Fierz identitet

Inom teoretisk fysik är en Fierz-identitet en identitet som gör att man kan skriva om bilinjärer av produkten av två spinorer som en linjär kombination av produkter av de individuella spinorernas bilinjärer. Den är uppkallad efter den schweiziske fysikern Markus Fierz . Fierz-identiteterna kallas också ibland för Fierz-Pauli-Kofink-identiteter , eftersom Pauli och Kofink beskrev en allmän mekanism för att producera sådana identiteter.

Det finns en version av Fierz-identiteterna för Dirac-spinorer och det finns en annan version för Weyl-spinorer . Och det finns versioner för andra dimensioner än 3+1 dimensioner. Spinor bilinjära i godtyckliga dimensioner är element i en Clifford-algebra ; Fierz-identiteterna kan erhållas genom att uttrycka Clifford-algebra som en kvot av den yttre algebra .

När man arbetar i 4 rumtidsdimensioner kan bivectorn $\psi {\bar {\chi }}$ brytas upp i termer av Dirac-matriserna som spänner över rymden:

$\psi {\bar {\chi } }={\frac {1}{4}}(c_{S}\mathbb {1} +c_{V}^{\mu }\gamma _{\mu }+c_{T}^{\mu \nu }T_{\mu \nu }+c_{A}^{\mu }\gamma _{\mu }\gamma _{5}+c_{P}\gamma _{5})$ .

Koefficienterna är

$c_{S}=({\bar {\chi }}\psi ),\quad c_{V}^{\mu }=({\bar {\ chi }}\gamma ^{\mu }\psi ),\quad c_{T}^{\mu \nu }=-({\bar {\chi }}T^{\mu \nu}\psi ), \quad c_{A}^{\mu }=-({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu}\gamma _{5}\psi ),\quad c_{P}=({\bar {\chi }}\gamma _{5}\psi )$

och bestäms vanligtvis genom att använda ortogonaliteten hos basen under spårningsoperationen . Genom att lägga ovanstående sönderdelning mellan de önskade gammastrukturerna kan identiteterna för sammandragningen av två Dirac bilinjärer av samma typ skrivas med koefficienter enligt följande tabell.

Produkt	S	V	T	A	P
S × S =	1/4	1/4	−1/4	−1/4	1/4
V × V =	1	−1/2	0	−1/2	−1
T × T =	−3/2	0	−1/2	0	−3/2
A × A =	−1	−1/2	0	−1/2	1
P × P =	1/4	−1/4	−1/4	1/4	1/4

var

$S={\bar {\chi }}\psi ,\quad V={\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi ,\quad T={\bar {\chi}} [\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu}]\psi /2{\sqrt {2}},\quad A={\bar {\chi }}\gamma _{5}\gamma ^ {\mu }\psi ,\quad P={\bar {\chi }}\gamma _{5}\psi .$

Tabellen är symmetrisk med avseende på reflektion över det centrala elementet. Tecknen i tabellen motsvarar fallet med pendlande spinorer , annars, som är fallet med fermioner i fysiken, ändrar alla koefficienter tecken .

Till exempel, under antagandet av pendlande spinorer, kan V × V-produkten utökas som,

$\left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu}\psi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu}\chi \right)= \left({\bar {\chi }}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\psi \right)-{\frac {1}{2}}\left({\bar { \chi }}\gamma ^{\mu }\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu}\psi \right)-{\frac {1}{2}} \left({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu}\gamma _{5}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{\mu}\gamma _ {5}\psi \right)-\left({\bar {\chi}}\gamma _{5}\chi \right)\left({\bar {\psi}}\gamma _{5}\psi \right)~.$

Kombinationer av bilinjärer som motsvarar egenvektorerna för transponeringsmatrisen transformeras till samma kombinationer med egenvärden ±1. Till exempel, igen för pendlingssnurror, V×V + A×A ,

$({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi )({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\chi )+({\bar {\chi } }\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\psi )({\bar {\psi }}\gamma _{5}\gamma _{\mu}\chi )=-(~({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\chi )({\bar {\psi }}\gamma _{\mu}\psi )+({\bar {\chi }}\gamma _{5} \gamma ^{\mu }\chi )({\bar {\psi }}\gamma _{5}\gamma _{\mu}\psi )~)~.$

Förenklingar uppstår när de spinorer som betraktas är Majorana-spinorer , eller kirala fermioner, eftersom vissa termer i expansionen kan försvinna av symmetriskäl. Till exempel, för antipendlingsspinorer denna gång, följer det lätt av ovanstående att

${\bar {\chi }}_{1}\gamma ^{\mu }(1+\gamma _{5})\psi _{2}{\bar {\psi }}_{3} \gamma _{\mu }(1-\gamma _{5})\chi _{4}=-2{\bar {\chi}}_{1}(1-\gamma _{5})\chi _{4}{\bar {\psi }}_{3}(1+\gamma _{5})\psi _{2}.$

• En härledning av identiteter för att skriva om eventuell skalär sammandragning av Dirac bilinjärer kan hittas i 29.3.4 av   LB Okun (1980). Leptoner och kvarkar . Nord-Holland. ISBN 978-0-444-86924-1 .
• Se även bilaga B.1.2 i   T. Ortin (2004). Tyngdkraft och strängar . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82475-0 .
• Kennedy, AD (1981). "Clifford algebror i 2ω dimensioner". Journal of Mathematical Physics . 22 (7): 1330–7. doi : 10.1063/1.525069 .
• Pal, Palash B. (2007). "Representationsoberoende manipulationer med Dirac-spinorer". arXiv : fysik/0703214 .