Komplex Hadamard-matris

En komplex Hadamard-matris är vilken som helst komplex $N\times N$ -matris $H$ som uppfyller två villkor:

• unimodularity (modulen för varje post är enhet): $|H_{jk}|=1{\quad {\rm {for\quad }}}j,k=1,2,\dots ,N$
• ortogonalitet : $HH^{\dolk }=NI$ ,

där ${\dolk }$ betecknar den hermitiska transponeringen av $H$ och $I$ är identitetsmatrisen. Konceptet är en generalisering av Hadamard-matrisen . Observera att vilken komplex Hadamard-matris ${\displaystyle H} som helst$ kan göras till en enhetlig matris genom att multiplicera den med ${\frac {1}{\sqrt {N}}}$ ; omvänt blir varje enhetlig matris vars poster alla har modul ${\frac {1}{\sqrt {N}}}$ en komplex Hadamard vid multiplikation med ${\sqrt {N}}$ .

Komplexa Hadamard-matriser uppstår i studiet av operatoralgebror och teorin om kvantberäkning . Verkliga Hadamard-matriser och Butson-typ Hadamard-matriser bildar särskilda fall av komplexa Hadamard-matriser.

Komplexa Hadamard-matriser finns för alla naturliga $N$ (jämför det verkliga fallet, där existensen inte är känd för varje $N$ ). Till exempel Fourier-matriserna (det komplexa konjugatet av DFT-matriserna utan normaliserande faktor),

$[F_{N}] _{jk}:=\exp[2\pi i(j-1)(k-1)/N]{\quad {\rm {for\quad }}}j,k=1,2,\dots, N$

tillhör denna klass.

Likvärdighet

Två komplexa Hadamard-matriser kallas ekvivalenta, skrivna $H_{1}\simeq H_{2}$ , om det finns diagonala enhetsmatriser $D_{1},D_{ 2}$ och permutationsmatriser $P_{1},P_{2}$ så att

$H_{1}=D_{1}P_{1}H_{2}P_{2}D_{2}.$

Varje komplex Hadamard-matris är ekvivalent med en fasad Hadamard-matris, där alla element i den första raden och första kolumnen är lika med enhet.

För $N=2,3$ och $5$ är alla komplexa Hadamard-matriser ekvivalenta med Fourier-matrisen $F_{N}$ . För $N=4$ finns det en kontinuerlig, enparameterfamilj av olikvärdiga komplexa Hadamard-matriser,

$F_{4}^{(1)}(a):={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&ie^{ia}&-1&-ie^{ia}\\1&-1&1&-1\\ 1&-ie^{ia}&-1&ie^{ia}\end{bmatrix}}{\quad {\rm {med\quad }}}a\in [0,\pi ).$

För $N=6$ är följande familjer av komplexa Hadamard-matriser kända:

• en enda tvåparametersfamilj som inkluderar $F_{6}$ ,
• en enda enparameterfamilj $D_{6}(t)$ ,
• en enparameters bana $B_{6}(\theta )$ , inklusive den cirkulerande Hadamard-matrisen $C_{6}$ ,
• en bana med två parametrar inklusive de två föregående exemplen $X_{6}(\alpha )$ ,
• en enparameters omlopp $M_{6}(x)$ av symmetriska matriser,
• en bana med två parametrar inklusive föregående exempel $K_{6}(x,y)$ ,
• en omloppsbana med tre parametrar inklusive alla tidigare exempel $K_{6}(x,y,z)$ ,
• en ytterligare konstruktion med fyra frihetsgrader, $G_{6}$ , som ger andra exempel än $K_{6}(x,y,z)$ ,
• en enda punkt - en av Hadamard-matriserna av Butson-typ, $S_{6}\in H(3,6)$ .

Det är dock inte känt om denna lista är komplett, men det antas att $K_{6}(x,y,z),G_{ 6},S_{6}$ är en uttömmande (men inte nödvändigtvis irredundant) lista över alla komplexa Hadamard-matriser av ordning 6.

• U. Haagerup, Ortogonal maximal abelisk *-subalgebra av n×n-matriserna och cykliska n-rötterna, Operator Algebras and Quantum Field Theory (Rom), 1996 (Cambridge, MA: International Press) s 296–322.
• P. Dita, Några resultat om parametrisering av komplexa Hadamard-matriser, J. Phys. A: Matematik. Gen. 37, 5355-5374 (2004).
• F. Szollosi, En tvåparametrisk familj av komplexa Hadamard-matriser av ordning 6 inducerade av hypocykloider, preprint, arXiv:0811.3930v2 [math.OA]
• W. Tadej och K. Życzkowski , En kortfattad guide till komplexa Hadamard-matriser öppna system och information. Dyn. 13 133-177 (2006)

externa länkar

• För en explicit lista över kända $N=6$ komplexa Hadamard-matriser och flera exempel på Hadamard-matriser av storlek 7-16, se Katalog över komplexa Hadamard-matriser