Konforma dödande vektorfält

I konform geometri är ett konformt dödande vektorfält på ett grenrör med dimension n med (pseudo) Riemann-metrisk $g$ (även kallad en konform dödande vektor, CKV eller konform kolineation), ett vektorfält $X$ vars (lokalt definierade) flöde definierar konforma transformationer , det vill säga bevara $g$ upp till skala och bevara den konforma strukturen. Flera ekvivalenta formuleringar, kallade den konforma Killing-ekvationen , finns i termer av Lie-derivatan av flödet, t.ex. ${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g$ för någon funktion $\lambda$ på grenröret. För $n\neq 2$ finns det ett ändligt antal lösningar, som specificerar den konforma symmetrin för det utrymmet, men i två dimensioner finns det en oändlighet av lösningar . Namnet Killing syftar på Wilhelm Killing , som först undersökte Killing vektorfält .

Densitiserade metriska tensor och Conformal Killing vektorer

Ett vektorfält $X$ är ett dödande vektorfält om och endast om dess flöde bevarar den metriska tensorn $g$ (strängt taget för varje kompakt delmängd av grenröret, flödet behöver bara definieras för ändlig tid ). Matematiskt formulerat $X$ dödande om och bara om det uppfyller

${\mathcal {L}}_{X}g=0.$

där ${\mathcal {L}}_{X}$ är Lie-derivatan.

Mer allmänt, definiera ett w -Killing vektorfält $X$ som ett vektorfält vars (lokala) flöde bevarar den förtätade metriken ${\displaystyle g\mu _{g}^{w}} ,$ där $\mu _{g}$ är volymdensiteten definierad av $g$ (dvs lokalt ${\displaystyle \mu _{ g}={\sqrt {|\det(g)|}}\,dx^{1}\cdots dx^{n}} ) och w$ ∈ $displaystyle w\in \mathbf {R} }$ är dess vikt. Observera att ett Killing-vektorfält bevarar $\mu _{g}$ och uppfyller därför automatiskt även denna mer allmänna ekvation. Observera också att $w=-2/n$ är den unika vikten som gör kombinationen $g\mu _{g}^{w}$ invariant under skalning av måtten. Därför beror tillståndet i det här fallet endast på den konforma strukturen . Nu är ${\displaystyle X} ett$ w -Killing vektorfält om och endast om

${\mathcal {L}}_{X}\left(g \mu _{g}^{w}\right)=({\mathcal {L}}_{X}g)\mu _{g}^{w}+wg\mu _{g}^{w- 1}{\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=0.$

Eftersom ${\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=\operatörsnamn {div} (X)\mu _{g}$ detta är ekvivalent med

${\mathcal {L}}_{X}g=-w\operatörsnamn {div} (X)g.$

Genom att ta spår av båda sidor drar vi slutsatsen $2\mathop {\mathrm {div} } (X)=-wn\operatörsnamn {div} ( X)$ . Därför för $w\neq -2/n$ , nödvändigtvis $\operatorname {div} (X)=0$ och ett w -Killing vektorfält är bara ett normalt dödande vektorfält vars flöde bevarar metriken. Men för $w=-2/n$ måste flödet av ${\displaystyle X} endast bevara den konforma strukturen och är per definition ett$ konformt Killing vektorfält .

Likvärdiga formuleringar

Följande är likvärdiga

1. $X$ är ett konformt dödande vektorfält,
2. Det (lokalt definierade) flödet av $X$ bevarar den konforma strukturen,
3. ${\mathcal {L}}_{X}(g\mu _{g}^{-2/n})=0,$
4. ${\mathcal {L}}_{X}g={\frac {2}{n}}\operatörsnamn {div} (X)g,$
5. ${\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g$ för någon funktion $\lambda .$

Diskussionen ovan bevisar likvärdigheten av alla utom den till synes mer allmänna sista formen. Men de två sista formerna är också ekvivalenta: att ta spår visar att $\lambda =(2/n)\operatörsnamn {div} (X)$ .

Den sista formen gör det klart att alla dödande vektorer också är en konforma dödande vektorer, med $\lambda \cong 0.$

Den konforma Killing-ekvationen

Med att ${\mathcal {L}}_{X}g=2\left(\nabla X^{\flat }\right)^{\ mathrm {symm} }$ där $\nabla$ är Levi Civita-derivatan av $g$ (alias kovariantderivata), och $X^{\flat }=g(X,\cdot )$ är den dubbla 1-formen av $X$ (alias associerad kovariant vektor alias vektor med sänkta index), och ${}^{\mathrm {symm } }$ är projektion på den symmetriska delen, man kan skriva den konforma Killing-ekvationen i abstrakt indexnotation som

$\nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}={\frac {2}{n}}g_{ab}\nabla _{c}X^{c} .$

En annan indexnotation för att skriva de konforma Killing-ekvationerna är

$X_{a;b}+X_{b;a}={\frac {2}{n}}g_{ab}X^{c}{}_{;c}.$

Exempel

Platt utrymme

I $n$ -dimensionell platt rymd, det vill säga euklidiska rymden eller pseudo-euklidiska rymden , finns det globalt plana koordinater där vi har en konstant metrisk $g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }$ där i rymden med signatur $(p,q)$ , har vi komponenter $(\eta _{\mu \nu })={\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)$ . I dessa koordinater försvinner kopplingskomponenterna, så den kovarianta derivatan är koordinatderivatan. Den konforma Killing-ekvationen i platt utrymme är

$\partial _{\mu }X_{\nu }+\partial _{\nu }X_{\mu }={\frac {2}{n}}\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }X^{\rho }.$

Lösningarna till den flata rymdkonformella Killing-ekvationen inkluderar lösningarna till den flat space Killing-ekvationen som diskuteras i artikeln om Killing vektorfält. Dessa genererar Poincaré-gruppen av isometrier av platt utrymme. Med tanke på ansatsen ${\displaystyle X^{\mu }=M^{\mu \nu }x_{\nu },} tar vi$ bort den antisymmetriska delen av $M^{\mu \nu }$ eftersom detta motsvarar kända lösningar, och vi letar efter nya lösningar. Då $M^{\mu \nu }$ symmetrisk. Det följer att detta är en dilatation , med ${\displaystyle M_{\nu }^{\mu }=\lambda \delta _{\nu }^{\mu }} för$ verklig ${ \displaystyle \lambda }$ , och motsvarande dödande vektor $X^{\mu }=\lambda x^{\mu }$ .

Från den allmänna lösningen finns det $n$ fler generatorer, kända som speciella konforma transformationer , givna av

$X_{\mu }=c_{\mu \nu \rho }x^{\nu }x^{\rho },$

där den spårlösa delen av $c_{\mu \nu \rho }$ över $\mu ,\nu$ försvinner, kan därför parametriseras med ${ \displaystyle c^{\mu }{}_{\mu \nu }=b_{\nu }}$ .

Allmän lösning på den konforma Killing-ekvationen

Vi Taylor expanderar $X_{\mu }$ i $x^{\mu }$ för att erhålla en (oändlig) linjär kombination av termer i formen

$X_{\mu }=a_{\mu \mu _{1}\cdots \mu _{n}}x^{\ mu _{1}}\cdots x^{\mu _{n}},$

där tensorn $\mathbf {a}$ är symmetrisk under utbyte av $\mu _{i},\mu _{j}$ men inte nödvändigtvis $\mu$ med $\mu _{i}$ .

För enkelhetens skull begränsar vi till $n=2$ , vilket kommer att vara informativt för termer av högre ordning senare. Den konforma Killing-ekvationen ger

$a_{\mu \nu \rho }+a_{\nu \mu \rho }-{\frac {2 }{n}}\eta _{\mu \nu }a^{\sigma }{}_{\sigma \rho }=0.$

Vi projicerar nu $a_{\mu \nu \rho }$ i två oberoende tensorer: en spårlös och ren spårdel över dess första två index. Det rena spåret uppfyller automatiskt ekvationen och är $c_{\mu \nu \rho }$ i svaret. Den spårlösa delen ${\tilde {a}}_{\mu \nu \rho }$ uppfyller den vanliga Killing-ekvationen och visar ${\tilde {\mathbf {a} } }$ är antisymmetrisk på de två första indexen. Den är symmetrisk på de två andra indexen. Detta visar att under en cyklisk permutation av index, ${\tilde {\mathbf {a} }}$ upp ett minustecken. Efter tre cykliska permutationer lär vi oss ${\tilde {\mathbf {a} }}=0$ .

Termer med högre ordning försvinner (ska slutföras)

Tillsammans, de $n$ översättningarna, $n(n-1)/2$ Lorentz-transformationer, $1$ dilatation och $n$ speciell konformal transformationer omfattar den konforma algebra, som genererar den konforma gruppen av pseudo-euklidiskt rum.

Se även

• Affin vektorfält
• Kurvaturkollinering
• Einsteins grenrör
• Homothetic vektor fält
• Invariant differentialoperator
• Dödande vektorfält
• Materiakollinering
• Rymdtidssymmetrier

• Wald, RM (1984). Allmän relativitet. University of Chicago Press.