Kodaira dimension

I algebraisk geometri mäter Kodaira-dimensionen κ ( X ) storleken på den kanoniska modellen för en projektiv varietet X.

Igor Shafarevich introducerade i ett seminarium en viktig numerisk invariant av ytor med notationen κ . Shigeru Iitaka utökade den och definierade Kodaira-dimensionen för högre dimensionella varianter (under namnet kanonisk dimension), och döpte den senare efter Kunihiko Kodaira .

Plurigenera

Det kanoniska knippet av en jämn algebraisk variant X med dimensionen n över ett fält är linjebunten av n -former,

\,\!K_{X}=\bigwedge ^{n}\Omega _{X}^{1},

⁰ vilket är den n : te yttre potensen av cotangensknippet av X. För ett heltal d är den d:te tensorpotentialen för K _X återigen en linjebunt. För d ≥ 0 har vektorrummet för globala sektioner H ( X , K _X^d ) den anmärkningsvärda egenskapen att det är en birationell invariant av jämna projektiva varieteter X . Det vill säga, detta vektorutrymme identifieras kanoniskt med motsvarande utrymme för varje mjuk projektiv variation som är isomorf till X utanför lägre dimensionella delmängder.

För d ≥ 0 definieras den d: te plurigenusen av X som dimensionen av vektorrummet för globala sektioner av K _X^d :

P_{d}=h^{0}(X,K_{X}^{d})=\dim H^{0}(X,K_{X}^{d}).

Plurigenerna är viktiga birationalinvarianter av en algebraisk sort. I synnerhet är det enklaste sättet att bevisa att en varietet inte är rationell (det vill säga inte birational till projektiv rymd) att visa att någon plurigenus P d _med d > 0 inte är noll. Om utrymmet för sektioner av K _X^d inte är noll, så finns det en naturlig rationell karta från X till det projektiva rummet

\mathbf {P} (H^{0}(X,K_{X}^{d}))=\mathbf {P } ^{P_{d}-1},

kallad d - kanonkartan . Den kanoniska ringen R ( K _X ) av en sort X är den graderade ringen

R(K_{X}):=\bigoplus _{d\geq 0}H^{0}(X,K_{X}^{d}).

Se även geometriskt släkte och aritmetiskt släkte .

Kodaira -dimensionen för X definieras som $-\infty$ om plurigenerna P _d är noll för alla d > 0; annars är det minimivärdet K så att Pd _/ dK ^begränsas . Kodaira-dimensionen för en n -dimensionell variant är antingen $-\infty$ eller ett heltal i intervallet från 0 till n .

Tolkningar av Kodaira-dimensionen

Följande heltal är lika om de är icke-negativa. En bra referens är Lazarsfeld (2004), Theorem 2.1.33.

Dimensionen av Proj-konstruktionen ${\displaystyle \operatorname {Proj} R(K_{X})} ,$ en projektiv variant som kallas den kanoniska modellen av X beroende endast på birationalekvivalensklassen för X. ( Detta definieras endast om den kanoniska ringen $R=R(K_{X})$ genereras ändligt, vilket är sant i karakteristiken noll och förmodat i allmänhet.)
Dimensionen för bilden av den d -kanoniska mappningen för alla positiva multipler d av något positivt heltal $d_{0}$ .
Transcendensgraden för fraktionsfältet av R , minus ett ; dvs $t-1$ , där t är antalet algebraiskt oberoende generatorer man kan hitta.
Tillväxthastigheten för plurigenera: det vill säga det minsta talet κ så att $P_{d}/d^{\kappa }$ är avgränsad. I Big O-notation är det minimalt κ så att $P_{d}=O(d^{\kappa })$ .

När ett av dessa siffror är odefinierat eller negativt, är alla det. I det här fallet sägs Kodaira-dimensionen vara negativ eller vara $-\infty$ . Vissa historiska referenser definierar det till −1, men då formeln $\kappa (X\ gånger Y)=\kappa (X)+\kappa (Y)$ håller inte alltid, och uttalandet av Iitaka-förmodan blir mer komplicerat. Till exempel är Kodaira-dimensionen för $\mathbf {P} ^{1}\times X$ $-\infty$ för alla varianter X .

Ansökan

Kodaira-dimensionen ger en användbar grov uppdelning av alla algebraiska varianter i flera klasser.

Sorter med låg Kodaira-dimension kan anses vara speciella, medan sorter med maximal Kodaira-dimension sägs vara av allmän typ .

Geometriskt är det en mycket grov överensstämmelse mellan Kodaira-dimension och krökning: negativ Kodaira-dimension motsvarar positiv krökning, noll Kodaira-dimension motsvarar planhet och maximal Kodaira-dimension (allmän typ) motsvarar negativ krökning.

Det speciella hos sorter med låg Kodaira-dimension är analogt med det speciella hos Riemannska grenrör med positiv krökning (och generell typ motsvarar genericiteten av icke-positiv krökning); se klassiska teorem , särskilt om Pinched sectional curvature och Positiv curvature .

Dessa uttalanden görs mer exakt nedan.

Dimension 1

Släta projektiva kurvor klassificeras diskret efter släkte , vilket kan vara vilket naturligt tal som helst g = 0, 1, ....

Här betyder "diskret klassificerad" att det för ett givet släkte finns ett irreducerbart modulrum av kurvor av det släktet.

Kodaira-dimensionen för en kurva X är:

κ = $-\infty$ : genus 0 ( projektivlinjen P ¹ ): K _X är inte effektiv, P _d = 0 för alla d > 0 .
κ = 0: genus 1 ( elliptiska kurvor ): K _X är en trivial bunt , Pd = 1 för alla d ≥ 0 _.
κ = 1: släkte g ≥ 2: K _X är riklig , P _d = (2 d − 1)( g − 1) för alla d ≥ 2.

Jämför med Uniformization theoremet för ytor (verkliga ytor, eftersom en komplex kurva har reell dimension 2): Kodaira dimension $-\infty$ motsvarar positiv krökning, Kodaira dimension 0 motsvarar planhet, Kodaira dimension 1 motsvarar negativ krökning. Observera att de flesta algebraiska kurvor är av allmän typ: i modulutrymmet för kurvor motsvarar två sammankopplade komponenter kurvor som inte är av allmän typ, medan alla andra komponenter motsvarar kurvor av generell typ. Vidare är kurvutrymmet för släkte 0 en punkt, kurvutrymmet för släkte 1 har (komplex) dimension 1, och kurvutrymmet för släkte g ≥ 2 har dimension 3 g − 3 .

klassificeringstabellen för algebraiska kurvor
Kodaira dimension κ ( C )
Kodaira dimension κ ( C )	släkte av C : g ( C )	strukturera
$1$	$\geq 2$	kurva av allmän typ
$0$	$1$	elliptisk kurva
$-\infty$	$0$	den projektiva linjen $\mathbb {P} ^{1}$

Dimension 2

Enriques –Kodaira-klassificeringen klassificerar algebraiska ytor: grovt efter Kodaira-dimension, sedan mer detaljerat inom en given Kodaira-dimension. För att ge några enkla exempel: produkten P ¹ × X har Kodaira-dimensionen $-\infty$ för valfri kurva X ; produkten av två kurvor av släkte 1 (en abelsk yta) har Kodaira-dimensionen 0; produkten av en kurva av genus 1 med en kurva av genus 2 (en elliptisk yta) har Kodaira dimension 1; och produkten av två kurvor av släktet minst 2 har Kodaira dimension 2 och är därför av allmän typ .

klassificeringstabellen för algebraiska ytor
Kodaira dimension κ ( C )
Kodaira dimension κ ( C )	geometriskt släkte p _g	oegentlighet q	strukturera
$2$			yta av allmän typ
$1$			elliptisk yta
$0$	$1$	$2$	abelsk yta
	$0$	$1$	hyperelliptisk yta
	$1$	$0$	K3 yta
	$0$	$0$	Enriques yta
$-\infty$	$0$	$\geq 1$	härskad yta
$-\infty$	$0$	$0$	rationell yta

För en yta X av allmän typ är bilden av den d -kanoniska kartan birational till X om d ≥ 5.

Vilken dimension som helst

Rationella varianter (varianter birational till projektiv rymd) har Kodaira-dimension $-\infty$ . Abeliska sorter (de kompakta komplexa torierna som är projektiva) har Kodaira-dimensionen noll. Mer generellt har Calabi-Yau-grenrör (i dimension 1, elliptiska kurvor ; i dimension 2, abeliska ytor , K3-ytor och kvoter av dessa sorter efter ändliga grupper) Kodaira-dimension noll (motsvarande platta Ricci-mått).

Varje sort med karakteristisk noll som täcks av rationella kurvor (icke-konstanta kartor från P ¹ ), som kallas en uniruled sort, har Kodaira-dimensionen −∞. Omvänt skulle de viktigaste gissningarna i minimal modellteorin (särskilt överflödsförmodan) antyda att varje variation av Kodaira-dimensioner −∞ är unirulerad. Denna omvända är känd för variationer av dimensioner som högst 3.

Siu (2002) bevisade invariansen av plurigenera under deformationer för alla släta komplexa projektiva varieteter. Framför allt förändras inte Kodaira-dimensionen när grenrörets komplexa struktur ändras kontinuerligt.

klassificeringstabellen för algebraisk trefaldig
Kodaira-dimension κ ( C )
Kodaira-dimension κ ( C )	geometriskt släkte p _g	oegentlighet q	exempel
$3$			trefaldigt av allmän typ
$2$			fibrering över en yta med allmän fiber en elliptisk kurva
$1$			fibrering över en kurva med allmän fiber en yta med κ = 0
$0$	$1$	$3$	abelisk sort
	$0$	$2$	fiberknippe över en abelisk yta vars fibrer är elliptiska kurvor
	$0$ eller $1$	$1$	fiberknippe över en elliptisk kurva vars fibrer är ytor med κ = 0
	$0$ eller $1$	$0$	Calabi–Yau 3-faldigt
$-\infty$	$0$	$\geq 1$	unirulerad 3-faldig
$-\infty$	$0$	$0$	rationell 3-faldig, Fano 3-faldig och andra

En fibrering av normala projektiva varianter X → Y betyder en surjektiv morfism med sammankopplade fibrer.

För ett trefaldigt X av allmän typ är bilden av den d -kanoniska kartan birational till X om d ≥ 61.

Allmän typ

En variation av generell typ X är en av maximal Kodaira-dimension (Kodaira-dimension lika med dess dimension):

\kappa (X)=\dim X.

Motsvarande villkor är att linjebunten $K_{X}$ är stor , eller att den d -kanoniska kartan är generiskt injektiv (det vill säga en birational karta till dess bild) för d tillräckligt stor.

Till exempel är en sort med gott om kanoniskt knippe av allmän typ.

I någon mening är de flesta algebraiska varianter av allmän typ. Till exempel är en slät hyperyta av grad d i det n -dimensionella projektiva utrymmet av allmän typ om och endast om $d>n+1$ . I den meningen är de flesta släta hyperytor i projektivt utrymme av allmän typ.

Varianter av allmän typ verkar för komplicerade för att klassificeras explicit, även för ytor. Icke desto mindre finns det några starka positiva resultat om sorter av allmän typ. Till exempel Enrico Bombieri 1973 att den d -kanoniska kartan av vilken komplex yta som helst av allmän typ är birational för varje $d\geq 5$ . Mer generellt Christopher Hacon och James McKernan , Shigeharu Takayama och Hajime Tsuji 2006 att för varje positivt heltal n finns det en konstant $c(n)$ så att den d -kanoniska kartan över alla komplex n -dimensionell variation av allmän typ är birational när $d\geq c(n)$ .

Den birationala automorfismgruppen av en mängd olika allmänna typer är ändlig.

Ansökan om klassificering

Låt X vara en variation av icke-negativ Kodaira-dimension över ett fält med karakteristisk noll, och låt B vara den kanoniska modellen av X , B = Proj R ( X , K _X ); dimensionen för B är lika med Kodaira-dimensionen för X . Det finns en naturlig rationell karta X – → B ; all morfism som erhålls från den genom att blåsa upp X och B kallas Iitaka-fibrationen . Den minimala modellen och förekomsten av gissningar skulle innebära att den allmänna fibern i Iitaka-fibrationen kan arrangeras för att vara en Calabi-Yau- variant, som i synnerhet har Kodaira-dimensionen noll. Dessutom finns det en effektiv Q -delare Δ på B (inte unik) så att paret ( B , Δ) är klt , K _B + Δ är riklig och den kanoniska ringen av X är densamma som den kanoniska ringen av ( B , Δ) i grader en multipel av något d > 0. I denna mening bryts X upp i en familj av varianter med Kodaira-dimension noll över en bas ( B , Δ) av allmän typ. (Observera att sorten B i sig inte behöver vara av allmän typ. Till exempel finns det ytor av Kodaira dimension 1 för vilka Iitaka-fibrationen är en elliptisk fibrering över P ¹ .)

Givet de angivna gissningarna skulle klassificeringen av algebraiska varianter till stor del reduceras till fallen av Kodaira-dimensionen ${\displaystyle -\infty } ,$ 0 och generell typ. För Kodaira-dimensionen $-\infty$ och 0, finns det några metoder för klassificering. Den minimala modellen och gissningarna om överflöd skulle antyda att varje variant av Kodaira-dimension ${\displaystyle-\infty }$ är unirulerad , och det är känt att varje unirulerad variant i karakteristisk noll är birational till ett Fano-fiberutrymme . Den minimala modellen och gissningarna i överflöd skulle antyda att varje variant av Kodaira-dimension 0 är birational till en Calabi-Yau-variant med terminala singulariteter .

Iitaka-förmodan säger att Kodaira-dimensionen av en fibration är åtminstone summan av Kodaira-dimensionen av basen och Kodaira-dimensionen av en allmän fiber; se Mori (1987) för en undersökning. Iitaka-förmodan hjälpte till att inspirera till utvecklingen av minimal modellteori på 1970- och 1980-talen. Det är nu känt i många fall och skulle i allmänhet följa av den minimala modellen och gissningarna om överflöd.

Förhållandet till Moishezon mångfaldigt

Nakamura och Ueno bevisade följande additivitetsformel för komplexa grenrör ( Ueno (1975)) . Även om basutrymmet inte krävs för att vara algebraiskt, är antagandet att alla fibrer är isomorfa mycket speciellt. Även med detta antagande kan formeln misslyckas när fibern inte är Moishezon.

Låt π: V → W vara ett analytiskt fiberknippe av kompakta komplexa grenrör, vilket betyder att π är lokalt en produkt (och så alla fibrer är isomorfa som komplexa grenrör). Antag att fibern F är ett Moishezon-grenrör . Då

\kappa (V)=\kappa (F)+\kappa (W).

Se även

Anteckningar

Chen, Jungkai A.; Chen, Meng (2014), "Explicit birational geometri of 3-folds and 4-folds of general type, III", Compositio Mathematica , 151 (6): 1041–1082, arXiv : 1302.0374 , Bibcode : 2013 arXivi3 doM , 017 10.1112/S0010437X14007817
Dolgachev, Igor (2001) [1994], "Kodaira dimension" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Fujino, Osamu; Mori, Shigefumi (2000), "A canonical bundle formula", Journal of Differential Geometry , 56 (1): 167–188, doi : 10.4310/jdg/1090347529 , MR 1863025
Iitaka, Shigeru (1970), "Om D-dimensioner för algebraiska varieteter", Proc. Japan Acad. , 46 (6): 487–489, doi : 10.3792/pja/1195520260 , MR 0285532
Iitaka, Shigeru (1971), "Om D-dimensioner av algebraiska varieteter.", J. Math. Soc. Jpn. , 23 (2): 356–373, doi : 10.2969/jmsj/02320356 , MR 0285531
Lazarsfeld, Robert (2004), Positivitet i algebraisk geometri , vol. 1, Berlin: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-642-18808-4 , ISBN 978-3-540-22533-1 , MR 2095471
Mori, Shigefumi (1987), "Klassificering av högre dimensionella varieteter", Algebraisk geometri (Bowdoin, 1985) , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 46, del 1, American Mathematical Society, s. 269–331, MR 0927961
Shafarevich, Igor R .; Averbuh, BG; Vaĭnberg, Ju. R.; Zhizhchenko, AB; Manin, Yuri I. ; Moĭshezon, Boris G. ; Tjurina, GN; Tjurin, AN (1965), "Algebraiska ytor", Akademiya Nauk SSSR. Trudy Matematheskogo Instituta Imeni VA Steklova , 75 : 1–215, ISSN 0371-9685 , MR 0190143 , Zbl 0154.21001
Siu, Yum-Tong (2002), "Extension of twisted pluricanonical sections with plurisubharmonic weight and invariance of semi-positively twisted plurigenera for grenrör som inte nödvändigtvis är av allmän typ", Complex geometri (Gottingen, 2000) , Berlin: Springer-Verlag , pp . 223-277, MR 1922108
Ueno, Kenji (1975), Klassificeringsteori för algebraiska varianter och kompakta komplexa utrymmen, Lecture Notes in Mathematics, vol. 439, Springer-Verlag , MR 0506253