Generaliserad Verma-modul

Inom matematiken är generaliserade Verma-moduler en generalisering av en (sann) Verma-modul , och är objekt i representationsteorin för Lie-algebras . De studerades ursprungligen av James Lepowsky på 1970-talet. Motivationen för deras studie är att deras homomorfismer motsvarar invarianta differentialoperatorer över generaliserade flaggmanifolder . Studiet av dessa operatorer är en viktig del av teorin om paraboliska geometrier.

Definition

Låt ${\mathfrak {g}}$ vara en halvenkel Lie-algebra och ${\mathfrak {p}}$ en parabolisk subalgebra till ${\mathfrak {g}}$ . För varje oreducerbar finitdimensionell representation $V$ av ${\mathfrak {p}}$ definierar vi den generaliserade Verma-modulen som den relativa tensorprodukten

$M_{\mathfrak {p}}(V):={\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\ ibland _{{\mathcal {U}}({\mathfrak {p}})}V$ .

Åtgärden för ${\mathfrak {g}}$ är vänstermultiplikation i ${\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})$ .

Om λ är den högsta vikten av V, betecknar vi ibland Verma-modulen med $M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ .

Observera att $M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ endast är meningsfullt för ${\mathfrak {p}}$ -dominant och ${\mathfrak { p}}$ -integralvikter (se vikt ) $\lambda$ .

Det är välkänt att en parabolisk subalgebra ${\mathfrak {p}}$ av ${\mathfrak {g}}$ bestämmer en unik gradering ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\oplus _{j=-k}^{k}{\mathfrak {g}}_{j}} så att p = ⊕ j ≥ g$ j $p }}=\oplus _{j\geq 0}{\mathfrak {g}}_{j}}$ . Låt ${\mathfrak {g}}_{-}:=\oplus _{j<0}{\mathfrak {g}}_{j}$ . Det följer av Poincaré–Birkhoff–Witts sats att, som ett vektorrum (och även som en ${\mathfrak {g}}_{-}$ - modul och som en ${\mathfrak {g}}_{0}$ -modul),

$M_{\mathfrak {p}}(V)\simeq {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}_{-})\ ibland V$ .

I ytterligare text kommer vi att beteckna en generaliserad Verma-modul helt enkelt med GVM.

Egenskaper för GVM

GVM:er är moduler med högst vikt och deras högsta vikt λ är den högsta vikten av representationen V. Om $v_{\lambda }$ är den högsta viktvektorn i V, då $1\otimes v_{\lambda }$ är den högsta viktvektorn i $M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ .

GVM är viktmoduler , dvs de är direkt summan av dess viktutrymmen och dessa viktutrymmen är ändliga dimensionella.

Som alla högst viktmoduler är GVM:er kvoter av Verma-moduler. Kärnan i projektionen ${\displaystyle M_{\lambda }\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ } är

$(1)\quad K_{\lambda }:=\summa _{\alpha \in S}M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }\subset M_{\lambda }$

där $S\subset \Delta$ är mängden av dessa enkla rötter α så att de negativa rotutrymmena för roten $-\alpha$ är i ${\mathfrak {p} }$ (mängden S bestämmer unikt subalgebra ${\mathfrak {p}}$ ), $s_{\alpha }$ är rotreflektionen med avseende på roten α och $s_{\alpha }\cdot \lambda$ är den affina åtgärden av $s_{\alpha }$ på λ. Det följer av teorin om (sanna) Verma-moduler att $M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }$ är isomorf till en unik undermodul av $M_{\lambda }$ . I (1) identifierade vi $M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }\subset M_{\lambda }$ . Summan i (1) är inte direkt .

I det speciella fallet när ${\displaystyle S=\emptyset } ,$ är den paraboliska subalgebra ${\mathfrak {p}}$ Borel-subalgebra och GVM sammanfaller med (sann) Verma-modul. I det andra extrema fallet när $S=\Delta$ , ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {g}}$ och GVM är isomorf till den inducerande representationen V .

GVM $M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ kallas reguljär , om dess högsta vikt λ är på den affina Weyl-banan för en dominant vikt ${\tilde {\lambda }}$ . Med andra ord finns det ett element w av Weyl-gruppen W så att

$\lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}$

där $\cdot$ är den affina åtgärden för Weyl-gruppen.

Verma-modulen $M_{\lambda }$ kallas singular , om det inte finns någon dominant vikt på den affina omloppsbanan för λ. I det här fallet finns det en vikt ${\tilde {\lambda }}$ så att ${\tilde {\lambda }}+\delta$ är på väggen av grunden Weyl-kammare (δ är summan av alla fundamentala vikter ).

Homomorfismer av GVM

Med en homomorfism av GVM menar vi ${\mathfrak {g}}$ -homomorfism.

För två valfria vikter $\lambda ,\mu$ en homomorfism

$M_{\mathfrak {p}}(\mu )\rightarrow M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$

kan endast existera om $\mu$ och $\lambda$ är länkade med en affin handling av Weyl-gruppen $W$ i Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ . Detta följer lätt av Harish-Chandra-satsen om oändligt små centrala tecken .

Till skillnad från i fallet med (äkta) Verma-moduler är homomorfismerna hos GVM:er i allmänhet inte injektiva och dimensionen

$\displaystyle dim(Hom(M_{\mathfrak {p}}(\mu ),M_{\mathfrak {p}}( \lambda )))}$

kan vara större än en i vissa specifika fall.

Om $f:M_{\mu }\to M_{\lambda }$ är en homomorfism av (sanna) Verma-moduler, $K_{\mu }$ resp. $K_{\lambda }$ är kärnorna i projektionen ${\displaystyle M_{\mu }\to M_{\mathfrak {p}}(\mu )} ,$ resp. . ${\displaystyle M_{\lambda }\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )} , då$ finns det en homomorfism $K_{\mu } \to K_{\lambda }$ och f faktorer till en homomorfism av generaliserade Verma-moduler $M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ . En sådan homomorfism (det är en faktor för en homomorfism av Verma-moduler) kallas standard . Standardhomomorfismen kan dock vara noll i vissa fall.

Standard

Låt oss anta att det finns en icke-trivial homomorfism av sanna Verma-moduler $M_{\mu }\to M_{\lambda }$ . Låt $S\subset \Delta$ vara mängden av dessa enkla rötter α så att de negativa rotutrymmena för roten $-\alpha$ är i ${\mathfrak {p} }$ (som i avsnittet Egenskaper ). Följande sats bevisas av Lepowsky :

Standardhomomorfismen ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )} är noll om och endast$ om det finns $\alpha \in S$ så att $M_{\mu }$ är isomorf till en undermodul av $M_{s_{\alpha }\cdot \lambda }$ ( $s_{\alpha }$ är motsvarande rotreflektion och $\cdot$ är den affina åtgärden ).

Strukturen för GVM på den affina omloppsbanan för en ${\mathfrak {g}}$ -dominant och $displaystyle {\mathfrak {g}}}$ \ -integralvikt ${\tilde {\ lambda }}$ kan beskrivas explicit. Om W är Weyl-gruppen av ${\mathfrak {g}}$ , finns det en delmängd $W^{\mathfrak {p}}\subset W$ av sådana element, så att ${\displaystyle w\in W^{\mathfrak {p}}\Leftrightarrow w({\tilde {\lambda }})} är$ p $\displaystyle {\mathfrak {p} }}$ -dominant. Det kan visas att $W^{\mathfrak {p}}\simeq W_{\mathfrak {p}}\backslash W$ där $W_{\mathfrak {p }}$ är Weyl-gruppen av ${\mathfrak {p}}$ (särskilt $W^{\mathfrak {p}}$ beror inte på valet av ${\ displaystyle {\tilde {\lambda }}} )$ . Kartan $w\in W^{\mathfrak {p}}\mapsto M_{\mathfrak {p}}(w\cdot {\tilde {\lambda }})$ är en bijektion mellan $W^{\mathfrak {p}}$ och uppsättningen av GVM:er med högsta vikter på den affina omloppsbanan av ${\tilde {\lambda }}$ . Låt oss anta att $\mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}$ , $\lambda =w\cdot {\tilde { \lambda }}$ och $w\leq w'$ i Bruhat-ordningen (annars finns det ingen homomorfism av (sanna) Verma-moduler $M_{\mu }\ till M_{\lambda }$ och standardhomomorfismen är inte meningsfull, se Homomorphisms of Verma-moduler ).

Följande påståenden följer av ovanstående sats och strukturen för $W^{\mathfrak {p}}$ :

Sats. Om $w'=s_{\gamma }w$ för någon positiv rot $\gamma$ och längden (se Bruhat-ordning ) l(w')=l(w)+ 1, så finns det en standardhomomorfism som inte är noll $M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ .

Sats . Standardhomomorfismen ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )} är noll om och endast$ om det finns $w''\in W$ så att $w\leq w''\leq w'$ och $w' '\notin W^{\mathfrak {p}}$ .

Men om ${\tilde {\lambda }}$ endast är dominant men inte integral, kan det fortfarande finnas ${\mathfrak {p}}$ -dominant och ${\mathfrak {p}}$ -integralvikter på dess affina bana.

Situationen är ännu mer komplicerad om GVM:erna har singulära karaktär, dvs. där $\mu$ och $\lambda$ är på den affina omloppsbanan för någon ${\tilde {\lambda }}$ så att ${\tilde {\lambda }}+\delta$ är på väggen av den fundamentala Weyl-kammaren .

Icke standard

En homomorfism $M_{\mathfrak {p}}(\mu )\to M_{\mathfrak {p}}(\lambda )$ kallas icke-standard , om den är inte standard. Det kan hända att standardhomomorfismen för GVM:er är noll men det finns fortfarande en icke-standardiserad homomorfism.

Exempel

• Fälten för konform fältteori tillhör generaliserade Verma - moduler i den konforma algebra .

Se även

• Verma modul
• Parabolisk geometri

externa länkar

• Kod för att konstruera BGG-upplösningen för Lie-algebramoduler och beräkna dess kohomologi