Majorana ekvation

Inom fysiken är Majorana -ekvationen en relativistisk vågekvation . Den är uppkallad efter den italienske fysikern Ettore Majorana , som föreslog den 1937 som ett sätt att beskriva fermioner som är deras egen antipartikel . Partiklar som motsvarar denna ekvation kallas Majorana-partiklar , även om den termen nu har en mer expansiv betydelse, som syftar på vilken som helst (möjligen icke-relativistisk) fermionisk partikel som är dess egen anti-partikel (och därför är elektriskt neutral).

Det har förekommit förslag om att massiva neutriner beskrivs av Majorana-partiklar; det finns olika tillägg till standardmodellen som möjliggör detta. Artikeln om Majorana-partiklar presenterar status för de experimentella sökningarna, inklusive detaljer om neutriner. Den här artikeln fokuserar främst på den matematiska utvecklingen av teorin, med uppmärksamhet på dess diskreta och kontinuerliga symmetrier . De diskreta symmetrierna är laddningskonjugering , paritetstransformation och tidsomkastning ; den kontinuerliga symmetrin är Lorentz-invarians .

Laddningskonjugering spelar en stor roll, eftersom det är nyckelsymmetrin som gör att Majorana-partiklarna kan beskrivas som elektriskt neutrala. En särskilt anmärkningsvärd aspekt är att elektrisk neutralitet gör att flera globala faser kan väljas fritt, en vardera för vänster och höger kirala fält. Detta innebär att Majoranafälten, utan explicita begränsningar för dessa faser, naturligt bryter mot CP . En annan aspekt av elektrisk neutralitet är att de vänstra och högra kirala fälten kan ges distinkta massor. Det vill säga, elektrisk laddning är en Lorentz-invariant , och även en rörelsekonstant ; medan kiralitet är en Lorentz-invariant, men är inte en rörelsekonstant för massiva fält. Elektriskt neutrala fält är således mindre begränsade än laddade fält. Under laddningskonjugering visas de två fria globala faserna i masstermer (eftersom de är Lorentz-invarianta), och så beskrivs Majorana-massan av en komplex matris snarare än ett enda tal. Kort sagt, de diskreta symmetrierna i Majorana-ekvationen är betydligt mer komplicerade än de för Dirac-ekvationen , där den elektriska laddningen ${\displaystyle U(1)}-$ symmetri begränsar och tar bort dessa friheter.

Definition

Majorana-ekvationen kan skrivas i flera distinkta former:

• Som Dirac-ekvationen skriven så att Dirac-operatorn är rent Hermitian, vilket ger rent verkliga lösningar.
• Som en operatör som relaterar en fyrkomponentsspinor till dess laddningskonjugat .
• Som en 2×2 differentialekvation som verkar på en komplex tvåkomponentsspinor, som liknar Weyl-ekvationen med en korrekt Lorentz-kovariant massterm.

Dessa tre former är likvärdiga och kan härledas från varandra. Var och en erbjuder lite olika insikter i ekvationens natur. Den första formen understryker att rent verkliga lösningar kan hittas. laddningskonjugationens roll . Den tredje formen ger den mest direkta kontakten med Lorentzgruppens representationsteori .

Rent riktig fyrkomponentsform

Den konventionella utgångspunkten är att ange att " Dirac-ekvationen kan skrivas i hermitisk form", när gammamatriserna tas i Majorana-representationen . Dirac-ekvationen skrivs sedan som

$\left(\,-i\,{\frac {\partial }{\partial t}}-i\,{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta \,m\,\right)\,\psi =0$

där ${\hat {\alpha }}$ är rent reella 4×4 symmetriska matriser, och $\beta$ är rent imaginärt skevsymmetriskt; som krävs för att säkerställa att operatören (den delen inom parentesen) är hermitisk. I det här fallet kan rena 4-spinorlösningar till ekvationen hittas; dessa är Majorana spinors .

Laddningskonjugerad fyrkomponentsform

Majoranas ekvation är

$i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi -m\,\psi _{c}=0~$

med derivatoperatorn ${\partial \!\!\!{\big /}}$ skriven i Feynman snedstrecknotation för att inkludera gammamatriserna såväl som en summering över spinorkomponenterna. Spinorn ${\textstyle \,\psi _{c}\,}$ är laddningskonjugatet av ${\textstyle \,\psi \,.}$ Genom konstruktion ges laddningskonjugat nödvändigtvis av

$\psi _{c}=\eta _{c}\,C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}~$

där $\,(\cdot )^{\mathsf {T}}\,$ anger transponeringen , $\,\eta _{c}\,$ är en godtycklig fasfaktor $\,|\eta _{c}|=1\,,$ konventionellt taget som $\,\eta _{c}=1\,,$ och ${ \displaystyle \,C\,}$ är en 4×4-matris, laddningskonjugationsmatrisen . Matrisrepresentationen av $\,C\,$ beror på valet av representationen av gammamatriserna . Enligt konventionen skrivs den konjugerade spinoren som

${\overline {\psi }}=\psi ^{\dolk }\,\gamma ^{0}~.$

Ett antal algebraiska identiteter följer av laddningskonjugationsmatrisen $C.$ Man anger att i alla representationer av gammamatriserna , inklusive Dirac-, Weyl- och Majorana-representationerna, att $\,C\,\gamma _{\ mu }=-\gamma _{\mu }^{\mathsf {T}}\,C\,$ och så kan man skriva

$\psi _{c}=-\eta _{c}\,\gamma ^{0}\,C\,\psi ^{*}~$

där $\,\psi ^{*}\,$ är det komplexa konjugatet av $\,\psi \,.$ Laddningskonjugationsmatrisen $\,C\,$ har också egenskapen att

$C^{-1}=C^{\dolk }=C^{\mathsf {T}}=-C$

i alla representationer (Dirac, chiral, Majorana). Från detta, och en hel del algebra, kan man få ekvationen motsvarande:

$i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi _{c}-m\,\psi =0$

Bevis

Denna form är inte helt uppenbar, och förtjänar därför ett bevis. Börjar med

$-i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi +m\,\psi _{c}=0$

Expandera $\,\psi _{c}=C\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}\,$ :

$-i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi +m\,C\,{\overline {\psi } }^{\mathsf {T}}=0$

Multiplicera med $\,C\,$ använd $\,C^{2}=-1\,$ :

$-i\,C\,{\partial \!\!\!{\big /}}C^{-1}\,C \,\psi -m\,{\overline {\psi }}^{\mathsf {T}}=0$

Laddningskonjugering transponerar gammamatriserna:

$+i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\mathsf {T}}\,C\ ,\psi -m\,\left(\gamma ^{0}\right)^{\mathsf {T}}\,\psi ^{*}=0$

Ta det komplexa konjugatet:

$-i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\dolk }C^{*}\ ,\psi ^{*}-m\,\left(\gamma ^{0}\right)^{\dolk }\,\psi =0$

Matrisen $\,\gamma ^{0}\,$ är hermitisk, $\,\left(\gamma ^{0}\right)^{\dolk }=\ gamma ^{0}\,$ i alla tre representationerna (Dirac, chiral, Majorana):

$-i\,{\partial \!\!\!{\big /}}^{\dolk }C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\gamma ^{0}\,\psi =0$

Det är också en involution , med det hermitiska konjugatet : $\,\gamma ^{0}\,\gamma ^{\mu }\,\gamma ^{0}= \left(\gamma ^{\mu}\right)^{\dolk }$

$-i\,\gamma ^{0}\,{\partial \!\!\!{\big /}}\gamma ^{0 }\,C^{*}\,\psi ^{*}-m\,\gamma ^{0}\,\psi =0$

Multiplicera med $\,\gamma ^{0}\,$ , notera att $\,\left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I\ ,$ och använd $\,C^{*}=C\,$ :

$-i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\gamma ^{0}\,C\,\psi ^{* }-m\,\psi =0$

Ovanstående är bara definitionen av konjugatet, så dra slutsatsen att

$i\,{\partial \!\!\!{\big /}}\psi _{c}-m\,\psi =0$

En detaljerad diskussion om den fysiska tolkningen av matris $C$ som laddningskonjugation finns i artikeln om laddningskonjugering . Kort sagt, det är inblandat i att kartlägga partiklar till deras antipartiklar , vilket bland annat inkluderar omkastningen av den elektriska laddningen . Även om $\psi ^{c}$ definieras som "laddningskonjugatet" av $\psi ,$ har laddningskonjugationsoperatorn inte ett utan två egenvärden. Detta gör att en andra spinor, ELKO-spinorn, kan definieras. Detta diskuteras mer i detalj nedan.

Komplex tvåkomponentsform

Nedsänkningen L används i hela detta underavsnitt för att beteckna en vänsterhänt kiral spinor.

Majorana -operatorn , $\,\mathrm {D} _{\text{L}}\,,$ definieras som

$\mathrm {D} _{\text{L}}\equiv i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\, \partial _{\mu }+\eta \,m\,\omega \,K$

var

${\overline {\sigma }}^{\mu }={\begin {bmatrix}\sigma ^{0}&-\sigma ^{1}&-\sigma ^{2}&-\sigma ^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{2} &-\sigma _{\text{x}}&-\sigma _{\text{y}}&-\sigma _{\text{z}}\end{bmatrix}}$

är en vektor vars komponenter är 2×2 identitetsmatrisen $\,I_{2}\,$ för $\,\mu =0\,$ och (minus) Pauli-matriserna för $\,2,\,3\}\,.} η {\$$\,\eta \,}$ displaystyle är en godtycklig fasfaktor, $\,|\eta |=1\,,$ som vanligtvis tas som ett: $\,\eta =1\,.$ ω ${\displaystyle \,\omega \,} är en 2×2$ matris som kan tolkas som den symboliska formen för den symboliska gruppen $\,\operatörsnamn {Sp} (2,\mathbb {C} )\,,$ som är en dubbel beläggning av Lorentz-gruppen . Det är

$\omega =i\,\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~,$

som råkar vara isomorf till den imaginära enheten " i " (dvs $\omega ^{2}=-I\,$ och ${\displaystyle \,a\,I+b\,\omega \cong a+b\,i\in \mathbb {C} \,} för a , b ∈ R {\displaystyle \,a,$ b $R } }$ ) där matristransponeringen är analogen till komplex konjugation .

Slutligen är $\,K\,$ en kort påminnelse om att ta det komplexa konjugatet. Majorana-ekvationen för en vänsterhänt komplext värderad tvåkomponentspinor $\,\psi _{\text{L}}\,$ är då

$\mathrm {D} _{\text{L}}\psi _{\text{L}}=0$

eller på motsvarande sätt

$i\,{\overline {\sigma }}^{\mu }\,\partial _{\mu } \psi _{\text{L}}(x)+\eta \,m\,\omega \,\psi _{\text{L}}^{*}(x)=0$

med $\,\psi _{\text{L}}^{*}(x)\,$ det komplexa konjugatet av $\,\psi _{\text{L}}(x)\,.$ Nedsänkt L används i hela detta avsnitt för att beteckna en vänsterhänt kiral spinor; under en paritetstransformation kan detta tas till en högerhänt spinor, och så har man också en högerhänt form av ekvationen. Detta gäller även fyrkomponentsekvationen; ytterligare detaljer presenteras nedan.

Nyckelidéer

Några av egenskaperna hos Majorana-ekvationen, dess lösning och dess lagrangiska formulering sammanfattas här.

•    Majorana-ekvationen liknar Dirac-ekvationen , i den meningen att den involverar fyrkomponents spinorer, gammamatriser och masstermer, men inkluderar laddningskonjugatet ψ $\textstyle \psi _{c}}$ av en spinor ${ \textstyle \psi }$ . Däremot Weyl-ekvationen för tvåkomponentspinor utan massa.
• Lösningar på Majorana-ekvationen kan tolkas som elektriskt neutrala partiklar som är deras egen antipartikel. Enligt konvention laddningskonjugeringsoperatorn partiklar till sina antipartiklar, och så definieras Majorana-spinorn konventionellt som lösningen där $\psi =\psi _{c}.$ Det vill säga Majorana-spinorn är "sin egen antipartikel". I den mån laddningskonjugering tar en elektriskt laddad partikel till sin antipartikel med motsatt laddning, måste man dra slutsatsen att Majorana-spinorn är elektriskt neutral.
• Majorana-ekvationen är Lorentz-kovariant , och en mängd Lorentz-skalärer kan konstrueras från dess spinorer. Detta gör att flera distinkta Lagrangianer kan konstrueras för Majoranafält.
• När Lagrangian uttrycks i termer av tvåkomponents vänster och höger kirala spinorer, kan den innehålla tre distinkta masstermer: vänster och höger Majorana massterm och en Dirac massterm. Dessa manifesterar sig fysiskt som två distinkta massor; detta är nyckelidén med gungbrädans mekanism för att beskriva lågmassa neutrinos med en vänsterhänt koppling till standardmodellen, med den högerhänta komponenten som motsvarar en steril neutrino i GUT skala massor.
• De diskreta symmetrierna för C- , P- och T -konjugation kontrolleras intimt av en fritt vald fasfaktor på laddningskonjugeringsoperatorn . Detta manifesterar sig som distinkta komplexa faser på massvillkor. Detta gör att både CP-symmetriska och CP-överträdande Lagrangians kan skrivas.
• Majoranafälten är CPT-invarianta , men invariansen är på sätt och vis "friare" än den är för laddade partiklar. Detta beror på att laddning nödvändigtvis är en Lorentz invariant egenskap, och är därför begränsad för laddade fält. De neutrala Majoranafälten är inte begränsade på detta sätt och kan blandas.

Två-komponent Majorana ekvation

Majorana-ekvationen kan skrivas både i termer av en riktig fyrkomponentsspinor, och som en komplex tvåkomponentsspinor. Båda kan konstrueras från Weyl-ekvationen , med tillägg av en korrekt Lorentz-kovariant massterm. Detta avsnitt ger en explicit konstruktion och artikulation.

Weyl ekvation

Weyl-ekvationen beskriver tidsutvecklingen för en masslös komplexvärd tvåkomponentspinor . Det skrivs konventionellt som

$\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0$

Det är uttryckligen skrivet

$I_{2}{\frac {\partial \psi }{\partial t}} +\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z }{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0$

Pauli fyrvektor är

$\sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^ {1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\ sigma _{z}\end{pmatrix}}$

det vill säga en vektor vars komponenter är 2 × 2 identitetsmatrisen $I_{2}$ för μ = 0 och Pauli-matriserna för μ = 1, 2, 3. Under paritetstransformationen ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {x}}^{\prime }=-{\vec {x}}} man får$ en dubbel ekvation

${\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0$

där ${\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _ {x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}$ . Dessa är två distinkta former av Weyl-ekvationen; deras lösningar är också olika. Det kan visas att lösningarna har vänster- och högerhänt helicitet , och därmed kiralitet . Det är vanligt att uttryckligen märka dessa två distinkta former, sålunda:

$\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0\qquad {\bar {\sigma }}^{\mu}\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.$

Lorentz invarians

Weyl-ekvationen beskriver en masslös partikel; Majorana-ekvationen lägger till en massterm. Massan måste införas på ett Lorentz-invariant sätt. Detta uppnås genom att observera att den speciella linjära gruppen $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$ är isomorf till den symplektiska gruppen $\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} ).$ Båda dessa grupper är dubbla omslag av Lorentz-gruppen $\operatorname {SO} (1,3).$ Lorentz -invariansen för derivattermen (från Weyl-ekvationen) är konventionellt formulerad i termer av verkan av gruppen $\ operatornamn {SL} (2,\mathbb {C} )$ på spinorer, medan Lorentz-invariansen av masstermen kräver anropande av den definierande relationen för den symplektiska gruppen.

Lorentz-gruppens dubbeltäckning ges av

${\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\ sigma }}_{\nu }S^{\dolk }$

där $\Lambda \in \operatörsnamn {SO} (1,3)$ och $S\in \operatörsnamn {SL} ( 2,\mathbb {C} )$ och $S^{\dolk }$ är den hermitiska transponeringen . Detta används för att relatera transformationsegenskaperna för differentialerna under en Lorentz-transformation $x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x$ till spinorernas transformationsegenskaper.

Den symboliska gruppen $\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )$ definieras som mängden av alla komplexa 2×2-matriser $S$ som uppfyller

$\omega ^{-1}S^{\textsf {T}}\omega =S^{-1}$

var

$\omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}$

är en skevsymmetrisk matris . Det används för att definiera en symplektisk bilinjär form på $\mathbb {C} ^{2}.$ Skriva ett par godtyckliga tvåvektorer $u,v\in \mathbb {C} ^{2}$ som

$u={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}\qquad v={\begin {pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}$

den symboliska produkten är

$\langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1 }v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v$

där $u^{\textsf {T}}$ är transponeringen av $u~.$ Denna form är invariant under Lorentz-transformationer, i det

$\langle u,v\rangle =\langle Su,Sv\rangle$

Skevningsmatrisen tar Pauli-matriserna minus deras transponering:

$\omega \sigma _{k}\omega ^{-1}=-\sigma _{k}^{\textsf {T}}$

för $k=1,2,3.$ Skevningsmatrisen kan tolkas som produkten av en paritetstransformation och en transposition som verkar på två-spinorer. Men som kommer att betonas i ett senare avsnitt, kan det också tolkas som en av komponenterna i laddningskonjugationsoperatorn, den andra komponenten är komplex konjugation . Att tillämpa det på Lorentz-transformationen ger

$\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1 }\right)^{\dolk }\sigma _{\nu}S^{-1}$

Dessa två varianter beskriver kovariansegenskaperna hos de differentialer som verkar på vänster respektive höger spinor.

Differentialer

Under Lorentz-transformationen $x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x$ transformeras differentialtermen som

$ma ∂ x μ$

förutsatt att det högerhänta fältet förvandlas som

$\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{ \prime }(x^{\prime })=S\psi _{\rm {R}}(x)$

På liknande sätt transformeras den vänsterhänta differentialen som

$överlinje x$

förutsatt att den vänsterhänta spinorn förvandlas som

$\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm { L}}^{\prime }(x^{\prime })=\left(S^{\dolk }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)$

Bevis

Dessa transformationsegenskaper är inte särskilt "uppenbara" och förtjänar därför en noggrann härledning. Börja med formuläret

$\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{ \prime }(x^{\prime })=R\psi _{\rm {R}}(x)$

för några okända $R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ som ska bestämmas. Lorentz-transformen, i koordinater, är

$x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }$

eller på motsvarande sätt

$x^{\nu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu}}_{\mu }x^ {\prime \mu }$

Det här leder till

${\begin{aligned}&\sigma ^{\mu } \partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\frac {\ partiell }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}(x^{\prime })\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\ frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm { R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu}}_{\mu }{\frac { \partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^ {-1}\right)^{\nu}}_{\mu }\partial _{\nu}R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}$

För att kunna använda Weyl-kartan

$\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1 }\right)^{\dolk }\sigma _{\nu}S^{-1}$

några index måste höjas och sänkas. Detta är lättare sagt än gjort, eftersom det åberopar identiteten

$\eta \Lambda ^{T}\eta =\Lambda ^{-1}$

där ${\displaystyle \eta =\operatörsnamn {diag} (+1,-1,-1,-1)} är$ Minkowski -måttet . Ovanstående identitet används ofta för att definiera elementen $\Lambda \in \operatörsnamn {SO} (1,3).$ Man tar transponeringen:

${\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu}={\left(\ Lambda ^{-1T}\right)_{\mu }}^{\nu }$

att skriva

${\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right )^{\nu}}_{\mu }\partial _{\nu}R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={}&\sigma ^{\mu }{\ vänster(\Lambda ^{-1T}\höger)_{\mu }}^{\nu}\partial _{\nu}R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={ }&\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu}\partial ^{\nu}R\psi _{\rm {R}}(x)\\{}={ }&\left(S^{-1}\right)^{\dolk }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}} (x)\end{aligned}}$

Man får alltså tillbaka den ursprungliga formen om $S^{-1}R=1,$ det vill säga $R=S.$ Genom att utföra samma manipulationer för vänsterhänta ekvation drar man slutsatsen att

$\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{ \prime }(x^{\prime })=L\psi _{\rm {L}}(x)$

med $L=\left(S^{\dolk}\right)^{-1}.$

Masstermin

Det komplexa konjugatet av det högerhänta spinorfältet transformeras som

$\psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{ \rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)$

Det definierande förhållandet för $\operatorname {Sp} (2,\mathbb {C} )$ kan skrivas om till $\omega S^{*}=\left(S^{\dolk }\right)^{-1}\omega \,.$ Av detta drar man slutsatsen att det skev-komplexa fältet transformeras som

$m\omega \psi _{\rm {R}} ^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}(x^{\prime })=\left(S^{\dolk}\right)^ {-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)$

Detta är helt kompatibelt med kovariansegenskapen för differentialen. Om $\eta =e^{i\phi }$ är en godtycklig komplex fasfaktor, den linjära kombinationen

$i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x )+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)$

förvandlas på ett samvariant sätt. Att sätta detta till noll ger den komplexa tvåkomponents Majorana-ekvationen för det högerhänta fältet. är den vänsterkirala Majorana-ekvationen (inklusive en godtycklig fasfaktor ${\displaystyle \zeta } )$

$i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{ \rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0$

De vänstra och högra kirala versionerna är relaterade till en paritetstransformation . Som visas nedan får dessa kvadrat till Klein–Gordon-operatorn endast om $\eta =\zeta .$ Skevkomplexkonjugatet $\omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi$ kan kännas igen som laddningen konjugerad form av $\psi ~;$ detta artikuleras mer detaljerat nedan. Således kan Majorana-ekvationen läsas som en ekvation som kopplar en spinor till dess laddningskonjugerade form.

Vänster och höger Majorana-operatörer

Definiera ett par operatorer, Majorana-operatorerna,

${\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}& =i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu}+\zeta m\omega K&\mathrm {D} _{\rm {R}}&=i\sigma ^{\ mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\end{aligned}}$

där $K$ är en kort påminnelse om att ta det komplexa konjugatet. Under Lorentz-transformationer omvandlas dessa som

${\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L }}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {L}}^{\prime }&=S\mathrm {D} _{\rm {L}}S^{\dolk }&\mathrm {D} _{\rm {R}}\mapsto \mathrm {D} _{\rm {R}}^{\prime }&=\left(S^{\dolk}\right)^{-1}\mathrm { D} _{\rm {R}}S^{-1}\end{aligned}}$

medan Weyl-spinorerna transformerar som

${\begin{aligned}\psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{ \rm {L}}^{\prime }&=\left(S^{\dolk }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}&\psi _{\rm {R} }\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }&=S\psi _{\rm {R}}\end{aligned}}$

precis som ovan. Således är de matchade kombinationerna av dessa Lorentz-kovarianter, och man kan ta

${\begin{aligned}\mathrm {D} _{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}&=0&\mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}&=0\end{aligned}}$

som ett par komplexa 2-spinor Majorana-ekvationer.

Produkterna ${\displaystyle \mathrm {D} _{\rm {L}}\mathrm {D} _{\rm {R}}} och D$ R $displaystyle \mathrm {D} _ {\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}}$ är båda Lorentz-kovarianter. Produkten är uttryckligen

$\mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu}\partial _{\mu}+\zeta m\omega K\ höger)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2} \right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)$

För att verifiera detta måste man ha i åtanke att $\omega ^{2}=-1$ och att $Ki=-iK~.$ RHS reduceras till Klein–Gordon-operatorn förutsatt att $\eta \zeta ^{*}=1$ , det vill säga $\eta =\zeta ~.$ Dessa två Majorana-operatorer är alltså "kvadratrötter" av Klein–Gordon-operatorn.

Fyrkomponent Majorana ekvation

Den verkliga fyrkomponentsversionen av Majorana-ekvationen kan konstrueras från den komplexa tvåkomponentsekvationen enligt följande. Givet det komplexa fältet $\psi _{\rm {L}}$ som uppfyller $\mathrm {D} _{\rm {L}}\psi _{\rm {L }}=0$ enligt ovan, definiera

$\chi _{\rm {R}}\equiv -\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}$

Med det algebraiska maskineriet som ges ovan är det inte svårt att visa det

$\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu}-\eta m\omega K\right)\chi _{ \rm {R}}=0$

Definiera en konjugatoperator

$\delta _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu}-\eta m\omega K$

Fyrkomponents Majorana-ekvationen är då

$\left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)\ vänster(\psi _{\rm {L}}\oplus \chi _{\rm {R}}\right)=0$

Att skriva ut detta i detalj har man

$\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}={\begin{bmatrix}\mathrm {D} _{\rm {L}}&0\\0&\delta _{\rm {R}}\end{bmatrix}}=i{\begin{bmatrix}I&0\\0&I\end{bmatrix}}\partial _{t}+i{\begin{bmatrix}-\sigma ^{k}&0 \\0&\sigma ^{k}\end{bmatrix}}\nabla _{k}+m{\begin{bmatrix}\eta \omega K&0\\0&-\eta \omega K\end{bmatrix}}$

Multiplicera till vänster med

$\beta =\gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}}$

bringar ovanstående till en matrisform där gammamatriserna i den kirala representationen kan kännas igen. Detta är

$\beta \left( \mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)={\begin{bmatrix}0&\delta _{\rm {R}}\\\mathrm {D} _{\rm {L}}&0\end{bmatrix}}=i\beta \partial _{t}+i{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{ k}&0\end{bmatrix}}\nabla _{k}-m{\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}$

Det är,

$\beta \left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu}\partial _{\mu}-m{\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\ slut{bmatrix}}$

Tillämpar detta på 4-spinorn

$\psi _{\rm {L}}\oplus \chi _{\rm {R}}={ \begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\\chi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}} \\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}$

och påminner om att $\omega ^{2}=-1$ finner man att spinorn är ett egentillstånd för masstermen,

${\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix }}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}$

och så, för just denna spinor, reduceras Majorana-ekvationen med fyra komponenter till Dirac-ekvationen

$\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu}-m\right){\begin{ pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\-\eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}=0$

Skevningsmatrisen kan identifieras med laddningskonjugationsoperatorn ( i Weyl-basen ). Detta är uttryckligen

${\mathsf {C}}={\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}$

Givet en godtycklig fyrkomponentspinor $\psi ~,$ är dess laddningskonjugat

${\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}=\eta C{\overline {\psi }}^{\textsf {T}}$

med $C$ en vanlig 4×4-matris, med en form som uttryckligen anges i artikeln om gammamatriser . Sammanfattningsvis kan 4-komponent Majorana ekvationen skrivas som

${\begin{aligned}0&=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\ mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi \\&=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi ^{c}\end{aligned} }$

Laddningskonjugering och paritet

Laddningskonjugationsoperatorn visas direkt i 4-komponentversionen av Majorana-ekvationen. När spinorfältet är ett laddningskonjugat av sig självt, det vill säga när $\psi ^{c}=\psi ,$ så reduceras Majorana-ekvationen till Dirac-ekvationen, och vilken lösning som helst kan tolkas som beskriver ett elektriskt neutralt fält. Laddningskonjugationsoperatorn har dock inte ett, utan två distinkta egentillstånd, varav en är ELKO-spinorn; det inte Majorana-ekvationen, utan snarare en teckenvänd version av den.

Laddningskonjugationsoperatorn ${\mathsf {C}}$ för en fyrkomponentsspinor definieras som

${\mathsf {C}}\psi =\psi _{c}=\eta C\left({\overline {\psi }}\right) ^{\textsf {T}}$

En allmän diskussion om den fysiska tolkningen av denna operatör i termer av elektrisk laddning ges i artikeln om laddningskonjugering . Ytterligare diskussioner tillhandahålls av Bjorken & Drell eller Itzykson & Zuber. I mer abstrakta termer är det den spinoriala ekvivalenten av komplex konjugering av ${\displaystyle U(1)}-$ kopplingen av det elektromagnetiska fältet. Detta kan ses på följande sätt. Om man har ett enda, verkligt skalärfält , kan det inte kopplas till elektromagnetism; dock kan ett par reella skalära fält, ordnade som ett komplext tal. För skalära fält är laddningskonjugation detsamma som komplex konjugation . De diskreta symmetrierna för $U(1)$ gauge-teorin följer av den "triviala" observationen att

$*:U(1)\to U(1)\quad e^{i\phi }\mapsto e^{-i \phi }$

är en automorfism av $U(1).$ För spinoriala fält är situationen mer förvirrande. Grovt sett kan man dock säga att Majoranafältet är elektriskt neutralt, och att en lämplig kombination av två Majoranafält kan tolkas som ett enda elektriskt laddat Dirac-fält. Laddningskonjugationsoperatorn ovan motsvarar automorfismen för $U(1).$

I det ovanstående är $C$ en 4×4-matris, som ges i artikeln om gammamatriserna . Dess explicita form är representationsberoende. Operatorn ${\mathsf {C}}$ kan inte skrivas som en 4×4-matris, eftersom den tar den komplexa konjugatet av $\psi$ , och komplex konjugering kan inte uppnås med en komplex 4 × 4 matris. Det kan skrivas som en riktig 8×8-matris, förutsatt att man också skriver $\psi$ som en rent verklig 8-komponents spinor. Låter $K$ stå för komplex konjugation, så att $K(x+iy)=x-iy,$ kan man sedan skriva, för fyra- komponentspinorer,

${\mathsf {C}}=-\eta \gamma ^{0}CK$

Det är inte svårt att visa att ${\mathsf {C}}^{2}=1$ och att ${\displaystyle {\mathsf {C}}\gamma ^{\mu }{\mathsf {C}}=-\gamma ^{\mu }~.} Det följer av den första identiteten att C {\displaystyle$ { $mathsf {C}}}$ har två egenvärden, som kan skrivas som

${\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}$

Egenvektorerna återfinns lätt i Weyl-basen. Från ovanstående, på denna grund, ${\mathsf {C}}$ uttryckligen

${\mathsf {C}}={\begin{bmatrix}0&\eta \omega K\\-\eta \omega K&0\end{bmatrix}}$

och sålunda

$\psi _{\text{Weyl}}^{(\pm )}={\begin{pmatrix}\psi _{\rm { L}}\\\mp \eta \omega \psi _{\rm {L}}^{*}\end{pmatrix}}$

Båda egenvektorerna är helt klart lösningar på Majorana-ekvationen. Men bara den positiva egenvektorn är en lösning på Dirac-ekvationen:

$0=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\ mu }-m{\mathsf {C}}\right)\psi ^{(+)}=\left(i\gamma ^{\mu}\partial _{\mu}-m\right)\psi ^{ (+)}$

Den negativa egenvektorn "fungerar inte", den har det felaktiga tecknet på Dirac-mastermen. Det löser dock fortfarande Klein–Gordons ekvation. Den negativa egenvektorn kallas ELKO-spinorn.

Bevis

Att båda egentillstånden löser Klein–Gordon-ekvationen följer av de tidigare identiteterna för tvåkomponentversionerna. Definierar, som tidigare,

$\mathrm {D} _{\rm {L}}=i{\overline {\ sigma }}^{\mu }\partial _{\mu}+\eta m\omega K\qquad \mathrm {D} _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{ \mu }+\eta m\omega K$

Som visats tidigare

$\mathrm {D} _{\rm {R}}\mathrm {D} _{\rm {L}}=\mathrm { D} _{\rm {L}}\mathrm {D} _{\rm {R}}=-\left(\square +m^{2}\right)$

Fyrkomponentsspinorn kräver införandet av

$\delta _{\rm {L}}=i{\överlinje {\sigma }} ^{\mu }\partial _{\mu}-\eta m\omega K\qquad \delta _{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu}\partial _{\mu}-\eta m\omega K$

som också lyder

$\delta _{\rm {R}}\delta _{\rm {L}}=\delta _{\rm {L} }\delta _{\rm {R}}=-\left(\square +m^{2}\right)$

Därför

$\left(\mathrm {D} _{\rm {R}}\oplus \delta _{\rm { L}}\right)\left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=-\left(\square +m^{2} \höger)$

Den kirala representationen kräver en extra faktor på $\beta =\gamma ^{0}$ :

$\beta \left(\mathrm {D} _{\ rm {L}}\oplus \delta _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\qquad \beta \ vänster(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right)=i\gamma ^{\mu}\partial _{\mu }+m{\ mathsf {C}}$

och så drar man slutsatsen att

$\left(\ mathrm {D} _{\rm {R}}\oplus \delta _{\rm {L}}\right)\left(\mathrm {D} _{\rm {L}}\oplus \delta _{\ rm {R}}\right)=\left(i\gamma ^{\mu}\partial _{\mu}+m{\mathsf {C}}\right)\left(i\gamma ^{\mu } \partial _{\mu }-m{\mathsf {C}}\right)=-\left(\square +m^{2}\right)$

Det vill säga att båda egenvektorerna för laddningskonjugationsoperatorn löser Klein–Gordon-ekvationen. Den sista identiteten kan också verifieras direkt genom att notera att ${\mathsf {C}}i=-i{\mathsf {C}}$ och att ${\mathsf {C}}\gamma ^{\mu }=-\gamma ^{\mu }{\mathsf {C}}~.$

Paritet

Under paritet förvandlas vänsterhänta spinorer till högerhänta spinorer. De två egenvektorerna för laddningskonjugationsoperatorn, återigen i Weyl-basen, är

$\psi _{\rm {{R},{\text{Weyl}}}}^{(\pm )}={ \begin{pmatrix}\pm \eta \omega \psi _{\rm {R}}^{*}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}$

Som tidigare löser båda fyrakomponents Majorana-ekvationen, men bara en löser också Dirac-ekvationen. Detta kan visas genom att konstruera paritet-dubbel fyrkomponentsekvationen. Detta tar formen

$\beta \left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}} \right)=i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}$

var

$\delta _{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }- \eta m\omega K$

Givet tvåkomponentspinorn definierar $\psi _{\rm {R}}$ dess konjugat som ${\displaystyle \chi _{\rm {L}}=-\eta \omega \psi _{\rm {R}}}^{*}.} Det är inte svårt att visa$ att $\mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=-\eta \omega (\delta _{\rm {L}}\ chi _{\rm {L}})$ och att därför, om $\mathrm {D} _{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0$ då även $\delta _{\rm {L}}\chi _{\rm {L}}=0$ och därför

$0=\left(\delta _{\rm {L}}\oplus \mathrm {D} _{\rm {R}}\right )\left(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}\right)$

eller motsvarande

$0=(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m{\mathsf {C}}){\ börja{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}}$

Detta fungerar eftersom ${\displaystyle {\mathsf {C}}(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})=-(\chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}})} och så reduceras detta till$ Dirac-ekvationen för

$\psi _{{\rm {R}},{\text{Weyl}}}^{(-)}= \chi _{\rm {L}}\oplus \psi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}\chi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R} }\end{pmatrix}}$

För att sammanfatta, och upprepa, är Majoranas ekvation

$0=\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\ mathsf {C}}\right)\psi =i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m\psi _{c}$

Den har fyra inekvivalenta, linjärt oberoende lösningar, $\psi _{\rm {L,R}}^{(\pm )}.$ Av dessa är bara två också lösningar till Dirac-ekvationen: nämligen $\psi _{ \rm {L}}^{(+)}$ och $\psi _{\rm {R}}^{(-)}~.$

Lösningar

Spin egentillstånd

En bekväm utgångspunkt för att skriva lösningarna är att arbeta i spinorernas rastramssätt. Att skriva kvant Hamiltonian med den konventionella teckenkonventionen $H=i\partial _{t}$ leder till att Majorana-ekvationen tar formen

$i\partial _{t}\psi =-i{\vec {\alpha }}\cdot \nabla \psi +m\beta \psi _{c}$

I den kirala (Weyl) basen har man det

$\gamma ^{0}=\beta ={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}},\ quad {\vec {\alpha }}={\begin{pmatrix}{\vec {\sigma }}&0\\0&-{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}$

med ${\vec {\sigma }}$ Pauli -vektorn . Teckenkonventionen här överensstämmer med artikeln gammamatriser . Om man pluggar in den positiva laddningskonjugationens egentillstånd $\psi _{\text{Weyl}}}^{(+)}$ som ges ovan, får man en ekvation för tvåkomponentsspinorn

$i\partial _{t}\psi _{\rm {L}}=-i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla \psi _{\rm {L}}+m(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})$

och likaså

$i\partial _{t}(i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*})=+i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla (i\sigma _{2}\psi _{\rm {L}}^{*} )+m\psi _{\rm {L}}$

Dessa två är i själva verket samma ekvation, vilket kan verifieras genom att notera att $\sigma _{2}$ ger det komplexa konjugatet av Pauli-matriserna:

$\sigma _{2}\left({\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\sigma _{2}=-{\vec {k}}\cdot { \vec {\sigma }}^{*}.$

Planvågslösningarna kan utvecklas för energimomentumet $\left(k_{0},{\vec {k}}\right)$ och anges enklast i viloramen. Lösningen med spin-up rest-frame är

$\psi _{\rm {L}}^{(u)}={\begin{pmatrix}e^{-imt}\ \e^{imt}\end{pmatrix}}$

medan spin-down lösningen är

$\psi _{\rm {L}}^{(d)}={\begin{pmatrix}e^{imt}\ \-e^{-imt}\end{pmatrix}}$

Att dessa tolkas korrekt kan ses genom att återuttrycka dem i Dirac-basen, som Dirac-spinorer . I det här fallet tar de formen

$\psi _{\text{Dirac}}^{(u)}={\begin{bmatrix}e^{-imt} \\0\\0\\-e^{imt}\end{bmatrix}}$

och

$\psi _{\text{Dirac}}^{(d)}={\begin{bmatrix}0\\e^{ -imt}\\-e^{imt}\\0\end{bmatrix}}$

Dessa är spinorerna för viloramen. De kan ses som en linjär kombination av både positiva och negativa energilösningar till Dirac-ekvationen. Dessa är de enda två lösningarna; Majorana-ekvationen har bara två linjärt oberoende lösningar, till skillnad från Dirac-ekvationen, som har fyra. Fördubblingen av frihetsgraderna för Dirac-ekvationen kan tillskrivas Dirac-spinorerna som bär laddning.

Momentum egentillstånd

I en allmän momentumram kan Majorana-spinorn skrivas som

Elektrisk laddning

Uppträdandet av både ${\textstyle \psi }$ och ${\textstyle \psi _{c}}$ i Majorana-ekvationen innebär att fältet ${\textstyle \psi }$ inte kan kopplas till ett laddat elektromagnetiskt fält utan att bryta laddningen konservering , eftersom partiklar har motsatt laddning till sina egna antipartiklar. För att uppfylla denna begränsning ${\textstyle \psi }$ anses vara elektriskt neutral. Detta kan artikuleras mer detaljerat.

Dirac-ekvationen kan skrivas i en rent reell form, när gammamatriserna tas i Majorana-representationen. Dirac-ekvationen kan sedan skrivas som

$\left(-i{\frac {\partial }{\partial t}}-i{\hat {\alpha }}\ cdot \nabla +\beta m\right)\psi =0$

där ${\hat {\alpha }}$ är rent reella symmetriska matriser, och $\beta$ är rent imaginärt skevsymmetriskt. I detta fall kan rent verkliga lösningar på ekvationen hittas; dessa är Majorana-spinorerna. Under verkan av Lorentz-transformationer transformeras dessa under (rent verkliga) spin-gruppen $\operatorname {Spin} (1,3).$ Detta står i kontrast till Dirac-spinorerna , som endast är samvarierande under verkan av den komplexiserade spinngruppen $\operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(1,3).$ Tolkningen är att komplexiserad spinngrupp kodar den elektromagnetiska potentialen, den verkliga spinngruppen gör det inte.

Detta kan också uttryckas på ett annat sätt: Dirac-ekvationen och Dirac-spinorerna innehåller en tillräcklig mängd mätfrihet för att naturligt koda elektromagnetiska interaktioner. Detta kan ses genom att notera att den elektromagnetiska potentialen mycket enkelt kan läggas till Dirac-ekvationen utan att det krävs några ytterligare modifieringar eller förlängningar av vare sig ekvationen eller spinorn. Placeringen av denna extra frihetsgrad fastställs av laddningskonjugationsoperatorn, och införandet av Majorana-begränsningen ${\textstyle \psi =\psi _{c}}$ tar bort denna extra frihetsgrad. När den väl har tagits bort kan det inte finnas någon koppling till den elektromagnetiska potentialen, alltså är Majorana-spinorn nödvändigtvis elektriskt neutral. En elektromagnetisk koppling kan endast erhållas genom att addera tillbaka en fasfaktor med komplexa talvärden och koppla denna fasfaktor till den elektromagnetiska potentialen.

Ovanstående kan skärpas ytterligare genom att undersöka situationen i $(p,q)$ rumsliga dimensioner. I detta fall har den komplexiserade spinngruppen $\operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)$ en dubbel täckning av $\operatörsnamn {SO} (p,q)\ gånger S^{1}$ med $S^{1}\cong U(1)$ cirkeln. Innebörden är att $\operatorname {SO} (p,q)$ kodar de generaliserade Lorentz-transformationerna (naturligtvis), medan cirkeln kan identifieras med $\mathrm {U} (1)$ verkan av mätargruppen på elektriska laddningar. Det vill säga, mätgruppens verkan av den komplexiserade spinngruppen på en Dirac-spinor kan delas upp i en rent verklig Lorentzisk del och en elektromagnetisk del. Detta kan vidareutvecklas på icke-platta (icke-Minkowski-platta) spinngrenrör . I det här fallet agerar Dirac-operatören på spinorbunten . Uppdelad i distinkta termer inkluderar den den vanliga kovariantderivatan $d+A.$ A $A$ -fältet kan ses härröra direkt från krökningen av den komplexiserade delen av spinnbunten, genom att gauge-transformationerna kopplas till den komplexiserade delen, och inte den spinor del. Att $A$ -fältet motsvarar den elektromagnetiska potentialen kan ses genom att notera att (till exempel) kvadraten på Dirac-operatorn är Laplacian plus den skalära krökningen $R$ (av det underliggande grenröret som spinorfältet sitter på) plus den (elektromagnetiska) fältstyrkan $F=dA.$ För Majorana-fallet har man bara Lorentz-transformationerna som verkar på Majorana-spinorn; komplexiseringen spelar ingen roll. En detaljerad behandling av dessa ämnen finns i Jost medan fallet $(p,q)=(1,3)$ artikuleras i Bleeker. Tyvärr artikulerar ingen av texterna uttryckligen Majorana-spinorn i direkt form.

Fältkvanta

Majorana-ekvationens kvanta tillåter två klasser av partiklar, en neutral partikel och dess neutrala antipartikel . Det ofta tillämpade tilläggsvillkoret ${\textstyle \Psi =\Psi _{c}}$ motsvarar Majorana-spinorn.

Majorana partikel

Huvudartikel: Majoranapartikel

Partiklar som motsvarar Majorana-spinorer är kända som Majorana-partiklar , på grund av ovanstående självkonjugationsbegränsning. Alla fermioner som ingår i standardmodellen har uteslutits som Majorana-fermioner (eftersom de har en elektrisk laddning som inte är noll kan de inte vara antipartiklar av sig själva) med undantag för neutrinon ( som är neutral).

Teoretiskt sett är neutrinon ett möjligt undantag från detta mönster. Om så är fallet, är neutrinolös dubbelbeta-sönderfall , såväl som en rad leptonnummerbrytande meson- och laddade leptonsönderfall , möjliga. Ett antal experiment som undersöker om neutrinon är en Majorana-partikel pågår för närvarande.

Ytterligare läsning

• " Majorana Legacy in Contemporary Physics ", Electronic Journal of Theoretical Physics (EJTP) Volym 3, nummer 10 (april 2006) Specialnummer för Ettore Majoranas hundraårsjubileum (1906-1938?) . ISSN 1729-5254
• Frank Wilczek, (2009) " Majorana returns ", Nature Physics Vol. 5 sid 614–618.