Dirac algebra

Inom matematisk fysik är Dirac -algebra Clifford-algebra ${\text{Cl}}_{1,3}(\mathbb {C} )$ . Detta introducerades av den matematiska fysikern PAM Dirac 1928 när han utvecklade Dirac-ekvationen för spin-½- partiklar med en matrisrepresentation av gammamatriserna , som representerar algebrans generatorer.

Gammamatriserna är en uppsättning av fyra $4\times 4$ matriser $\{\gamma ^{\mu }\ }=\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}$ med poster i $\mathbb {C}$ , dvs. , element av ${\displaystyle {\text{Mat}}_{4\times 4}(\mathbb {C} )} ,$ tillfredsställande

$\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}+\gamma ^{\nu}\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu },$

där enligt konvention en identitetsmatris har undertryckts på höger sida. Siffrorna $\eta ^{\mu \nu }\,$ är komponenterna i Minkowski-måttet . För den här artikeln fixar vi signaturen till att vara mestadels minus , det vill säga $(+,-,-,-)$ .

Dirac-algebra är då identitetens linjära spann, gammamatriserna $\gamma ^{\mu }$ samt eventuella linjärt oberoende produkter av gammamatriserna. Detta bildar en finitdimensionell algebra över fältet $\mathbb {R}$ eller $\mathbb {C}$ , med dimension $16=2^{4}$ .

Grund för algebra

Algebra har en grund

$I_{4},$

$\gamma ^{\mu },$

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu },$

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho },$

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }=\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2} \gamma ^{3}$

där i varje uttryck, varje grekiskt index ökar när vi flyttar till höger. I synnerhet finns det inget upprepat index i uttrycken. Genom dimensionsräkning är algebrans dimension 16.

Algebra kan genereras genom att enbart ta produkter av $\gamma ^{\mu }$ : identiteten uppstår som

$I_{4}=(\gamma ^{0})^{2}$

medan de andra är explicit produkter av $\gamma ^{\mu }$ .

Baselementen är linjärt oberoende

Ett allmänt element i algebra kan skrivas $\Gamma =a+a_{\mu }\gamma ^{\mu }+{\frac {1}{2}}a_{\mu \ nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}+{\frac {1}{3!}}a_{\mu \nu \rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }+{\frac {1}{4!}}a_{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\ rho }\gamma ^{\sigma },$ med implicit summering. Komponenterna $a_{\mu _{1}\cdots \mu _{n}}$ är helt antisymmetriska. De numeriska faktorerna väljs så att efter ordning av baselementen i stigande ordning är koefficienten 1. Den lämpliga koefficienten kan samplas genom att spåra $\Gamma$ mot $\gamma ^{\mu _{1}}\cdots \gamma ^{\mu _{n}}$ , upp till en skalär faktor, med hjälp av identiteter som involverar spår av gammamatriser (se här , och antisymmetrin för a $\displaystyle a_{\mu _{1}\cdots \mu _{n }}}$ ).

Dessa element spänner över utrymmet som genereras av $\gamma ^{\mu }$ . Vi drar slutsatsen att vi verkligen har en bas för Clifford-algebra som genereras av $\gamma ^{\mu }.$

Kvadratiska potenser och Lorentz algebra

För teorin i detta avsnitt finns det många val av konventioner som finns i litteraturen, som ofta motsvarar faktorer på $\pm i$ . För tydlighetens skull kommer vi här att välja konventioner för att minimera antalet numeriska faktorer som behövs, men kan leda till att generatorer är anti-hermitiska snarare än hermitiska.

Det finns ett annat vanligt sätt att skriva det kvadratiska delrummet i Clifford-algebra:

$S^{\mu \nu }={\frac {1}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]$

med $\mu \neq \nu$ . Notera $S^{\mu \nu }=-S^{\nu \mu }$ .

Det finns ett annat sätt att skriva detta som gäller även när $\mu =\nu$ :

$S^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu}-\eta ^{\mu \nu }).$

Denna form kan användas för att visa att $S^{\mu \nu }$ bildar en representation av Lorentz algebra (med verkliga konventioner)

$[S^{\mu \nu },S^{\rho \sigma }]=S^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-S^{\nu \sigma }\ eta ^{\mu \rho }+S^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-S^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }.$

Fysiska konventioner

Det är en vanlig konvention inom fysiken att inkludera en faktor på $\pm i$ , så att hermitisk konjugation (där transponering görs med avseende på de grekiska rymdtidsindexen) ger en 'hermitisk matris' av sigmageneratorer

$\sigma ^{\mu \nu }=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu }, \gamma ^{\nu }\right],$

 

 

 

 

()

endast 6 av dessa är icke-noll på grund av antisymmetri hos parentesen, spänner över det sexdimensionella representationsutrymmet för tensorn (1, 0) ⊕ (0, 1) -representation av Lorentz -algebra inuti ${\mathcal {Cl}}_{1,3}(\mathbb {R} )$ . Dessutom har de kommuteringsrelationerna för Lie-algebra,

$_ \mu \nu },\sigma ^{\rho \tau }\right]=\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }-\eta ^{\mu \rho }\sigma ^ {\nu \tau }-\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\tau \nu }\sigma ^{\rho \mu },}$

 

 

 

 

()

och därmed utgöra en representation av Lorentz algebra (utöver att spänna över ett representationsutrymme) som sitter inuti ${\mathcal {Cl}}_{1,3}(\mathbb {R } ),$ den $\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1} {2}}\right)$ spinrepresentation.

Spin(1,3)

Den exponentiella kartan för matriser är väldefinierad. S $S^{\mu \nu }$ uppfyller Lorentz algebra och visar sig exponentiera till en representation av spingruppen ( $displaystyle {\text{Spin}}( 1,3)}$ av Lorentz-gruppen ${\text{SO}}(1,3)$ (enbart den framtidsriktade delen ${ \text{SO}}(1,3)^{+}$ kopplad till identiteten). S $\displaystyle S^{\mu \nu }}$ är då spinngeneratorerna för denna representation.

Vi betonar att $S^{\mu \nu }$ i sig är en matris, inte komponenterna i en matris. Dess komponenter som en $4\times 4$ komplex matris är märkta enligt konvention med grekiska bokstäver från början av alfabetet $\alpha ,\beta ,\cdots$ .

Åtgärden för $S^{\mu \nu }$ på en spinor ${\displaystyle \psi } ,$ som i denna inställning är ett element i vektorrymden $\mathbb {C} ^{4}$ , är

${\displaystyle \psi \mapsto S^{\mu \nu }\psi } ,$ eller i komponenter,

$\psi ^{\alpha }\mapsto (S^{\mu \nu})^{\alpha }{}_{\beta }\psi ^{\beta }.$

Detta motsvarar en oändlig Lorentz-transformation på en spinor. Då kan en finit Lorentz-transformation, parametriserad av komponenterna $\omega _{\mu \nu }$ (antisymmetrisk i ${\displaystyle \mu ,\nu } )$ uttryckas som

$S:=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\mu \nu}S^{\mu \nu }\right).$

Från fastigheten att

$(\gamma ^{\mu })^{\dolk }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu}\gamma ^{0},$

det följer att

$(S^{\mu \nu })^{\dolk }=-\gamma ^{0}S^{\mu \nu }\gamma ^{0}.$

Och $S$ enligt definitionen ovan uppfyller

$S^{\dolk }=\gamma ^{0}S^{-1}\gamma ^{0}$

Detta motiverar definitionen av Dirac-adjoint för spinorer $\psi$ , av

${\bar {\psi }}:=\psi ^{\dolk }\gamma ^{0}$ .

Motsvarande transformation för $S$ är

${\bar {S}}:=\gamma ^{0}S^{\dolk }\gamma ^{0}=S^{-1}$ .

Med detta blir det enkelt att konstruera Lorentz invarianta kvantiteter för konstruktion av Lagrangianer som Dirac Lagrangian.

Kvartisk kraft

Det kvartiga underrummet innehåller ett enda baselement,

$\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {1}{4 !}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma },$

där $\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }$ är den totalt antisymmetriska tensorn så att $\epsilon _{0123}=+1$ enligt konventionen .

Detta är antisymmetriskt under utbyte av två intilliggande gammamatriser.

γ ⁵

När man beaktar det komplexa spann kan detta grundelement alternativt anses vara

$\gamma ^{5}:=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}.$

Mer information finns här .

Som en volymform

Genom total antisymmetri hos kvartelementet kan det anses vara en volymform. I själva verket sträcker sig denna observation till en diskussion om Clifford-algebra som en generalisering av den yttre algebra : båda uppstår som kvoter av tensoralgebra, men den yttre algebra ger en mer restriktiv kvot, där alla antikommutatorerna försvinner.

Härledning utgående från Dirac och Klein–Gordons ekvation

Den definierande formen av gammaelementen kan härledas om man antar den kovarianta formen av Dirac-ekvationen :

$-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +mc\psi =0\,.$

och Klein–Gordons ekvation :

$-\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi$

att ges, och kräver att dessa ekvationer leder till konsekventa resultat.

Se även: Dirac ekvation § Diracs kupp

Härledning från konsistenskrav (bevis). Att multiplicera Dirac-ekvationen med dess konjugerade ekvation ger:

$\psi ^{\dolk }(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)(-i\hbar \gamma ^{\nu}\partial _{\nu } +mc)\psi =0\,.$

Kravet på överensstämmelse med Klein–Gordons ekvation leder omedelbart till:

$\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\ gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu}\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}$

där $\{,\}$ är antikommutatorn , $\eta ^{\mu \nu }\,$ är Minkowski-måttet med signatur (+ − − −) och $\ I_{4}\,$ är 4x4 enhetsmatrisen.

Cℓ _1,3 (ℂ) och Cℓ _1,3 (ℝ)

Dirac-algebra kan betraktas som en komplexisering av den reala rumtidsalgebra Cℓ _1,3 ( ${\displaystyle \mathbb {R} } )$ :

$\mathrm {C\ell } _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {C\ell} _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C } .$

Cℓ _1,3 ( $\mathbb {R}$ ) skiljer sig från Cℓ _1,3 ( $\mathbb {C}$ ) : i Cℓ _{1,3 (} $\mathbb {R}$ ) endast riktiga linjära kombinationer av gammamatriserna och deras produkter är tillåtna.

Förespråkare av geometrisk algebra strävar efter att arbeta med riktiga algebror där det är möjligt. De hävdar att det i allmänhet är möjligt (och vanligtvis upplysande) att identifiera närvaron av en imaginär enhet i en fysisk ekvation. Sådana enheter härrör från en av de många storheterna i en verklig Clifford-algebra som kvadrerar till −1, och dessa har geometrisk betydelse på grund av algebrans egenskaper och interaktionen mellan dess olika delrum. Vissa av dessa förespråkare ifrågasätter också om det är nödvändigt eller till och med användbart att införa ytterligare en imaginär enhet i samband med Dirac-ekvationen.

I matematiken för Riemannsk geometri är det konventionellt att definiera Clifford-algebra Cℓ _p,q ( $\mathbb {R}$ ) för godtyckliga dimensioner p,q ; anti-kommuteringen av Weyl-spinorerna kommer naturligt från Clifford-algebra. Weyl-spinorerna transformeras under verkan av spinngruppen ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)$ . Spinngruppens komplexisering, kallad spincgruppen $displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)} ,$$\mathrm {Snurr} (n)\ gånger _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}$ en produkt av spinngruppen med cirkeln $S^{1}\cong U(1)$$(a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\ gånger S^{1}$ produkten $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ bara en notationsenhet för att identifiera med $(-a,-u).$ Den geometriska poängen med detta är att den lösgör den verkliga spinorn, som är samvariant under Lorentz-transformationer, från U $\displaystyle U(1)}-$ komponenten, som kan identifieras med ${\displaystyle U(1)}-$ fibern för den elektromagnetiska interaktionen. × $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ intrasslar paritet och laddningskonjugering på ett sätt som lämpligt för att relatera Dirac-partikel/anti-partikeltillstånden (motsvarande de kirala tillstånden i Weyl basis). Bispinorn , kan interagera med det elektromagnetiska fältet. Detta i motsats till Majorana-spinorn och ELKO-spinorn, som inte kan ( dvs. de är elektriskt neutrala), eftersom de uttryckligen begränsar spinorn så att de inte interagerar med $S^{1}$ -delen som kommer från komplexiseringen.

I den mån presentationen av laddning och paritet kan vara ett förvirrande ämne i konventionella kvantfältteoretiska läroböcker, kan den mer noggranna dissektionen av dessa ämnen i en allmän geometrisk miljö vara belysande. Standardutställningar av Clifford-algebra konstruerar Weyl-spinorerna från första principer; att de "automatiskt" anti-pendling är en elegant geometrisk biprodukt av konstruktionen, som helt förbigår alla argument som tilltalar Pauli- uteslutningsprincipen (eller den ibland vanliga känslan att Grassmann-variabler har introducerats via ad hoc -argumentation.)

I samtida fysikövningar fortsätter Dirac-algebra att vara standardmiljön som spinorerna i Dirac-ekvationen "lever" i, snarare än rumtidsalgebra.

Se även

• Högdimensionella gammamatriser
• Fierz identitet

  Weinberg, Steven (2005) [2000]. "5 kvantfält och antipartiklar §5.4 Dirac-formuleringen" . The Quantum Theory of Fields: Volym 1, Grunder . Vol. 1. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-67053-1 .