Holomorfisk tangentbunt

Inom matematik , och särskilt komplex geometri , är den holomorfa tangentbunten av ett komplext grenrör $M$ den holomorfa analogen av tangentbunten i ett jämnt grenrör . Fibern i det holomorfa tangentknippet över en punkt är det holomorfa tangentutrymmet , vilket är tangentutrymmet för det underliggande släta grenröret, givet strukturen hos ett komplext vektorrum via den nästan komplexa strukturen $J$ i det komplexa grenröret $M$ .

Definition

Givet ett komplext grenrör $M$ med komplex dimension $n$ , är dess tangentbunt som en jämn vektorbunt en verklig rangordning $\displaystyle 2n}$$M$ vektorbunt $TM$ på . Den integrerbara nästan komplexa strukturen $J$ som motsvarar den komplexa strukturen på grenröret $M$ är en endomorfism $\displaystyle J:TM\to TM}$ med egenskapen att $J^{2}=-\operatörsnamn {Id}$ . Efter att ha komplexiserat den reella tangentbunten till $TM\otimes \mathbb {C} \to M}$$J:TM\otimes \mathbb {C} \to TM\otimes \mathbb {C}$ , kan endomorfismen $J$ utökas komplexlinjärt till en endomorfism $iY)=J(X)+iJ(Y)}$ av $TM$ för vektorerna $X,Y$ i .

Eftersom $J^{2}=-\operatörsnamn {Id}$ , har $J$ egenvärden $i,-i$ på den komplexiserade tangentbunten, och $TM\otimes \mathbb {C}$ därför upp som en direkt summa

${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} =T^{1,0}M\oplus T^{0,1}M$

där $T^{1,0}M$ är $i$ - egenbunt , och $T^{0,1}M$$\ displaystyle -i}$ i -egenbunt. Den holomorfa tangentbunten av $M$ är vektorbunten $T^{1,0}M$ , och den antiholomorfa tangentbunten är vektorbunten $T^{0,1}M$ .

Vektorbuntarna $T^{1,0}M$ och $\displaystyle T^{0,1}M}$$TM\otimes \mathbb {C}$ är naturligt komplexa vektorunderbuntar av den komplexa vektorbunten , och deras dualer kan tas. Den holomorfa cotangensbunten är dualen av den holomorfa tangentbunten och skrivs $T_{1,0}^{*}M$ . På liknande sätt är det antiholomorfa kotangensknippet dualen av det antiholomorfa tangentknippet och skrivs $T_{0,1}^{*}M$ . De holomorfa och antiholomorfa (sam)tangenta buntarna byts ut genom konjugation , vilket ger en reallinjär (men inte komplex linjär!) isomorfism $T^{1,0}M \till T^{0,1}M$ .

Den holomorfa tangentbunten $T^{1,0}M$ är isomorf som en reell vektorbunt av rang $2n$ till den reguljära tangentbunten $TM$ Isomorfismen ges av sammansättningen ${\displaystyle TM\hookrightarrow TM\otimes \mathbb {C} {\xrightarrow {\operatörsnamn {pr} _$ av inkludering i det komplexiserade tangentpaketet och projiceras sedan på i { $displaystyle i}$ -egenbunten.

Den kanoniska bunten definieras av $K_{M}=\Lambda ^{n}T_{1,0}^{*}M$ .

Alternativ lokal beskrivning

I ett lokalt holomorft diagram $\varphi =(z^{1},\dots ,z^{n}):U\to \mathbb { C} ^{n}$ av $M$ , en har urskiljda reella koordinater $(x^{1},\dots , x^{n},y^{1},\dots,y^{n})$ definieras av $z^{j}=x^{j}+iy^ {j}$ för varje $j=1,\dots ,n$ . Dessa ger distingerade komplexvärdade enformer $dz^{j}=dx^{j}+ idy^{j},d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j}$ på $U$ . Dubbla med dessa komplext värderade enformer är de komplext värderade vektorfälten (det vill säga sektioner av den komplexiserade tangentbunten),

${\frac {\partial }{\partial z^{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}} }-i{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}= {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+i{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\ höger).$

Tillsammans bildar dessa vektorfält en ram ${\displaystyle \left.TM\otimes \mathbb {C} \right|_{U}} ,$ begränsningen av den komplexiserade tangentbunten till $U$ . Som sådana delar dessa vektorfält också upp det komplexiserade tangentknippet i två underpaket

$\left.T^{1,0}M\right|_{U}:=\operatörsnamn {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial z^{j}}}\ höger\},\quad \left.T^{0,1}M\right|_{U}:=\operatörsnamn {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial {\bar {z }}^{j}}}\right\}.$

Under en holomorf förändring av koordinater, dessa två subbuntar $\left.TM\otimes \mathbb {C} \right|_{U}$ bevaras, och genom att täcka $M$ med holomorfa diagram erhålls en uppdelning av det komplexiserade tangentknippet. Detta är just uppdelningen i de holomorfa och anti-holomorfa tangentbuntarna som tidigare beskrivits. På liknande sätt tillhandahåller de komplext värderade enformerna $dz^{j}$ och $d{\bar {z}}^{j}$ uppdelningen av den komplexiserade cotangensbunten i de holomorfa och anti-holomorfa kotangensbuntarna.

blir namnet holomorfisk tangentbunt transparent. Nämligen, övergångsfunktionerna för den holomorfa tangentbunten, med lokala ramar genererade av $\partial /\partial z^{j}$ , ges av den jakobiska matrisen för övergångsfunktionerna för ${ \displaystyle M}$ . Explicit, om vi har två diagram $U_{\alpha },U_{\beta }$ med två uppsättningar koordinater $z^{j},w^{k }$ , då

${\frac {\partial }{\partial z^{j}}}=\summa _{k}{\frac {\partial w^{k}}{\partial z^{j}}}{ \frac {\partial }{\partial w^{k}}}.$

Eftersom koordinatfunktionerna är holomorfa, så är även eventuella derivator av dem, och därför är övergångsfunktionerna för det holomorfa tangentknippet också holomorfa. Det holomorfa tangentknippet är alltså ett äkta holomorft vektorknippe . På liknande sätt är det holomorfa cotangensknippet ett äkta holomorft vektorknippe, med övergångsfunktioner som ges av den inversa transponeringen av den jakobiska matrisen. Lägg märke till att de antiholomorfa tangens- och cotangensbuntarna inte har holomorfa övergångsfunktioner, utan antiholomorfa.

agerar den nästan komplexa strukturen ${\displaystyle J} efter$

$J:{\frac {\partial }{\partial z^{j}}}\ mapsto i{\frac {\partial }{\partial z^{j}}},\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}\mapsto -i{ \frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}},$

eller i verkliga koordinater av

$J:{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\mapsto {\frac {\partial }{\partial y^{j}}},\quad {\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\mapsto -{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}.$

Holomorfa vektorfält och differentialformer

Eftersom de holomorfa tangent- och cotangentknippena har strukturen av holomorfa vektorbuntar, finns det distingerade holomorfa sektioner. Ett holomorft vektorfält är ett holomorft avsnitt av $T^{1,0}M$ . En holomorf enform är en holomorf sektion av $T_{1,0}^{*}M$ . Genom att ta yttre potenser av $T_{1,0}^{*}$ , kan man definiera holomorfa $p$ -former för heltal $p$ . Cauchy -Riemann-operatorn för $M$ kan utökas från funktioner till komplext värderade differentialformer, och de holomorfa sektionerna av den holomorfa cotangensbunten överensstämmer med den komplext värderade differentialen ( $\displaystyle (p, 0)}$ -former som förintas av ${\bar {\partial }}$ . För mer information se komplexa differentialformer .

Se även

• Nästan komplext grenrör
• Hermitiskt grenrör

•   Huybrechts, Daniel (2005). Complex Geometry: An Introduction . Springer. ISBN 3-540-21290-6 .
•    Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9 , MR 1288523