Geometriskt flöde

Inom det matematiska fältet differentialgeometri är ett geometriskt flöde , även kallat en geometrisk evolutionsekvation , en typ av partiell differentialekvation för ett geometriskt objekt som en Riemannisk metrik eller en inbäddning . Det är inte en term med en formell innebörd, utan förstås vanligtvis att hänvisa till paraboliska partiella differentialekvationer .

Vissa geometriska flöden uppstår som gradientflödet associerat med en funktionell på ett grenrör som har en geometrisk tolkning, vanligtvis associerad med någon yttre eller inneboende krökning . Sådana flöden är i grunden relaterade till variationskalkylen och inkluderar medelkurvaturflöde och Yamabe-flöde .

Exempel

Yttre

Extrinsiska geometriska flöden är flöden på inbäddade undergrenrör , eller mer allmänt nedsänkta undergrenrör . I allmänhet ändrar de både Riemann-metriken och nedsänkningen.

• Medelkurvaturflöde , som i tvålfilmer ; kritiska punkter är minimala ytor
• Kurvförkortande flöde , det endimensionella fallet av medelkurvaturflödet
• Willmore flow , som i minimax eversioner av sfärer
• Omvänt medelkurvaturflöde

Inneboende

Inre geometriska flöden är flöden på Riemann-metriken , oberoende av eventuell inbäddning eller nedsänkning.

• Ricci-flöde , som i lösningen av Poincaré-förmodan , och Richard S. Hamiltons bevis på uniformiseringsteoremet
• Calabi flow , ett flöde för Kähler-mått
• Yamabe-flöde

Klasser av flöden

Viktiga klasser av flöden är krökningsflöden , variationsflöden (som extremiserar vissa funktionella) och flöden som uppstår som lösningar på paraboliska partiella differentialekvationer . Ett givet flöde medger ofta alla dessa tolkningar, enligt följande.

Givet en elliptisk operator ${\displaystyle L,} ger$ den paraboliska PDE $u_{t}=Lu$ ett flöde, och stationära tillstånd för flödet är lösningar till den elliptiska partiella differentialekvationen $Lu=0.$

$F,$ ekvationen $Lu=0$ är Euler–Lagrange-ekvationen för någon funktionell $F,$ så har flödet en variationstolkning som gradientflödet av och stationära tillstånd för flödet motsvarar kritiska punkter för den funktionella.

I samband med geometriska flöden är det funktionella ofta $L^{2}$ normnormen för någon krökning.

Sålunda, givet en krökning $K,$ kan man definiera den funktionella ${\displaystyle F(K)=\|K\|_{2}:=\left(\int _{M}K^{2}\right)^{1/2}.} som har Euler–Lagrange-$ ekvationen $Lu=0}$$u_{t}=Lu.$ för någon elliptisk operator $L,$ och tillhörande parabolisk

Ricci -flödet , Calabi-flödet och Yamabe-flödet uppstår på detta sätt (i vissa fall med normaliseringar).

Krökningsflöden kan eller kanske inte bevarar volymen (Calabi-flödet gör det, medan Ricci-flödet inte gör det), och om inte, kan flödet helt enkelt krympa eller växa grenröret, snarare än att reglera metriken. Sålunda normaliserar man ofta flödet, till exempel genom att fixera volymen.

Se även

• Harmonisk karta värmeflöde

•   Bakas, Ioannis (14 oktober 2005) [28 juli 2005 (v1)]. "Den algebraiska strukturen av geometriska flöden i två dimensioner". Journal of High Energy Physics . 2005 (10): 038. arXiv : hep-th/0507284 . Bibcode : 2005JHEP...10..038B . doi : 10.1088/1126-6708/2005/10/038 . S2CID 15924056 .

• Bakas, Ioannis (5 februari 2007). "Renormaliseringsgruppsekvationer och geometriska flöden" . arXiv : hep-th/0702034 . Bibcode : 2007hep.th....2034B . {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )