Komplex differentialform

I matematik är en komplex differentialform en differentialform på ett grenrör (vanligtvis ett komplext grenrör ) som tillåts ha komplexa koefficienter.

Komplexa former har breda tillämpningar inom differentialgeometri . På komplexa grenrör är de grundläggande och fungerar som grunden för mycket av algebraisk geometri , Kähler-geometri och Hodge-teorin . Över icke-komplexa grenrör spelar de också en roll i studiet av nästan komplexa strukturer , teorin om spinorer och CR-strukturer .

Vanligtvis anses komplexa former på grund av någon önskvärd nedbrytning som formerna medger. På ett komplext grenrör, till exempel, kan vilken komplex k -form som helst sönderdelas unikt till en summa av så kallade ( p , q )-former : grovt sett kilar av p differentialer av de holomorfa koordinaterna med q differentialer av deras komplexa konjugat. Ensemblen av ( p , q )-former blir det primitiva studieobjektet och bestämmer en finare geometrisk struktur på grenröret än k -formerna. Ännu finare strukturer finns till exempel i fall där Hodge-teorin gäller.

Differentiella former på ett komplext grenrör

Antag att M är en komplex mångfald av komplex dimension n . Sedan finns det ett lokalt koordinatsystem som består av n komplext värderade funktioner z ¹ , ..., z ⁿ så att koordinatövergångarna från en patch till en annan är holomorfa funktioner för dessa variabler. Utrymmet av komplexa former har en rik struktur, i grunden beroende på det faktum att dessa övergångsfunktioner är holomorfa, snarare än bara släta .

Enformar

Vi börjar med fallet med enformer. Dekomponera först de komplexa koordinaterna i deras reella och imaginära delar: z ^j = x ^j + iy ^j för varje j . Uthyrning

dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},

man ser att vilken differentialform som helst med komplexa koefficienter kan skrivas unikt som en summa

\sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).

Låt Ω ^1,0 vara rymden av komplexa differentialformer som endast innehåller $dz$ och Ω ^0,1 vara rymden av former som endast innehåller $d{\bar {z}}$ s. Man kan visa, genom Cauchy–Riemann-ekvationerna , att utrymmena Ω ^1,0 och Ω ^0,1 är stabila under holomorfa koordinatförändringar. Med andra ord, om man gör ett annat val w _i av holomorft koordinatsystem, så transformeras element av Ω ^1,0 tensoriellt , liksom element av Ω ^0,1 . Således bestämmer utrymmena Ω ^0,1 och Ω ^1,0 komplexa vektorbuntar på det komplexa grenröret.

Former av högre grad

Kilprodukten av komplexa differentialformer definieras på samma sätt som med verkliga former. Låt p och q vara ett par av icke-negativa heltal ≤ n . Utrymmet Ω ^p,q för ( p , q )-former definieras genom att ta linjära kombinationer av kilprodukterna av p element från Ω ^1,0 och q element från Ω ^0,1 . Symboliskt,

\Omega ^{p,q}=\underbrace ^{\underbrace ,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{ gånger}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{ gånger}}}

där det finns p- faktorer på Ω ^1,0 och q -faktorer på Ω ^0,1 . Precis som med de två utrymmena av 1-former, är dessa stabila under holomorfa förändringar av koordinater, och bestämmer så vektorknippen.

Om Ek är rymden av alla komplexa differentialformer av total grad ^k , så kan varje element av Ek uttryckas på ^ett unikt sätt som en linjär kombination av element från mellanrummen Ω ^p,q med p + q = k . Mer kortfattat är det en direkt summanedbrytning

E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^ {0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.

Eftersom denna direkta summanedbrytning är stabil under holomorfa koordinatförändringar, bestämmer den också en vektorbuntsupplösning.

Speciellt, för varje k och varje p och q med p + q = k , finns det en kanonisk projektion av vektorbuntar

\pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.

Dolbeault-operatörerna

Den vanliga yttre derivatan definierar en mappning av sektioner $d:\Omega ^{r}\to \Omega ^{r+1}$ via

d(\Omega ^{p,q})\subseteq \bigoplus _{r+s=p+q+ 1}\Omega ^{r,s}

Den yttre derivatan återspeglar inte i sig grenrörets mer stela komplexa struktur.

Med hjälp av d och projektionerna definierade i föregående underavsnitt är det möjligt att definiera Dolbeault-operatorerna :

{\display

För att beskriva dessa operatörer i lokala koordinater, låt

\alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{ I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}

där I och J är multiindex . Sedan

\partial \alpha =\summa _{|I|,|J|}\summa _{\ell }{\ frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}

{\bar {\partial }}\alpha =\summa _{|I|,|J|}\summa _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell}\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.

Följande egenskaper anses hålla:

d=\partial +{\bar {\partial }}

\partial ^{2}= {\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.

Dessa operatörer och deras egenskaper utgör grunden för Dolbeaults kohomologi och många aspekter av Hodge-teorin .

På en stjärnformad domän av ett komplext grenrör har Dolbeault-operatorerna dubbla homotopioperatorer som är resultatet av uppdelning av homotopioperatorn för $d$ . Detta är innehållet i Poincare-lemmat om en komplex mångfald.

Poincaré-lemmat för ${\bar {\partial }}$ och $\partial$ kan förbättras ytterligare till den lokala $\partial {\bar {\partial }}$ -lemma , som visar att varje $d$ -exakt komplex differentialform faktiskt är $\partial {\bar {\partial }}$ -exakt. På kompakta Kähler-grenrör gäller en global form av det lokala $\partial {\bar {\partial }}$ -lemmat, känt som $\partial {\bar {\partial }}$ -lemma . Det är en konsekvens av Hodge-teorin och säger att en komplex differentialform som är globalt $d$ -exakt (med andra ord, vars klass i de Rham-kohomologin är noll) är globalt $\partial {\bar {\partial }}$ -exakt.

Holomorfa former

För varje p är en holomorf p -form en holomorf sektion av bunten Ω ^{p ,0} . I lokala koordinater kan alltså en holomorf p -form skrivas i formen

\alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}

där $f_{I}$ är holomorfa funktioner. På motsvarande sätt, och på grund av det komplexa konjugatets oberoende , är ( p , 0)-formen α holomorf om och endast om

{\bar {\partial }}\alpha =0.

Kurven av holomorfa p -former skrivs ofta Ω ^p , även om detta ibland kan leda till förvirring så många författare tenderar att anta en alternativ notation .

Se även

P. Griffiths ; J. Harris (1994). Principer för algebraisk geometri . Wiley Classics Library. Wiley Interscience. s. 23–25. ISBN 0-471-05059-8 .
Wells, RO (1973). Differentialanalys av komplexa grenrör . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0 .
Voisin, Claire (2008). Hodge-teori och komplex algebraisk geometri I. Cambridge University Press. ISBN 978-0521718011 .