Diagonal matris

I linjär algebra är en diagonal matris en matris där posterna utanför huvuddiagonalen alla är noll; termen syftar vanligtvis på kvadratiska matriser . Element i huvuddiagonalen kan antingen vara noll eller icke-noll. Ett exempel på en 2×2 diagonal matris är ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]} , medan ett exempel$ på en 3×3 diagonal matrisen är $\left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{smallmatrix}}\right]$ . En identitetsmatris av valfri storlek, eller vilken som helst multipel av den (en skalär matris ), är en diagonal matris.

En diagonal matris kallas ibland en skalningsmatris , eftersom matrismultiplikation med den resulterar i att skalan (storleken) ändras. Dess determinant är produkten av dess diagonala värden.

Definition

Som nämnts ovan är en diagonal matris en matris där alla off-diagonala poster är noll. Dvs matrisen D = ( d _{i , j} ) med n kolumner och n rader är diagonal om

$$\forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i \neq j\implicerar d_{i,j}=0.$$

De huvudsakliga diagonala posterna är dock obegränsade.

Termen diagonal matris kan ibland hänvisa till en rektangulär diagonal matris , som är en m -by- n matris där alla poster inte har formen _{di i är} , noll. Till exempel:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}} eller [ 1 4 − 3$ ] ${ bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}}$

Men oftare hänvisar diagonal matris till kvadratiska matriser, som uttryckligen kan specificeras som en kvadratisk diagonal matris . En kvadratisk diagonal matris är en symmetrisk matris , så denna kan också kallas en symmetrisk diagonal matris .

Följande matris är en kvadratisk diagonal matris:

$${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}$$

Om posterna är reella tal eller komplexa tal är det också en normal matris .

I resten av den här artikeln kommer vi endast att betrakta kvadratiska diagonala matriser och hänvisa till dem helt enkelt som "diagonala matriser".

Vektor-till-matris diag-operator

En diagonal matris $D$ kan konstrueras från en vektor $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n }\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ med operatorn ${\displaystyle \operatorname {diag} } :$

$$D=\operatörsnamn {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$$

Detta kan skrivas mer kompakt som $D=\operatörsnamn {diag} (\mathbf {a} )$ .

Samma operator används också för att representera blockdiagonala matriser som $A=\operatorname {diag} (A_{1},\dots ,A_{n})$ där varje argument $A_{i}$ är en matris.

Operatorn $\operatorname {diag}$ kan skrivas som:

$$\operatorname {diag} (\mathbf {a} )=\left(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{\textsf {T}} \right)\circ I$$

där $\circ$ representerar Hadamard-produkten och $\mathbf {1}$ är en konstant vektor med element 1.

Matrix-till-vektor diag-operator

invers matris-till-vektor $\displaystyle \operatorname {diag} }$ betecknas ibland med den identiskt namngivna ${\displaystyle \operatorname {diag} (D) ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}} där argumentet nu är en matris och resultatet är en vektor$ av dess diagonala poster .

Följande egendom rymmer:

$$\operatorname {diag} (AB)=\summa _{j}\left(A\circ B^{\textsf {T}} \right)_{ij}$$

Skalär matris

En diagonal matris med lika diagonala poster är en skalär matris ; det vill säga en skalär multipel λ av identitetsmatrisen I. Dess effekt på en vektor är skalär multiplikation med λ . Till exempel har en 3×3 skalär matris formen:

$${\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_ {3}$$

De skalära matriserna är centrum för matrisernas algebra: det vill säga de är just de matriser som pendlar med alla andra kvadratiska matriser av samma storlek. Däremot, över ett fält (som de reella talen), pendlar en diagonal matris med alla diagonala element distinkta endast med diagonala matriser (dess centraliserare är uppsättningen diagonala matriser). Det beror på att om en diagonal matris $D=\operatörsnamn {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ har $a_{i}\neq a_{j},$ sedan ges en matris $M$ med $m_{ij}\neq 0,$ den $(i,j)$ termer för produkterna är: $(DM)_{ij}=a_{i}m_{ij}$ och $(MD)_{ij}=m_{ij}a_{j},$ och $a_{ j}m_{ij}\neq m_{ij}a_{i}$ (eftersom man kan dividera med $m_{ij}$ ), så de pendlar inte om inte de off-diagonala termerna är noll. Diagonala matriser där de diagonala posterna inte alla är lika eller alla distinkta har centraliserare mellan hela utrymmet och endast diagonala matriser.

För ett abstrakt vektorrum V (snarare än det konkreta vektorrummet $K^{n}$ ), är analogen av skalära matriser skalära transformationer . Detta gäller mer generellt för en modul M över en ring R , där endomorfismalgebra End( M ) (algebra av linjära operatorer på M ) ersätter matrisalgebra. Formellt är skalär multiplikation en linjär karta, som inducerar en karta ${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M),} ($ från en skalär λ till dess motsvarande skalära transformation, multiplikation med λ ) som visar End( M ) som en R - algebra . För vektorrum är skalära transformer exakt centrum för endomorfismalgebra, och på liknande sätt är inverterbara transformer centrum för den allmänna linjära gruppen GL( V ). Det förra är mer allmänt sant fria moduler ${\displaystyle M\cong R^{n}} ,$ för vilka endomorfismalgebra är isomorf till en matrisalgebra.

Vektoroperationer

Att multiplicera en vektor med en diagonal matris multiplicerar var och en av termerna med motsvarande diagonalpost. Givet en diagonal matris $D=\operatörsnamn {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ och en vektor ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}} , produkten$ är :

$$D\mathbf {v} =\operatörsnamn {diag} (a_{1},\dots,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\ end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_ {n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.$$

Detta kan uttryckas mer kompakt genom att använda en vektor istället för en diagonal matris, $\mathbf {d} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{ n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ , och med Hadamard-produkten av vektorerna (ingångsprodukt), betecknad $\mathbf {d} \circ \mathbf {v}$ :

$$D\mathbf {v} =\mathbf {d} \circ \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\ circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{ n}x_{n}\end{bmatrix}}.$$

Detta är matematiskt ekvivalent, men undviker att lagra alla nolltermer i denna glesa matris . Den här produkten används alltså i maskininlärning , såsom att beräkna produkter av derivat i backpropagation eller multiplicera IDF-vikter i TF-IDF , eftersom vissa BLAS- ramverk, som multiplicerar matriser effektivt, inte inkluderar Hadamard-produktkapacitet direkt.

Matrisoperationer

Operationerna för matrisaddition och matrismultiplikation är särskilt enkla för diagonala matriser. Skriv diag( a ₁ , ..., a _n ) för en diagonal matris vars diagonala poster som börjar i det övre vänstra hörnet är a ₁ , ..., a _n . Sedan har vi som tillägg

diag( a ₁ , ..., a _n ) + diag( b ₁ , ..., b _n ) = diag( a ₁ + b ₁ , ..., a _n + b _n )

och för matrismultiplikation ,

diag( a ₁ , ..., a _n ) diag( b ₁ , ..., b _n ) = diag( a ₁ b ₁ , ..., a _n b _n ) .

Den diagonala matrisen diag( a ₁ , ..., a _n ) är inverterbar om och endast om posterna a ₁ , ..., a _n alla är icke-noll. I det här fallet har vi

diag( a ₁ , ..., a _n ) ⁻¹ = diag( a ₁ ⁻¹ , ..., a _n ⁻¹ ) .

Speciellt bildar de diagonala matriserna en subring av ringen av alla n -by- n matriser.

Att multiplicera en n -med- n matris A från vänster med diag( a ₁ , ..., a _n ) motsvarar att multiplicera den i :te raden i A med a _i för alla i ; att multiplicera matrisen A från höger med diag( a ₁ , ..., a _n ) motsvarar att multiplicera den i -te kolumnen i A med a _i för alla i .

Operatörsmatris i egenbas

Huvudartiklar: Transformationsmatris § Hitta matrisen för en transformation , och egenvärden och egenvektorer

Som förklarats vid bestämning av koefficienter för operatormatris finns det en speciell grund, e ₁ , ..., e _n , för vilken matrisen $A$ tar diagonalformen. Därför, i den definierande ekvationen ${\textstyle A\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _ {i}}$ , alla koefficienter $a_{i,j}$ med i ≠ j är noll, vilket bara lämnar en term per summa. De överlevande diagonala elementen, $a_{i,i}$ , är kända som egenvärden och betecknas med $\lambda _{i}$ i ekvationen, vilket reduceras till $A\mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}$ . Den resulterande ekvationen är känd som egenvärdesekvation och används för att härleda det karakteristiska polynomet och, vidare, egenvärden och egenvektorer .

Med andra ord är egenvärdena för diag( λ ₁ , ..., λ _n ) λ ₁ , ..., λ _n med tillhörande egenvektorer av e ₁ , ..., e _n .

Egenskaper

• Determinanten för diag( a ₁ , ..., n ₎ är a produkten a ₁ ⋯ a _n .
• Adjugatet av en diagonal matris är återigen diagonal .
• Där alla matriser är kvadratiska,
  • En matris är diagonal om och bara om den är triangulär och normal .
  • En matris är diagonal om och bara om den är både övre och nedre triangulär .
  • En diagonal matris är symmetrisk .
• Identitetsmatrisen I _n och nollmatrisen är diagonala .
• En 1×1 matris är alltid diagonal.

Ansökningar

Diagonala matriser förekommer i många områden av linjär algebra. På grund av den enkla beskrivningen av matrisoperationen och egenvärden/egenvektorer som ges ovan är det typiskt önskvärt att representera en given matris eller linjär karta med en diagonal matris.

Faktum är att en given n -by- n matris A liknar en diagonal matris (vilket betyder att det finns en matris X så att X ⁻¹ AX är diagonal) om och bara om den har n linjärt oberoende egenvektorer. Sådana matriser sägs vara diagonaliserbara .

När det gäller reella eller komplexa tal är mer sant. Spektralsatsen säger att varje normalmatris är enhetligt lik en diagonal matris (om AA ^∗ = A ^∗ A så finns det en enhetlig matris U så att UAU ^∗ är diagonal). Dessutom singularvärdesuppdelningen att det för vilken matris A som helst finns enhetliga matriser U och V så att U ^∗ AV är diagonal med positiva poster.

Operatörsteori

I operatörsteorin , särskilt studiet av PDE:er , är operatörer särskilt lätta att förstå och PDE:er lätta att lösa om operatören är diagonal med avseende på grunden som man arbetar med; detta motsvarar en separerbar partiell differentialekvation . Därför är en nyckelteknik för att förstå operatorer en förändring av koordinater – på operatorernas språk, en integrerad transformation – som ändrar basen till en egenbas av egenfunktioner : vilket gör ekvationen separerbar. Ett viktigt exempel på detta är Fourier-transformen , som diagonaliserar konstantkoefficientdifferentieringsoperatorer (eller mer allmänt translationsinvarianta operatorer), såsom den Laplacian-operatorn, säg, i värmeekvationen .

Speciellt lätta är multiplikationsoperatorer , som definieras som multiplikation med (värdena av) en fast funktion – funktionens värden vid varje punkt motsvarar de diagonala ingångarna i en matris.

Se även

• Antidiagonal matris
• Bandad matris
• Bidiagonal matris
• Diagonalt dominant matris
• Diagonaliserbar matris
• Jordan normal form
• Multiplikationsoperator
• Tridiagonal matris
• Toeplitz matris
• Toral Lie algebra
• Cirkulerande matris

Källor

•   Horn, Roger Alan ; Johnson, Charles Royal (1985), Matrix Analysis , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6