Högdimensionella gammamatriser

"gamma group" omdirigerar hit. För övervakningsteknikföretaget, se Gamma Group .

Inom matematisk fysik generaliserar högredimensionella gammamatriser till godtycklig dimension de fyrdimensionella gammamatriserna i Dirac , som är en stöttepelare i den relativistiska kvantmekaniken. De används i relativistiskt invarianta vågekvationer för fermioner (som spinorer) i godtyckliga rum-tidsdimensioner, särskilt i strängteori och supergravitation. Weyl -Brauer-matriserna ger en explicit konstruktion av högre dimensionella gammamatriser för Weyl-spinorer . Gammamatriser förekommer också i generiska inställningar i Riemannsk geometri , särskilt när en spinnstruktur kan definieras.

Introduktion

Betrakta ett rum-tid av dimensionen d med det platta Minkowski-måttet ,

$\eta =\|\eta _{ab}\|={\text{diag} }(+1,\dots ,+1,-1,\dots ,-1)~,$

med $p$ positiva poster, $q$ negativa poster, $p+q=d$ och a , b = 0, 1, ..., d − 1 . Ställ in N = 2 ^{⌊ 1 / 2 d ⌋} . Standard Dirac-matriserna motsvarar att ta d = N = 4 och p , q = 1, 3 eller 3, 1 .

I högre (och lägre) dimensioner kan man definiera en grupp , gammagruppen , som beter sig på samma sätt som Dirac-matriserna . Närmare bestämt, om man väljer en bas $\{e_{a}\}$ för den (komplexiserade) Clifford-algebran ${\ displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {C} )\cong \mathrm {Cl} ^{\mathbb {C} }(p,q)} , sedan gammagruppen som$ genereras av $\{\Gamma _{a}\}$ är isomorf till den multiplikativa undergruppen som genereras av baselementen $e_{a}$ (ignorerar den additiva aspekten av Clifford-algebra).

Enligt konvention realiseras gammagruppen som en samling matriser, gammamatriserna, även om gruppdefinitionen inte kräver detta. I synnerhet kräver många viktiga egenskaper, inklusive C , P och T symmetrierna ingen specifik matrisrepresentation, och man får en tydligare definition av kiralitet på detta sätt. Flera matrisrepresentationer är möjliga, några ges nedan och andra i artikeln om Weyl-Brauer-matriserna . I matrisrepresentationen är spinorerna $N$ -dimensionella, med gammamatriserna som verkar på spinorerna. En detaljerad konstruktion av spinorer ges i artikeln om Clifford algebra . Jost tillhandahåller en standardreferens för spinorer i den allmänna miljön för Riemmannsk geometri.

Gamma grupp

De flesta egenskaperna hos gammamatriserna kan fångas av en grupp , gammagruppen . Denna grupp kan definieras utan hänvisning till de reella talen, de komplexa talen, eller till och med någon direkt vädjan till Clifford algebra . Matrisrepresentationerna för denna grupp ger sedan en konkret realisering som kan användas för att specificera gammamatrisernas verkan på spinorer . För $(p,q)=(1,3)$ dimensioner beter sig matrisprodukterna precis som de konventionella Dirac-matriserna . Pauli -gruppen är en representation av gammagruppen för $(p,q)=(3,0)$ även om Pauli-gruppen har fler relationer (är mindre fri ); se anteckningen om det kirala elementet nedan för ett exempel. Kvaternionerna ger en representation $(p,q)=(0,3).$ ,

Presentationen av gammagruppen $G=G_{p,q}$ är som följer.

• Ett neutralt element betecknas som $I$ .
• Elementet $i$ med $i^{4}=I$ är en stand-in för det komplexa talet $i$ ; den pendlar med alla andra element ,
• Det finns en samling generatorer $\Gamma _{a}$ indexerade med $a=0,\ldots ,p-1$ med ${ \displaystyle \Gamma _{a}^{2}=I~,}$
• De återstående generatorerna $\Gamma _{a},\ a=p,\ldots ,p+q-1$ lyder ${ \displaystyle \Gamma _{a}^{2}=i^{2}~,}$
• Antikommutatorn definieras som $\Gamma _{a}\Gamma _{b}=i^{2}\Gamma _{b}\Gamma _{a}$ för $a\neq b~.$

Dessa generatorer definierar helt gammagruppen. Det kan visas att för alla $x\in G$ att $x^{4}=I$ och så $x^{-1}=x^{3}~.$ Varje element $x\in G$ kan skrivas unikt som en produkt av ett ändligt antal generatorer placerade i kanonisk ordning som

$x=i^{n}\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c}$

med indexen i stigande ordning

$a<b<\cdots <c$

och $0\leq n\leq 3.$ Gammagruppen är ändlig och har högst $2^{p+q+2}$ element i sig .

Gammagruppen är en 2-grupp men inte en vanlig p-grupp . Kommutatorundergruppen (härledd undergrupp) är [ $\displaystyle [G,G]=\left\{I,i^{2}\right\}~,}$ därför är det är inte en kraftfull p-grupp . I allmänhet har 2-grupper ett stort antal involutioner ; gammagruppen gör likadant. Tre speciella pekas ut nedan, eftersom de har en specifik tolkning i sammanhanget av Clifford algebras , i samband med representationerna av gammagruppen (där transposition och hermitisk konjugation bokstavligen motsvarar dessa åtgärder på matriser), och i fysik , där "huvudinvolutionen" $\alpha$ motsvarar en kombinerad P-symmetri och T-symmetri .

Transponering

Givet element $\Gamma _{i}$ i genereringsmängden för gammagruppen, ges transponeringen eller omkastningen av

$(\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c})^{\textsf {t} }=\Gamma _{c}\cdots \Gamma _{b}\Gamma _{a}$

Om det finns $k$ element $\Gamma _{i}$ alla distinkta, då

$(\Gamma _{a}\Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c})^{\textsf {t}}=\left(i^{2}\right)^{{\frac {1}{2}}k(k-1)}\Gamma _{a} \Gamma _{b}\cdots \Gamma _{c}$

Hermitisk konjugation

En annan automorfism av gammagruppen ges genom konjugering, definierad på generatorerna som

$\Gamma _{a}^{\dolk }={\begin{cases}\Gamma _{a }&{\mbox{för }}0\leq a<p\\i^{2}\Gamma _{a}&{\mbox{för }}p\leq a<p+q\\\end{cases }}$

kompletterat med $i^{\dolk }=i^{3}$ och $I^{\dolk }=I.$ För allmänna element i gruppen tar man transponeringen: $(ab)^{\dolk }=b^{\dolk }a^{\dolk }~.$ Av transponeringsegenskaperna följer att för alla element $x\in G$ att antingen $xx^{\dolk }=x^{\dolk }x=I$ eller att $xx^ {\dolk }=x^{\dolk }x=i^{2}~,$ det vill säga alla element är antingen hermitiska eller enhetliga.

Om man tolkar dimensionerna $p$ som "tidsliknande" och dimensionerna $q$ som "rymdliknande", så motsvarar detta P-symmetri i fysik. Att detta är den "korrekta" identifieringen följer av de konventionella Dirac-matriserna, där $\gamma _{0}$ är associerad med den tidsliknande riktningen, och $\gamma _{i}$ de rumsliga riktningarna, med den "konventionella" (+−−−) metriken. Andra metriska och representativa val föreslår andra tolkningar.

Huvudinvolution

Huvudinvolutionen är kartan som "vänder" generatorerna: $\alpha (\Gamma _{a})=i^{2}\Gamma _{a$ } men lämnar $i$ ensam: $\alpha (i)=i~.$ Denna karta motsvarar den kombinerade P-symmetrin och T-symmetrin i fysiken; alla riktningar är omvända.

Kiralt element

Definiera det kirala elementet $\omega \equiv \Gamma _{\mathrm {chir} }$ som

$\omega =\Gamma _{\mathrm {chir} }=\Gamma _{0}\Gamma _{1}\cdots \Gamma _ {d-1}$

där $d=p+q$ . Det kirala elementet pendlar med generatorerna som

$\Gamma _{a}\omega =\left(i^{2}\right)^{d-1}\omega \Gamma _{a }$

Det kvadrerar till

$\omega ^{2}=\left(i^{2}\right)^{q+{\frac {1}{2} }d(d-1)}$

För Dirac-matriserna motsvarar det kirala elementet $\gamma _{5}~,$ alltså dess namn, eftersom det spelar en viktig roll för att särskilja spinorernas kiralitet.

För Pauli-gruppen är det kirala elementet $\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=i$ medan för gammagruppen ${ \displaystyle G_{3,0}}$ , man kan inte härleda något sådant samband för $\Gamma _{1}\Gamma _{2}\Gamma _{3}$ annat än att det kvadrerar till $i^{2}~.$ Detta är ett exempel på där en representation kan ha fler identiteter än den representerade gruppen. För kvaternionerna , som ger en representation av $G_{0,3}$ är det kirala elementet $ijk=i^{2}~.$

Laddningskonjugering

Ingen av ovanstående automorfismer (transponera, konjugering, huvudinvolution) är inre automorfismer ; det vill säga att de inte kan representeras i formen $CxC^{-1}$ för vissa befintliga element $C$ i gammagruppen, som presenterats ovan. Laddningskonjugering kräver att gammagruppen utökas med två nya element; enligt konvention är dessa

$C_{+}\Gamma _{a}C_{+}^{-1}=\Gamma _{a}^{\textsf {t}}$

och

$C_{-}\Gamma _{a}C_{-}^{-1}=i^{2}\Gamma _{a}^{ \textsf {t}}$

Ovanstående relationer är inte tillräckliga för att definiera en grupp; $C^{2}$ och andra produkter är obestämda.

Matrisrepresentation

Gammagruppen har en matrisrepresentation som ges av komplexa $N\x N$ matriser med $N=2^{\left\lfloor {\frac {1}{ 2}}d\right\rfloor }$ och $d=p+q$ och $\lfloor x\rfloor$ golvfunktionen , det största heltal mindre än $x.$ Grupppresentationen för matriserna kan skrivas kompakt i termer av antikommutatorrelationen från Clifford-algebra Cℓ _{p , q} ( R )

$\{\Gamma _{a}~,~\Gamma _{b}\}=\Gamma _{a}\Gamma _{b}+\Gamma _{b}\Gamma _{a}=2\eta _{ab}I_{N}~,$

där matrisen IN _. är identitetsmatrisen i N dimensioner Transposition och hermitisk konjugation motsvarar deras vanliga betydelse på matriser.

Laddningskonjugering

För resten av denna artikel antas det att $p=1$ och så $q=d-1$ . Det vill säga att Clifford-algebran Cℓ _{1 , d −1} ( R ) antas. I det här fallet har gammamatriserna följande egenskap under hermitisk konjugation ,

${\begin{aligned}\Gamma _{0}^{\dolk }&=+\Gamma _{0}~,&\Gamma _{a}^{\dolk }&=-\Gamma _{ a}~(a=1,\dots ,d-1)~.\end{aligned}}$

Transponering kommer att betecknas med en mindre ändring av notationen, genom att mappa $\Gamma _{a}^{\textsf {t}}\mapsto \Gamma _{a}^{\textsf { T}}$ där elementet till vänster är det abstrakta gruppelementet, och det till höger är den bokstavliga matrisen transponera .

Som tidigare genererar generatorerna Γ _a , −Γ _a ^T , Γ _a ^T alla samma grupp (de genererade grupperna är alla isomorfa , operationerna är fortfarande involutioner ). Men eftersom Γ _a nu är matriser, blir det rimligt att fråga sig om det finns en matris som kan fungera som en likhetstransformation som förkroppsligar automorfismerna. I allmänhet kan en sådan matris hittas. Enligt konvention finns det två av intresse; i fysiklitteraturen, båda hänvisade till som laddningskonjugationsmatriser . Detta är uttryckligen

${\begin{aligned}C_{(+)}\Gamma _{a}C_{(+)}^{-1}&=+\Gamma _{a}^{\textsf {T}}\ \C_{(-)}\Gamma _{a}C_{(-)}^{-1}&=-\Gamma _{a}^{\textsf {T}}~.\end{aligned}}$

De kan konstrueras som verkliga matriser i olika dimensioner, som följande tabell visar. I jämn dimension finns både $C_{\pm }$ , i udda dimension bara en.

d	$C_{(+)}^{*}=C_{(+)}$	$C_{(-)}^{*}=C_{(-)}$
$2$	$C_{(+)}^{\textsf {T}}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1$	$C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1$
$3$		$C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1$
$4$	$C_{(+)}^{\textsf {T}}=-C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=-1$	$C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1$
$5$	$C_{(+)}^{\textsf {T}}=-C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=-1$
$6$	$C_{(+)}^{\textsf {T}}=-C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=-1$	$C_{(-)}^{\textsf {T}}=C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=1$
$7$		$C_{(-)}^{\textsf {T}}=C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=1$
$8$	$C_{(+)}^{\textsf {T}}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1$	$C_{(-)}^{\textsf {T}}=C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=1$
$9$	$C_{(+)}^{\textsf {T}}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1$
$10$	$C_{(+)}^{\textsf {T}}=C_{(+)};~~~C_{(+)}^{2}=1$	$C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1$
$11$		$C_{(-)}^{\textsf {T}}=-C_{(-)};~~~C_{(-)}^{2}=-1$

Observera att $C_{(\pm )}^{*}=C_{(\pm )}$ är ett grundval.

Symmetriegenskaper

Vi betecknar en produkt av gammamatriser med

$\Gamma _{abc\dotsm }=\Gamma _{a}\cdot \Gamma _{b}\cdot \Gamma _{c}\ cdots {}$

och notera att anti-kommuteringsegenskapen tillåter oss att förenkla en sådan sekvens till en där indexen är distinkta och ökar. Eftersom distinkt $\Gamma _{a}$ anti-pendling motiverar detta införandet av ett antisymmetriskt "genomsnitt". Vi introducerar de antisymmetriserade produkterna av distinkta n -tupler från 0, ..., d − 1:

$\Gamma _{a_{1}\dots a_{n}}={\frac {1}{n !}}\summa _{\pi \in S_{n}}\epsilon (\pi )\Gamma _{a_{\pi (1)}}\cdots \Gamma _{a_{\pi (n)}} ~,$

där π löper över alla permutationer av n symboler, och ϵ är det alternerande tecknet . Det finns 2 ^d sådana produkter, men endast N ² är oberoende och spänner över rymden av N × N matriser.

Vanligtvis tillhandahåller Γ _ab (bi)spinorrepresentationen av 1/2 , + d ( d − 1) generatorerna i den högredimensionella Lorentzgruppen , SO ^för (1, − 1) d och generaliserar de 6 matriserna σ ^μν spinnet representation av Lorentz-gruppen i fyra dimensioner.

För även d kan man ytterligare definiera den hermitiska kirala matrisen

$\Gamma _{\text{chir}}=i^{{\frac {1}{2}}d-1}\ Gamma _{0}\Gamma _{1}\dotsm \Gamma _{d-1}~,$

så att {Γ _chir , Γ _a } = 0 och Γ _chir ² = 1 . (I udda dimensioner skulle en sådan matris pendla med alla Γ _a s och skulle därmed vara proportionell mot identiteten, så den beaktas inte.)

En Γ- matris kallas symmetrisk if

$(C\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{n}})^{\textsf {T}}=+(C\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{n}})~ ;$

annars, för ett −-tecken, kallas det antisymmetriskt.

I det föregående uttrycket kan C vara antingen $C_{(+)}$ eller $C_{(-)}$ . I udda dimension finns det ingen tvetydighet, men i jämn dimension är det bättre att välja vilken av $C_{(+)}$ eller $C_{(-)}$ tillåter Majorana-spinorer. I d = 6 finns inget sådant kriterium och därför tar vi hänsyn till båda.

d	C	Symmetrisk	Antisymmetrisk
$3$	$C_{(-)}$	$\gamma _{a}$	$I_{2}$
$4$	$C_{(-)}$	$\gamma _{a}~,~\gamma _{a_{1}a_{2}}$	$​​{\displaystyle I_{4}~,~\gamma _{\text{chir}}~,~\gamma _{\text{chir}}\gamma _{a}}$
$5$	$C_{(+)}$	$\Gamma _{a_{1}a_{2}}$	$I_{4}~,~\Gamma _{a}$
$6$	$C_{(-)}$	$I_{8}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2} }~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}$	$\Gamma _{a}~,~\Gamma _{\text{chir}}~,~\Gamma _{\text{chir} }\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}$
$7$	$C_{(-)}$	$I_{8}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}$	$\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}$
$8$	$C_{(+)}$	$I_{16}~,~\Gamma _{a}~,~\Gamma _{\text {chir}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}~,~\Gamma _{a_{1}\dots a_{4 }}$	$\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{ 2}a_{3}}$
$9$	$C_{(+)}$	$I_{16}~,~\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{ 4}}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{5}}$	$\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}$
$10$	$C_{(-)}$	$\Gamma _{a}~,~\Gamma _{\text {chir}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{\text{chir }}\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{4}}~,~\Gamma _{a_{1}\dotsm a_{5}}$	$I_{32}~,~\Gamma _{\ text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}~,~\Gamma _{a_{1}\ dotsm a_{4}}~,~\Gamma _{\text{chir}}\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}$
$11$	$C_{(-)}$	$\Gamma _{a}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}}~,~\Gamma _{a_{1 }\dotsm a_{5}}$	$I_{32}~,~\Gamma _{a_{1}a_{2}a_{3}}~,~\Gamma _ {a_{1}\dotsm a_{4}}$

Identiteter

Beviset på spåridentiteterna för gammamatriser gäller för alla jämna dimensioner. Man behöver därför bara komma ihåg 4D-fallet och sedan ändra den totala faktorn 4 till $\operatorname {tr} (I_{N})$ . För andra identiteter (de som involverar en sammandragning) kommer explicita funktioner för $d$ att visas.

1. $\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=dI_{N}$
2. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}\gamma _{\mu }=(2-d)\gamma ^{\nu }$
3. $\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu}+(d-2)\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }$
4. $^ g {mu γ$

Även när antalet fysiska dimensioner är fyra, är dessa mer allmänna identiteter allestädes närvarande i slingberäkningar på grund av dimensionell regularisering .

Exempel på en explicit konstruktion i den kirala grunden

Γ - matriserna kan konstrueras rekursivt, först i alla jämna dimensioner, d = 2 k , och därefter i udda, 2 k + 1.

d = 2

Använd Pauli-matriserna , ta

${\begin{aligned}\gamma _{0}&=\sigma _{1},&\gamma _{1}&=-i\sigma _ {2}\end{aligned}}$

och man kan lätt kontrollera att laddningskonjugationsmatriserna är det

${\begin{aligned}C_{(+)}=\sigma _{1}=C_{(+)}^{*}=s_{(2,+)}C_{(+)}^{ \textsf {T}}&=s_{(2,+)}C_{(+)}^{-1}&s_{(2,+)}&=+1\\C_{(-)}=i\ sigma _{2}=C_{(-)}^{*}=s_{(2,-)}C_{(-)}^{\textsf {T}}&=s_{(2,-)}C_ {(-)}^{-1}&s_{(2,-)}&=-1~.\end{aligned}}$

Man kan slutligen definiera den hermitiska kirala γ- _chiren som

$\gamma _{\text{chir}}=\gamma _{0}\gamma _{1}=\sigma _{3}=\gamma _{\text{chir}}^{\dolk }~ .$

Generisk jämn d = 2 k

Man kan nu konstruera Γ _a , ( a = 0, ... , d + 1) , matriser och laddningskonjugationerna C _(±) i d + 2 dimensioner, med utgångspunkt från γ _a' , ( a' = 0, ... , d − 1 ), och c _(±) matriser i d -dimensioner.

Explicit,

${\begin{aligned}\Gamma _{a'}&=\gamma _{a'}\otimes \sigma _{3}~~~\left(a'=0,\dots ,d-1 \right)~,&\Gamma _{d}&=I\otimes (i\sigma _{1})~,&\Gamma _{d+1}&=I\otimes (i\sigma _{2} )~.\end{aligned}}$

Man kan sedan konstruera laddningskonjugationsmatriserna,

${\begin{aligned}C_{(+)}&=c_{(- )}\otimes \sigma _{1}~,&C_{(-)}&=c_{(+)}\otimes (i\sigma _{2})~,\end{aligned}}$

med följande egenskaper,

${\begin{aligned}C_{(+)}=C_{(+)}^{*}=s_{(d+2,+)}C_{(+)}^{\textsf {T} }&=s_{(d+2,+)}C_{(+)}^{-1}&s_{(d+2,+)}&=s_{(d,-)}\\C_{(- )}=C_{(-)}^{*}=s_{(d+2,-)}C_{(-)}^{\textsf {T}}&=s_{(d+2,-)} C_{(-)}^{-1}&s_{(d+2,-)}&=-s_{(d,+)}~.\end{aligned}}$

Med utgångspunkt från teckenvärdena för d = 2, s _(2,+) = +1 och s _(2,−) = −1, kan man fixera alla efterföljande tecken s _{( d ,±)} som har periodicitet 8; uttryckligen, finner man

	$d=8k$	$d=8k+2$	$d=8k+4$	$d=8k+6$
$s_{(d,+)}$	+1	+1	−1	−1
$s_{(d,-)}$	+1	−1	−1	+1

Återigen kan man definiera den hermitiska kirala matrisen i d +2 dimensioner som

${\begin{aligned}\Gamma _{\text{chir} }&=\alpha _{d+2}\Gamma _{0}\Gamma _{1}\dotsm \Gamma _{d+1}=\gamma _{\text{chir}}\otimes \sigma _{ 3}~,&\alpha _{d}&=i^{{\frac {1}{2}}d-1}~,\end{aligned}}$

som är diagonal genom konstruktion och transformeras under laddningskonjugering som

${\begin{aligned}C_{(\pm )}\Gamma _{\text{chir}}C_{(\pm )}^{-1}&=\beta _{d+2}\Gamma _{\text{chir}}^{\textsf {T}}~,&\beta _{d}&=(-)^{{\frac {1}{2}}d(d-1)}~ .\end{aligned}}$

Det är således uppenbart att {Γ _chir , Γ _a } = 0.

Generisk udda d = 2 k + 1

Betrakta den tidigare konstruktionen för d − 1 (som är jämn) och ta helt enkelt alla Γ _a ( a = 0, ..., d − 2) matriser, till vilka lägger dess i Γ _chir ≡ Γ _{d −1} . ( I :et krävs för att ge en antihermitisk matris och sträcka sig in i det rymdliknande måttet).

Beräkna slutligen laddningskonjugationsmatrisen: välj mellan $C_{(+)}$ och $C_{(-)}$ , på ett sådant sätt att Γ _{d −1} transformerar som alla andra Γ- matriser. Explicit, kräva

$C_{(s)}\Gamma _{\text{chir}}C_{(s)}^{-1}=\beta _{d}\Gamma _{\text{chir}}^{\ textsf {T}}=s\Gamma _{\text{chir}}^{\textsf {T}}~.$

När dimensionen d varierar, upprepar mönster sig vanligtvis med period 8. (jfr Clifford algebra-klockan .)

Se även

• Weyl–Brauer-matriser
• Bispinor
• Clifford modul

Allmän läsning

•     Brauer, Richard ; Weyl, Hermann (1935). "Spinorer i n dimensioner". Am. J. Math . 57 : 425-449. doi : 10.2307/2371218 . JFM 61.1025.06 . JSTOR 2371218 . Zbl 0011.24401 .
• Pais, Abraham (1962). "Om Spinors in n Dimensions". Journal of Mathematical Physics . 3 (6): 1135. Bibcode : 1962JMP.....3.1135P . doi : 10.1063/1.1703856 .
• Gliozzi, F.; Scherk, Joel; Olive, D. (1977). "Supersymmetri, supergravitationsteorier och den dubbla spinormodellen" (PDF) . Kärnfysik B . 122 (2): 253. Bibcode : 1977NuPhB.122..253G . doi : 10.1016/0550-3213(77)90206-1 .
• Kennedy, AD (1981). "Clifford algebror i 2ω dimensioner". Journal of Mathematical Physics . 22 (7): 1330. Bibcode : 1981JMP....22.1330K . doi : 10.1063/1.525069 .
•   de Wit, Bryce och Smith, J. (1986). Fältteori i partikelfysik (North-Holland Personal Library), Volym 1, Pocketbok, Appendix E ( Arkiverad från originalet ), ISBN 978-0444869999
• Murayama, H. (2007). "Anteckningar om Clifford Algebra och Spin(N)-representationer"
•   Pietro Giuseppe Frè (2012). "Gravity, en geometrisk kurs: Volym 1: Utveckling av teorin och grundläggande fysiska tillämpningar." Springer-Verlag. ISBN 9400753608 . Se sid 315ff.