Vlasov ekvation

Vlasov -ekvationen är en differentialekvation som beskriver tidsutvecklingen av fördelningsfunktionen hos plasma som består av laddade partiklar med långdistansinteraktion, t.ex. Coulomb . Ekvationen föreslogs först för beskrivning av plasma av Anatolij Vlasov 1938 och diskuterades senare av honom i detalj i en monografi.

Svårigheter med den vanliga kinetiska metoden

För det första hävdar Vlasov att den kinetiska standardmetoden baserad på Boltzmann-ekvationen har svårigheter när den tillämpas på en beskrivning av plasman med Coulomb-interaktion på lång räckvidd . Han nämner följande problem som uppstår när den kinetiska teorin baserad på parkollisioner tillämpas på plasmadynamik:

1. Teorin om parkollisioner stämmer inte överens med upptäckten av Rayleigh , Irving Langmuir och Lewi Tonks av naturliga vibrationer i elektronplasma.
2. Teorin om parkollisioner är formellt inte tillämplig på Coulomb-interaktion på grund av divergensen mellan de kinetiska termerna.
3. Teorin om parkollisioner kan inte förklara experiment av Harrison Merrill och Harold Webb på anomal elektronspridning i gasformig plasma.

Vlasov antyder att dessa svårigheter har sitt ursprung i Coulombs långväga karaktär. Han börjar med den kollisionsfria Boltzmann-ekvationen (ibland kallad Vlasov-ekvationen, anakronistiskt i detta sammanhang), i generaliserade koordinater :

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t )=0,$$

uttryckligen en PDE :

$${\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=0,$$

och anpassade det till fallet med en plasma, vilket ledde till ekvationssystemen som visas nedan. Här f en allmän fördelningsfunktion för partiklar med momentum p vid koordinaterna r och given tid t . Observera att termen ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ är kraften F som verkar på partikeln.

Vlasov–Maxwells ekvationssystem (gaussiska enheter)

Istället för en kollisionsbaserad kinetisk beskrivning för interaktion av laddade partiklar i plasma, använder Vlasov ett självständigt kollektivt fält som skapas av de laddade plasmapartiklarna. En sådan beskrivning använder fördelningsfunktioner $f_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)$ och ${\ displaystyle f_{i}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$ för elektroner och (positiva) plasmajoner . Fördelningsfunktionen $f_{\alpha }(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)$ för art α beskriver antalet partiklar av arten α som har ungefär momentum $\mathbf {p}$ nära positionen $\displaystyle \mathbf {r} }$ { vid tidpunkten t . Istället för Boltzmann-ekvationen föreslogs följande ekvationssystem för beskrivning av laddade komponenter i plasma (elektroner och positiva joner):

$$_ \displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f_{e}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{e}\cdot \nabla f_{e}&-e\left(\ mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v_{e}} }{c}}\times \mathbf {B} \right)\cdot {\frac {\partial f_{e}}{\partial \mathbf {p} }}=0\\{\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{i}\cdot \nabla f_{i}&+Z_{i} e\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v_{i}} }{c}}\times \mathbf {B} \right)\cdot {\frac {\partial f_{i}} {\partial \mathbf {p} }}=0\\\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {4\pi \mathbf {j} }{c}}+{\frac {1}{ c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\ partiell \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {E} &=4\pi \rho \\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\end{ Justerat}}}$$

$$\rho =e\int (Z_{i}f_{i}-f_{e})\mathrm {d} ^{3}p,\quad \mathbf {j } =e\int (Z_{i}f_{i}\mathbf {v} _{i}-f_{e}\mathbf {v} _{e})\mathrm {d} ^{3}p,\ quad \mathbf {v} _{\alpha }={\frac {\frac {\mathbf {p} }{m_{\alpha }}}{\left(1+{\frac {p^{2}}{ (m_{\alpha }c)^{2}}}\höger)^{1/2}}}$$

Här är e den elementära laddningen ( $e>0$ ), c ​​är ljusets hastighet , m _i är jonens massa, $\mathbf {E} (\ mathbf {r} ,t)$ och $\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)$ representerar ett kollektivt självkonsistent elektromagnetiskt fält som skapas i punkten $\mathbf {r}$ vid tidpunkten t av alla plasmapartiklar. Den väsentliga skillnaden mellan detta ekvationssystem och ekvationer för partiklar i ett externt elektromagnetiskt fält är att det självkonsistenta elektromagnetiska fältet på ett komplext sätt beror på fördelningsfunktionerna för elektroner och joner f e $displaystyle f_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$ och $f_{i}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} , t)$ .

Vlasov–Poissons ekvation

Vlasov-Poisson-ekvationerna är en approximation av Vlasov-Maxwell-ekvationerna i den icke-relativistiska noll-magnetiska fältgränsen:

$${\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}+ \mathbf {v} _{\alpha }\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial \mathbf {x} }}+{\frac {q_{\alpha }\mathbf {E} } {m_{\alpha }}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial \mathbf {v} }}=0,$$

och Poissons ekvation för självständigt elektriskt fält:

$$\nabla ^{2}\phi +\rho =0.$$

Här är q _α partikelns elektriska laddning, m _α är partikelns massa, $\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)$ är det självkonsistenta elektriska fältet , $\phi (\mathbf {x} ,t)$ den självkonsistenta elektriska potentialen och ρ är den elektriska laddningstätheten .

Vlasov–Poisson-ekvationer används för att beskriva olika fenomen i plasma, i synnerhet Landau-dämpning och fördelningarna i ett dubbelskiktsplasma , där de nödvändigtvis är starkt icke- Maxwellska och därför otillgängliga för vätskemodeller.

Momentekvationer

I vätskebeskrivningar av plasma (se plasmamodellering och magnetohydrodynamik (MHD)) tar man inte hänsyn till hastighetsfördelningen. Detta uppnås genom att ersätta $f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)$ med plasmamoment såsom taldensitet n , flödeshastighet u och tryck p . De kallas plasmamoment eftersom det n -te momentet av $f$ kan hittas genom att integrera $v^{n}f$ över hastighet. Dessa variabler är endast funktioner av position och tid, vilket gör att viss information går förlorad. I multifluid-teorin behandlas de olika partikelarterna som olika vätskor med olika tryck, densiteter och flödeshastigheter. Ekvationerna som styr plasmamomenten kallas momentet eller vätskeekvationerna.

Nedan presenteras de två mest använda momentekvationerna (i SI-enheter) . Att härleda momentekvationerna från Vlasov-ekvationen kräver inga antaganden om fördelningsfunktionen.

Kontinuitetsekvation

Kontinuitetsekvationen beskriver hur densiteten förändras med tiden. Den kan hittas genom integration av Vlasov-ekvationen över hela hastighetsutrymmet.

$$\int {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} ^{3}v=\int \left({\frac {\partial }{\partial t}}f+(\mathbf {v} \cdot \ nabla _{r})f+(\mathbf {a} \cdot \nabla _{v})f\right)\mathrm {d} ^{3}v=0$$

Efter några beräkningar hamnar man på

$${\frac {\partial }{\partial t}}n+\nabla \cdot (n\mathbf {u} )=0.$$

Taldensiteten n , och momentumdensiteten n u , är nollte och första ordningens moment:

$$n=\int f\mathrm {d^{3}} v$$

$$n\mathbf {u} =\int \mathbf {v} f\mathrm {d} ^{3}v$$

Momentum ekvation

Hastigheten för förändring av momentum för en partikel ges av Lorentz ekvation:

$$m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$$

Genom att använda denna ekvation och Vlasov-ekvationen blir momentumekvationen för varje vätska

$$mn{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\mathbf {u} =-\nabla \cdot {\mathcal {P}}+qn\mathbf {E} +qn\mathbf {u} \times \mathbf {B} ,$$

där ${\mathcal {P}}$ är trycktensorn. Materialderivatet är _

$${\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .$$

Trycktensorn definieras som partikelmassan gånger kovariansmatrisen för hastigheten:

$$p_{ij}=m\int (v_{i}-u_{i})(v_{j}-u_{j})f\mathrm {d} ^{3}v.$$

Den infrysta uppskattningen

Ytterligare information: Alfvéns sats

När det gäller idealisk MHD kan plasman anses vara bunden till magnetfältslinjerna när vissa villkor är uppfyllda. Man säger ofta att magnetfältslinjerna är frusna i plasman. De infrysta förhållandena kan härledas från Vlasovs ekvation.

Vi introducerar skalorna T , L , och V för tid, distans respektive hastighet. De representerar storleken på de olika parametrarna som ger stora förändringar i $f$ . I stort menar vi det

$${\frac {\partial f}{\partial t}}T\sim f\quad \left|{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\right|L\sim f\quad \left|{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\right|V\sim f.$$

Vi skriver då

$$t'={\frac {t}{T}},\quad \mathbf {r} '={\frac {\mathbf {r} }{L}},\quad \mathbf {v} '= {\frac {\mathbf {v} }{V}}.$$

Vlasovs ekvation kan nu skrivas

$${\frac {1}{1}{101} T}}{\frac {\partial f}{\partial t'}}+{\frac {V}{L}}\mathbf {v} '\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} '}}+{\frac {q}{mV}}(\mathbf {E} +V\mathbf {v} '\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{ \partial \mathbf {v} '}}=0.$$

Hittills har inga uppskattningar gjorts. För att kunna gå vidare ställer vi in $V=R\omega _{g}$ , där $\omega _{g}=qB/m$ är gyrofrekvens och R är gyroradius . Genom att dividera med ω _g får vi

$${\frac {1}{\ omega _{g}T}}{\frac {\partial f}{\partial t'}}+{\frac {R}{L}}\mathbf {v} '\cdot {\frac {\partial f} {\partial \mathbf {r} '}}+\left({\frac {\mathbf {E} }{VB}}+\mathbf {v} '\times {\frac {\mathbf {B} }{B }}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} '}}=0$$

Om $1/\omega _{g}\ll T$ och $R\ll L$ , kommer de två första termerna att vara mycket mindre än $f$ eftersom $\partial f/\partial t'\sim f,v'\lesssim 1$ och $\partial f /\partial \mathbf {r} '\sim f$ på grund av definitionerna av T , L , och V ovan. Eftersom den sista termen är av storleksordningen $f$ , kan vi försumma de två första termerna och skriva

$$\left({\frac {\mathbf {E} }{VB }}+\mathbf {v} '\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} '}}\ ca 0\högerpil (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\approx 0$$

Denna ekvation kan delas upp i en fältjusterad och en vinkelrät del:

$$\mathbf {E} _{\parallel }{\frac {\partial f}{\partial \mathbf { v} _{\parallel }}}+(\mathbf {E} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0$$

Nästa steg är att skriva ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}+\Delta \mathbf {v} } ,$ där

$$\mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} =-\mathbf {E} _{\perp }$$

Det kommer snart att stå klart varför detta görs. Med detta utbyte får vi

$$\mathbf {E} _{\parallel }{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v } _{\parallel }}}+(\Delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{ \perp }}}\approx 0$$

Om det parallella elektriska fältet är litet,

$$(\Delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\ partiell \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0$$

Denna ekvation betyder att fördelningen är gyrotrop. Medelhastigheten för en gyrotrop fördelning är noll. Därför $\mathbf {v} _{0}$ identisk med medelhastigheten, u , och vi har

$$\mathbf {E} +\mathbf {u} \times \mathbf {B} \approx 0$$

För att sammanfatta måste gyroperioden och gyroradien vara mycket mindre än de typiska tiderna och längderna som ger stora förändringar i fördelningsfunktionen. Gyro-radien uppskattas ofta genom att ersätta V med den termiska hastigheten eller Alfvén-hastigheten . I det senare fallet R ofta för tröghetslängden. De infrysta förhållandena måste utvärderas för varje partikelart separat. Eftersom elektroner har mycket mindre gyroperiod och gyroradie än joner, kommer de infrusna villkoren oftare att vara uppfyllda.

Se även

• Lista över plasmafysikartiklar
• Fokker–Planck ekvation

Vidare läsning

• Vlasov, AA (1961). "Mångpartikelteori och dess tillämpning på plasma". New York . Bibcode : 1961temc.book.....V .