Seifert yta

En Seifert-yta avgränsad av en uppsättning borromeiska ringar .

Inom matematiken är en Seifert-yta (uppkallad efter den tyske matematikern Herbert Seifert ) en orienterbar yta vars gräns är en given knut eller länk .

Sådana ytor kan användas för att studera egenskaperna hos den tillhörande knuten eller länken. Till exempel är många knutinvarianter enklast att beräkna med hjälp av en Seifert-yta. Seifertytor är också intressanta i sig och föremål för omfattande forskning.

Specifikt, låt L vara en tam orienterad knut eller länk i euklidiskt 3-rum (eller i 3-sfären) . En Seifert-yta är en kompakt , ansluten , orienterad yta S inbäddad i 3-utrymme vars gräns är L så att orienteringen på L bara är den inducerade orienteringen från S.

Observera att varje kompakt, sammankopplad, orienterad yta med icke-tom gräns i det euklidiska 3-utrymmet är Seifert-ytan associerad med dess gränslänk. En enda knut eller länk kan ha många olika olikvärdiga Seifert-ytor. En Seifert-yta måste vara orienterad . Det är också möjligt att associera ytor till knutar som inte är orienterade eller orienterbara.

Exempel

En Seifert-yta för Hopf-länken . Detta är en annulus, inte en Möbius-remsa. Den har två halvvridningar och är därmed orienterbar.

Standard Möbius-remsan har oknuten för en gräns men är inte en Seifert-yta för den oknutna eftersom den inte är orienterbar.

trefoilknutens vanliga minimala korsande projektion ger en Mobius-remsa med tre halva vridningar. Som med föregående exempel är detta inte en Seifert-yta eftersom den inte är orienterbar. Att tillämpa Seiferts algoritm på detta diagram, som förväntat, ger en Seifert-yta; i detta fall är det en punkterad torus av släktet g = 1, och Seifert-matrisen är

$V={\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}.$

Existens och Seifert-matris

Det är ett teorem att varje länk alltid har en tillhörande Seifert-yta. Denna sats publicerades först av Frankl och Pontryagin 1930. Ett annat bevis publicerades 1934 av Herbert Seifert och bygger på vad som nu kallas Seifert-algoritmen. Algoritmen producerar en Seifert-yta ${\displaystyle S} , givet en projektion$ av knuten eller länken i fråga.

Anta att länken har m komponenter ( m = 1 för en knut), diagrammet har d korsningspunkter och att lösa korsningarna (bevara knutens orientering) ger f cirklar. Sedan är ytan $S$ konstruerad av f disjunkta skivor genom att fästa d band. Homologigruppen $H_{1}(S)$ är fri abelsk på 2 g generatorer, där

$g={\frac {1}{2}}(2+dfm)$

är släktet till $S$ . Skärningsformen Q på $H_{1}(S)$ är skevsymmetrisk , och det finns en bas av 2 g cykler $a_ {1},a_{2},\ldots ,a_{2g}}$ , med $Q=(Q(a_{i},a_{j}))$ lika med en direkt summa av g -kopiorna av matrisen

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

2 g × 2 g heltals Seifert-matrisen

$V=(v(i,j))$

har $v(i,j)$ det länkande numret i euklidiskt 3-rum (eller i 3-sfären ) för a _i och "pushoff" för ett _j i positiv riktning till $S$ . Närmare bestämt, med tanke på att Seifert-ytor är tvåkragade, vilket betyder att vi kan utöka inbäddningen av $S$ till en inbäddning av $S\times [-1,1]$ , givet någon representativ loop $x$ som är homologigenerator i det inre av $S$ , är den positiva pushouten $x\times \{1\}$ och den negativa pushouten är $x\times \{-1\}$ .

Med detta har vi

$VV^{*}=Q,$

där V ^∗ = ( v ( j , i )) transponeringsmatrisen. Varje heltal 2 g × 2 g matris $V$ med $VV^{*}=Q$ uppstår som Seifert-matrisen för en knut med släktet g Seifert-yta.

Alexanderpolynomet beräknas från Seifert-matrisen av ${\displaystyle A(t)=\det \left(V-tV^{*}\right),$ } som är ett polynom med grad som högst 2 g i det obestämda $t.$ Alexanderpolynomet är oberoende av valet av Seifertyta $S,$ och är en invariant av knuten eller länken.

Signaturen för en knut är signaturen för den symmetriska Seifert- $V+V^{\mathrm {T} }.$ Det är återigen en invariant av knuten eller länken.

Släkte av en knut

Seifert-ytor är inte alls unika: en Seifert-yta S av släktet g och Seifert-matris V kan modifieras genom en topologisk kirurgi , vilket resulterar i en Seifert-yta S ′ av släktet g + 1 och Seifert-matrisen

$V'=V\oplus {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

Släktet för en knut K är knutinvarianten som definieras av det minimala släktet g av en Seifert-yta för K .

Till exempel:

• En oknut - som per definition är gränsen för en skiva - har släktet noll. Dessutom är oknuten den enda knuten med släktet noll.
• Trefoil -knuten har släkte 1, liksom åtta-siffran .
• Släktet för en ( p , q )- torusknut är ( p − 1)( q − 1)/2
• Graden av en knuts Alexanderpolynom är en nedre gräns för två gånger dess släkte.

En grundläggande egenskap hos släktet är att det är additivt med avseende på knutsumman :

$g(K_{1}\mathbin {\#} K_{2})=g(K_{1})+g (K_{2})$

Generellt sett är släktet för en knut svårt att beräkna, och Seifert-algoritmen producerar vanligtvis inte en Seifert-yta av minsta släkte. Av denna anledning är andra relaterade invarianter ibland användbara. Det kanoniska släktet $g_{c}$ i en knut är det minsta släktet av alla Seifert-ytor som kan konstrueras med Seifert-algoritmen, och det fria släktet $g_{f}$ är det minsta släktet av alla Seifert-ytor vars komplement i $S^{3}$ är en handtag . (Komplementet av en Seifert-yta som genereras av Seifert-algoritmen är alltid en handtagskropp.) För varje knut gäller uppenbarligen olikheten ${\displaystyle g\leq g_{f}\leq g_{c}},$ så i synnerhet dessa invarianter sätter övre gränser för släktet.

Knutsläktet är NP-komplett genom arbete av Ian Agol , Joel Hass och William Thurston .

Det har visat sig att det finns Seifert-ytor av samma släkte som inte blir isotopiskt vare sig topologiskt eller jämnt i 4-bollen.

Se även

• Crosscap nummer
• Arf invariant av en knut
• Skiva släktet

externa länkar

• Jack van Wijks SeifertView -program visualiserar Seifert-ytorna av knutar konstruerade med Seiferts algoritm.