Generaliserad permutationsmatris

I matematik är en generaliserad permutationsmatris (eller monomial matris ) en matris med samma mönster som inte är noll som en permutationsmatris , dvs det finns exakt en post som inte är noll i varje rad och varje kolumn. Till skillnad från en permutationsmatris, där posten som inte är noll måste vara 1, i en generaliserad permutationsmatris kan posten som inte är noll vara vilket värde som helst som inte är noll. Ett exempel på en generaliserad permutationsmatris är

${\begin{bmatrix}0&0&3&0\\0&-7&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.$

Strukturera

En inverterbar matris A är en generaliserad permutationsmatris om och endast om den kan skrivas som en produkt av en inverterbar diagonalmatris D och en (implicit inverterbar ) permutationsmatris P : dvs.

$A=DP.$

Gruppstruktur

Mängden n × n generaliserade permutationsmatriser med poster i ett fält F bildar en undergrupp av den allmänna linjära gruppen GL ( n , F ) , där gruppen av icke-singulära diagonala matriser Δ( n , F ) bildar en normal undergrupp . Faktum är att de generaliserade permutationsmatriserna är normaliseraren av de diagonala matriserna, vilket betyder att de generaliserade permutationsmatriserna är den största undergruppen av GL( n , F ) där diagonala matriser är normala.

generaliserade permutationsmatriser är kransprodukten av F ^× och Sn _. Konkret betyder detta att det är den halvdirekta produkten av Δ( n , F ) av den symmetriska gruppen S _n :

Sn ⋉ Δ( n _, F ) ,

där Sn verkar genom att permutera koordinater och de diagonala matriserna Δ( n , F ) är isomorfa till den n -faldiga produkten ₍ F ^× ) ⁿ .

För att vara exakt är de generaliserade permutationsmatriserna en (trogen) linjär representation av denna abstrakta kransprodukt: ett förverkligande av den abstrakta gruppen som en undergrupp av matriser.

Undergrupper

• Undergruppen där alla poster är 1 är exakt permutationsmatriserna , som är isomorfa till den symmetriska gruppen.
• Undergruppen där alla poster är ±1 är de förtecknade permutationsmatriserna , som är den hyperoktaedriska gruppen .
• Undergruppen där posterna är m: te rötter av enhet $\mu _{m}$ är isomorf till en generaliserad symmetrisk grupp .
• Undergruppen av diagonala matriser är abelisk , normal och en maximal abelisk undergrupp. Kvotgruppen är den symmetriska gruppen, och denna konstruktion är i själva verket Weyl-gruppen för den allmänna linjära gruppen : de diagonala matriserna är en maximal torus i den allmänna linjära gruppen (och är deras egen centralisator ), de generaliserade permutationsmatriserna är normalisatorn av denna torus, och kvoten, $N(T)/Z(T)=N(T)/T\cong S_{ n}$ är Weyl-gruppen.

Egenskaper

• Om en icke-singular matris och dess invers båda är icke-negativa matriser (dvs matriser med icke-negativa poster), då är matrisen en generaliserad permutationsmatris.
• Determinanten för en generaliserad permutationsmatris ges av
  $$\det(G)=\det(P)\cdot \det(D )=\operatörsnamn {sgn} (\pi )\cdot d_{11}\cdot \ldots \cdot d_{nn},$$
  där $\operatorname {sgn} (\pi )$ är tecknet på permutationen $\pi$ associerad med $P$ och ${ \displaystyle d_{11},\ldots ,d_{nn}}$ är de diagonala elementen i $D$ .

Generaliseringar

Man kan generalisera ytterligare genom att låta posterna ligga i en ring snarare än i ett fält. I det fallet om de icke-nollposter som krävs för att vara enheter i ringen, får man återigen en grupp. Å andra sidan, om posterna som inte är noll bara måste vara icke-noll, men inte nödvändigtvis inverterbara, bildar denna uppsättning matriser istället en semigrupp .

Man kan också schematiskt tillåta posterna som inte är noll att ligga i en grupp G, med den förståelsen att matrismultiplikation endast kommer att innebära att multiplicera ett enda par av gruppelement, inte att "lägga till" gruppelement. Detta är ett missbruk av notation , eftersom element i matriser som multipliceras måste tillåta multiplikation och addition, men är en suggestiv föreställning för den (formellt korrekta) abstrakta gruppen $G\wr S_{n}$ (kransprodukten av gruppen G av den symmetriska gruppen).

Signerad permutationsgrupp

Ytterligare information: Hyperoktaedrisk grupp

En signerad permutationsmatris är en generaliserad permutationsmatris vars poster som inte är noll är ±1 och är de heltalsgeneraliserade permutationsmatriserna med heltalsinvers.

Egenskaper

• Det är Coxeter-gruppen $B_{n}$ , och har ordningen $2^{n}n!$ .
• Det är symmetrigruppen för hyperkuben och (dubbelt) av korspolytopen .
• Dess index 2-undergrupp av matriser med determinant lika med deras underliggande (osignerade) permutation är Coxeter-gruppen $D_{n}$ och är symmetrigruppen för demihyperkuben .
• Det är en undergrupp till den ortogonala gruppen .

Ansökningar

Monomiska representationer

Huvudartikel: Monomial representation

Monomialmatriser förekommer i representationsteorin i samband med monomialrepresentationer . En monomial representation av en grupp G är en linjär representation ρ : G → GL( n , F ) av G (här är F det definierande fältet för representationen) så att bilden ρ ( G ) är en undergrupp av gruppen av monomialer. matriser.

•    Joyner, David (2008). Äventyr i gruppteori. Rubiks kub, Merlins maskin och andra matematiska leksaker (andra uppdaterade och reviderade upplagan). Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-9012-3 . Zbl 1221.00013 .