Monge–Ampères ekvation

Ej att förväxla med Monges ekvation .

Inom matematik är en (riktig) Monge–Ampère-ekvation en ickelinjär andra ordningens partiell differentialekvation av speciellt slag. En andra ordningens ekvation för den okända funktionen u för två variabler x , y är av Monge–Ampère-typ om den är linjär i determinanten för den hessiska matrisen för u och i andra ordningens partiella derivator av u . De oberoende variablerna ( x , y ) ^varierar över en given domän D av R2 . Termen gäller även för analoga ekvationer med n oberoende variabler. De mest fullständiga resultaten hittills har erhållits när ekvationen är elliptisk .

Monge-Ampère-ekvationer uppstår ofta i differentialgeometri , till exempel i Weyl- och Minkowski -problemen i differentialgeometri av ytor . De studerades först av Gaspard Monge 1784 och senare av André-Marie Ampère 1820. Viktiga resultat i teorin om Monge–Ampères ekvationer har erhållits av Sergei Bernstein, Aleksei Pogorelov , Charles Fefferman och Louis Nirenberg . Mer nyligen 2018 vann Alessio Figalli Fields-medaljen delvis för sitt arbete med regelbundenhet i Monge–Ampères ekvation.

Beskrivning

Givet två oberoende variabler x och y , och en beroende variabel u , är den allmänna Monge–Ampère-ekvationen av formen

$L[u]=A\,{\text{det}}(\nabla ^{2}u)+B\Delta u +2Cu_{xy}+(DB)u_{yy}+E=A(u_{xx}u_{yy}-u_{xy}^{2})+Bu_{xx}+2Cu_{xy}+Du_{yy }+E=0,$

där A , B , C , D och E är funktioner endast beroende på första ordningens variabler x , y , u , u _x och u _{y .}

Rellichs teorem

Låt Ω vara en avgränsad domän i R ³ , och antag att på Ω är A , B , C , D , och E kontinuerliga funktioner av endast x och y . Tänk på Dirichlet-problemet för att hitta dig så att

$L[u]=0,\quad {\text{on}}\ \Omega$

$u|_{\partial \Omega }=g.$

Om

$BD-C^{2}-AE>0,$

då har Dirichlet-problemet högst två lösningar.

Elliptiska resultat

Antag nu att x är en variabel med värden i en domän i R ⁿ , och att f ( x , u , Du ) är en positiv funktion. Sedan Monge–Ampères ekvation

$L[u]=\det D^{2}uf(\mathbf {x} ,u,Du) =0\qquad \qquad (1)$

är en olinjär elliptisk partiell differentialekvation (i den meningen att dess linearisering är elliptisk), förutsatt att man begränsar uppmärksamheten till konvexa lösningar.

uppfyller operatören L versioner av maximiprincipen , och i synnerhet lösningar på Dirichlet-problemet är unika, förutsatt att de finns.

Ansökningar

Monge-Ampère-ekvationer uppstår naturligt i flera problem i Riemannsk geometri , konform geometri och CR-geometri . En av de enklaste av dessa tillämpningar är problemet med föreskriven Gauss-kurvatur . Antag att en verkligt värderad funktion K specificeras på en domän Ω i R ⁿ , problemet med föreskriven Gauss-kurvatur försöker identifiera en hyperyta av R ^{n +1} som en graf z = u ( x ) över x ∈ Ω så att vid varje punkt på ytan ges Gauss-kurvaturen av K ( x ). Den resulterande partiella differentialekvationen är

$\det D^{2}uK(\mathbf {x} )(1+| Du|^{2})^{(n+2)/2}=0.$

Monge–Ampère-ekvationerna är relaterade till Monge–Kantorovichs optimala masstransportproblem , när "kostnaden funktionell" däri ges av det euklidiska avståndet.

Se även

• Komplex Monge–Ampère ekvation

Ytterligare referenser

•     Aubin, Thierry (1998). Några olinjära problem i Riemannsk geometri . Springer Monographs in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-662-13006-3 . ISBN 3-540-60752-8 . MR 1636569 . Zbl 0896.53003 .
•     Courant, R. ; Hilbert, D. (1962). Metoder för matematisk fysik. Volym II: Partiella differentialekvationer . New York–London: Interscience Publishers . doi : 10.1002/9783527617234 . ISBN 9780471504399 . MR 0140802 . Zbl 0099.29504 .
•     Gilbarg, David ; Trudinger, Neil S. (2001). Elliptiska partiella differentialekvationer av andra ordningen . Classics in Mathematics (Reprint of the 1998 ed.). Berlin: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-642-61798-0 . ISBN 3-540-41160-7 . MR 1814364 . Zbl 1042.35002 .
•     Spivak, Michael (1999). En omfattande introduktion till differentialgeometri: volym fem (tredje upplagan av 1975 års originalutgåva). Publicera eller Perish, Inc. ISBN 0-914098-74-8 . MR 0532834 . Zbl 1213.53001 .
•     Villani, Cédric (2003). Ämnen i optimala transporter . Forskarstudier i matematik . Vol. 58. Providence, RI: American Mathematical Society . doi : 10.1090/gsm/058 . ISBN 0-8218-3312-X . MR 1964483 . Zbl 1106.90001 .
•     Villani, Cédric (2009). Optimal transport. Gammalt och nytt . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 338. Berlin: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-540-71050-9 . ISBN 978-3-540-71049-3 . MR 2459454 . Zbl 1156.53003 .

externa länkar

• "Monge–Ampère ekvation" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Monge-Ampères differentialekvation" . MathWorld .