vara mer specifik, vektorutrymme ) över den fri.

Det är en generalisering, eftersom varje abelisk grupp är en modul över heltalen. Det följer lätt att produktens dimension över Q är kardinaliteten för maximal linjärt oberoende delmängd, eftersom för varje torsionselement x och varje rationell q ,

x\otimes _{\mathbf {Z} }q=0.

Se även

Rang för en grupp