Positiv form

För den språkvetenskapliga termen, se Positiv (lingvistik) .

I komplex geometri hänvisar termen positiv form till flera klasser av verkliga differentialformer av Hodge-typ (p, p) .

(1,1)-former

Reella ( ${\displaystyle \Lambda ^{p,p}(M)\cap \Lambda ^{2p}(M,{\mathbb {R} }).} En riktig (1,1)-form ω {\$ , p ) -former på ett komplext mångfald M är former som är av typ ( p , p ) och reella, det vill säga ligger i skärningspunkten displaystyle $omega }$ kallas semi-positiv (ibland bara positiv ), respektive positiv (eller positiv definit ) om något av följande ekvivalenta villkor gäller:

1. $-\omega$ är den imaginära delen av en positiv semidefinit (respektive positiv definit) hermitisk form .
2. För viss grund $dz_{1},...dz_{n}$ i utrymmet $\Lambda ^{1,0}M$ av (1,0)-former, ${\sqrt {-1}}\omega$ kan skrivas diagonalt, som ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\ omega =\sum _{i}\alpha _{i}dz_{i}\wedge d{\bar {z}}_{i},} med α i {\displaystyle \alpha _{i$ } $och$ icke -negativ (respektive positiv).
3. För vilken (1,0)-tangent vektor $v\in T^{1,0}M$ , $-{\sqrt {-1}}\omega (v,{\bar {v}})\geq 0$ (respektive $>0$ ).
4. För varje reell tangentvektor $v\in TM$ , ${\displaystyle \omega (v,I(v))\geq 0} ($ respektive ${ \displaystyle >0}$$I:\;TM\mapsto TM$ , där den komplexa strukturoperatorn .

Positiva linjebuntar

I algebraisk geometri uppstår positiva bestämda (1,1)-former som krökningsformer av stora linjebuntar (även kända som positiva linjebuntar ). Låt L vara en holomorf hermitisk linjebunt på ett komplext grenrör,

${\bar {\partial }}:\;L\mapsto L\otimes \Lambda ^{0,1}(M)$

dess komplexa strukturoperatör. Sedan L utrustad med en unik anslutning som bevarar den hermitiska strukturen och tillfredsställer

$\nabla ^{0,1}={\bar {\partial }}$ .

Denna anslutning kallas Chern -förbindelsen .

Krökningen $\Theta$ för Chern-förbindelsen är alltid en rent imaginär (1,1)-form. En linjebunt L kallas positiv om ${\sqrt {-1}}\Theta$ är en positiv (1,1)-form. (Observera att de Rham-kohomologiklassen för ${\sqrt {-1}}\Theta$ är $2\pi$ gånger den första Chern-klassen av L. ) Kodaira- inbäddningssatsen hävdar att en positiv linjebunt är riklig, och omvänt tillåter varje riklig linjebunt ett hermitiskt mått med ${\sqrt {-1}}\Theta$ positiv.

Positivitet för (p, p) -former

Halvpositiva (1,1)-former på M bildar en konvex kon . När M är en kompakt komplex yta , ${\displaystyle dim_{\mathbb {C} }M=2},$ är denna kon självdual , med avseende på Poincaré-parningen: $\eta ,\zeta \mapsto \int _{M}\eta \wedge \zeta$

För (p, p) -former, där ${\displaystyle 2\leq p\leq dim_{\mathbb {C} }M-2} ,$ finns det två olika begrepp om positivitet . En form kallas starkt positiv om den är en linjär kombination av produkter av halvpositiva former, med positiva reella koefficienter. En reell (p, p) -form $\eta$ på ett n -dimensionellt komplext grenrör M kallas svagt positivt om vi för alla starkt positiva (np, np) -former ζ med kompakt stöd har $\int _{M}\eta \wedge \zeta \geq 0$ .

Svagt positiva och starkt positiva former bildar konvexa koner. På kompakta grenrör är dessa koner dubbla med avseende på Poincaré-paret.

•   P. Griffiths och J. Harris (1978), Principles of Algebraic Geometry, Wiley. ISBN 0-471-32792-1
• J.-P. Demailly , L ² försvinnande teorem för positiva linjebuntar och adjunktionsteori, föreläsningsanteckningar från en CIME-kurs om "Transcendentala metoder för algebraisk geometri" (Cetraro, Italien, juli 1994) .
•    Huybrechts, Daniel (2005), Complex Geometry: An Introduction , Springer , ISBN 3-540-21290-6 , MR 2093043
•    Voisin, Claire (2007) [2002], Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry (2 vols.) , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511615344 , ISBN 978-0-521-1918019 , 6MR 19 71801