Alternativ matris

Ej att förväxla med alternerande teckenmatris .

I linjär algebra är en alternerande matris en matris som bildas genom att applicera en finit lista med funktioner punktvis på en fast kolumn av indata. En alternant determinant är determinanten för en kvadratisk alternant matris.

I allmänhet, om $f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}$ är funktioner från en uppsättning $X$ till ett fält ${ \displaystyle F}$ , och ${\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}}\in X$ , då har den alternativa matrisen storleken $m\times n$ och definieras av

$M={\begin{bmatrix}f_{1}( \alpha _{1})&f_{2}(\alpha _{1})&\cdots &f_{n}(\alpha _{1})\\f_{1}(\alpha _{2})&f_{ 2}(\alpha _{2})&\cdots &f_{n}(\alpha _{2})\\f_{1}(\alpha _{3})&f_{2}(\alpha _{3} )&\cdots &f_{n}(\alpha _{3})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(\alpha _{m})&f_{2}(\alpha _{m})&\cdots &f_{n}(\alpha _{m})\\\end{bmatrix}}$

eller, mer kompakt, $M_{ij}=f_{j}(\alpha _{i})$ . (Vissa författare använder transponeringen av ovanstående matris.) Exempel på alternativa matriser inkluderar Vandermonde-matriser , för vilka $f_{j}(\alpha )=\alpha ^{j- 1}$ , och Moore-matriser , för vilka $f_{j}(\alpha )=\alpha ^{q^{j-1}}$ .

Egenskaper

• Alternativet kan användas för att kontrollera det linjära oberoendet av funktionerna $f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}$ i funktionsutrymmet . Låt till exempel $f_{1}(x)=\sin(x)$ , $f_{2 }(x)=\cos(x)$ och välj $\alpha _{1}=0,\alpha _{2}=\pi /2$ . Då är alternanten matrisen $\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right]$ och den alternativa determinanten är $-1\ neq 0$ . Därför är M inverterbar och vektorerna $\{\sin(x),\cos(x)\}$ utgör en bas för deras spännmängd: i synnerhet, $\sin(x)$ och $\cos(x)$ är linjärt oberoende.

• Linjärt beroende av kolumnerna i en alternant innebär inte att funktionerna är linjärt beroende i funktionsutrymmet. Låt till exempel ${\displaystyle f_{1}(x)=\sin(x)} ,$ f $\displaystyle f_{2}=\ cos(x)}$ och välj $\alpha _{1}=0,\alpha _{2}=\pi$ . Då är alternanten $\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\0&-1\end{smallmatrix}}\right]$ och den alternativa determinanten är 0, men vi har redan sett att $\sin(x)$ och $\cos(x)$ är linjärt oberoende.

• Trots detta kan alternanten användas för att hitta ett linjärt beroende om det redan är känt att ett sådant existerar. Till exempel vet vi från teorin om partialbråk att det finns reella tal A och B för vilka ${\frac {A }{x+1}}+{\frac {B}{x+2}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)}}$ . Att välja $f_{1}(x)={\frac {1}{x+1}}$ , $f_ {2}(x)={\frac {1}{x+2}}$ , $f_{3}(x)={ \frac {1}{(x+1)(x+2)}}$ och $(\alpha _{1},\ alpha _{2},\alpha _{3})=(1,2,3)$ , vi får alternanten ${\begin{bmatrix}1/2&1/3&1/6\\1/3&1/4&1/12\\1/4&1/5&1/20\end {bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&-1\\0&0&0\end{bmatrix}}$ . Därför $(1,-1,-1)$ i matrisens nollutrymme : det vill säga $f_{1 }-f_{2}-f_{3}=0$ . Att flytta $f_{3}$ till andra sidan av ekvationen ger den partiella bråkdelens sönderdelning $A=1,B=-1$ .

• Om $n=m$ och $\alpha _{i}=\alpha _{j}$ för någon $i\neq j$ , då alternativ determinant är noll (eftersom en rad upprepas).

• Om $n=m$ och funktionerna $f_{j}(x)$ alla är polynom, då $(\alpha _{ j}-\alpha _{i})$ delar den alternativa determinanten för alla $1\leq i<j\leq n$ . I synnerhet, om V är en Vandermonde-matris , då ${\textstyle \prod _{i<j}(\alpha _{j}-\alpha _{i} )=\det V}$ delar sådana polynomalternerande determinanter. Förhållandet $}{\det V}}}$$,\ alpha _{m}}$ är därför ett polynom i kallas bialternanten . Schur -polynomet $s_{(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$ definieras klassiskt som bialternanten av polynomen $f_{j}(x)=x^{\lambda _{j}}$ .

Ansökningar

• Alternativa matriser används i kodningsteori vid konstruktionen av alternativa koder .

Se även

• Lista över matriser
• Wronskian

• Thomas Muir (1960). En avhandling om teorin om determinanter . Dover Publikationer . s. 321-363 .
• AC Aitken (1956). Determinanter och matriser . Oliver och Boyd Ltd. s. 111–123.
• Richard P. Stanley (1999). Enumerativ kombinatorik . Cambridge University Press . s. 334 –342.