n- vektormodell

Inom statistisk mekanik är n - vektormodellen eller O( n )-modellen ett enkelt system av interagerande snurr på ett kristallint gitter . Den utvecklades av H. Eugene Stanley som en generalisering av Ising-modellen , XY-modellen och Heisenberg-modellen . I n -vektormodellen placeras klassiska spins $\mathbf {s} _{i}} s i {\displaystyle \mathbf {s} _{i}$ på hörnen av ett d -dimensionellt gitter. Hamiltonian för n - vektormodellen ges av:

$H=-J{\sum }_{\langle i,j\rangle }\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf { s} _{j}$

där summan löper över alla par av angränsande snurr $\langle i,j\rangle$ och $\cdot$ betecknar den euklidiska standardinre produkten. Specialfall av n -vektormodellen är:

$n=0$ : Den självundvikande promenaden

$n=1$ : Ising-modellen

$n=2$ : XY-modellen

$n =3$ : Heisenberg-modellen

$n=4$ : Leksaksmodell för Higgs-sektorn i standardmodellen

Den generella matematiska formalismen som används för att beskriva och lösa n -vektormodellen och vissa generaliseringar utvecklas i artikeln om Potts-modellen .

Kontinuumgräns

Kontinuumgränsen kan förstås vara sigmamodellen . Detta kan enkelt erhållas genom att skriva Hamiltonian i termer av produkten

$-{\tfrac {1}{2}}(\mathbf {s} _{i} -\mathbf {s} _{j})\cdot (\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j})=\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s } _{j}-1$

där $\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{i}=1$ är termen "bulkmagnetisering". Om man släpper denna term som en övergripande konstant faktor adderad till energin, erhålls gränsen genom att definiera Newtons ändliga skillnad som

$\delta _{h}[\mathbf {s} ](i,j)={\frac {\mathbf {s} _{ i}-\mathbf {s} _{j}}{h}}$

på angränsande gallerplatser $i,j.$ Sedan $\delta _{h}[\mathbf {s} ]\to \nabla _{\mu }\mathbf {s}$ in gränsen $h\to 0$ , där $\nabla _{\mu }$ är gradienten i $(i,j)\to \ mu$ riktning. Alltså, i gränsen,

$-\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\to {\tfrac {1}{2 }}\nabla _{\mu }\mathbf {s} \cdot \nabla _{\mu }\mathbf {s}$

som kan kännas igen som den kinetiska energin för fältet $\mathbf {s}$ i sigmamodellen . Man har fortfarande två möjligheter för snurrningen $\mathbf {s}$ : den är antingen hämtad från en diskret uppsättning snurr ( Potts-modellen ) eller så tas den som en punkt på sfären ${\ displaystil S^{n-1}}$ ; det vill säga $\mathbf {s}$ är en kontinuerligt värderad vektor av enhetslängd. I det senare fallet hänvisas detta till som $O(n)$ icke-linjär sigmamodell, eftersom rotationsgruppen $O(n)$ är en grupp av isometrier av $S^{n-1}$ , och uppenbarligen är $S^{n-1}$ inte "platt", dvs inte ett linjärt fält .