Konvergent matris

I linjär algebra är en konvergent matris en matris som konvergerar till nollmatrisen under matrisexponentiering .

Bakgrund

När successiva potenser av en matris T blir små (det vill säga när alla ingångar av T närmar sig noll, när T höjs till successiva potenser), konvergerar matrisen T till nollmatrisen. En regelbunden delning av en icke-singular matris A resulterar i en konvergent matris T . En semi-konvergent delning av en matris A resulterar i en semi-konvergent matris T . En allmän iterativ metod konvergerar för varje initial vektor om T är konvergent, och under vissa förhållanden om T är semi-konvergent.

Definition

Vi kallar en n × n matris T en konvergent matris if

$\lim _{k\to \infty }(\mathbf {T} ^{k})_{ij}=0,$

 

 

 

 

()

för varje i = 1, 2, ..., n och j = 1, 2, ..., n .

Exempel

Låta

${\begin{aligned}&\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}\\[4pt]0&{ \frac {1}{4}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Genom att beräkna successiva potenser av T får vi

$_ displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {T} ^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{4}}\\[4pt] 0&{\frac {1}{16}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{3}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{64}}&{\frac {3}{32}}\\[4pt]0&{\frac {1}{64}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{4}={\begin{pmatrix}{\ frac {1}{256}}&{\frac {1}{32}}\\[4pt]0&{\frac {1}{256}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^ {5}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{1024}}&{\frac {5}{512}}\\[4pt]0&{\frac {1}{1024}}\end{ pmatrix}},\end{aligned}}}$

${\begin{aligned}\mathbf {T} ^{6}={\begin{pmatrix}{\ frac {1}{4096}}&{\frac {3}{1024}}\\[4pt]0&{\frac {1}{4096}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

och i allmänhet,

${\begin{aligned}\mathbf {T} ^{k}={\begin{pmatrix}({\frac {1}{4}})^{k}&{\frac {k}{2 ^{2k-1}}}\\[4pt]0&({\frac {1}{4}})^{k}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Eftersom

$\lim _{k\to \infty }\left({\frac {1}{4}}\right)^{k}=0$

och

$\lim _{k\to \infty }{\frac {k}{2^{2k-1}}}=0,$

T är en konvergent matris. Observera att ρ ( T 1/4 är , ) = 1/4 det , där ρ ( T ) representerar spektralradien för T eftersom enda egenvärdet för T.

Karakteriseringar

Låt T vara en n × n matris. Följande egenskaper motsvarar att T är en konvergent matris:

1. $\lim _{k\to \infty }\|\mathbf {T} ^{k}\|=0,$ för någon naturlig norm;
2. $\lim _{k\to \infty }\|\mathbf {T} ^{k}\|=0,$ för alla naturliga normer;
3. $\rho (\mathbf {T})<1$ ;
4. $\lim _{k\to \infty }\mathbf {T} ^{k}\mathbf {x} =\mathbf {0} ,$ för varje x .

Iterativa metoder

Huvudartikel: Iterativ metod

En allmän iterativ metod innebär en process som omvandlar systemet av linjära ekvationer

$\mathbf {Ax} =\mathbf {b}$

 

 

 

 

()

till ett likvärdigt system av formen

$\mathbf {x} =\mathbf {Tx} +\mathbf {c}$

 

 

 

 

()

för någon matris T och vektor c . Efter att den initiala vektorn x ⁽⁰⁾ har valts genereras sekvensen av ungefärliga lösningsvektorer genom beräkning

$\mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {Tx} ^{(k)}+\mathbf {c}$

 

 

 

 

()

för varje k ≥ 0. För valfri initialvektor x ⁽⁰⁾ ∈ $\mathbb {R} ^{n}$ , sekvensen $\lbrace \mathbf { x} ^{\left(k\right)}\rbrace _{k=0}^{\infty }$ definierad av ( 4 ), för varje k ≥ 0 och c ≠ 0, konvergerar till den unika lösningen av ( 3 ) om och endast om ρ ( T ) < 1, det vill säga T är en konvergent matris.

Regelbunden klyvning

Huvudartikel: Matrisdelning

En matrisdelning är ett uttryck som representerar en given matris som en summa eller skillnad av matriser. I systemet med linjära ekvationer ( 2 ) ovan, med A icke-singular, kan matrisen A delas, det vill säga skrivas som en skillnad

$\mathbf {A} =\mathbf {B} -\mathbf {C}$

 

 

 

 

()

000 så att ( 2 ) kan skrivas om som ( 4 ) ovan. Uttrycket ( 5 ) är en regelbunden delning av A om och endast om B ⁻¹ ≥ och C ≥ , det vill säga B ⁻¹ och C har endast icke-negativa poster. Om uppdelningen ( 5 ) är en regelbunden uppdelning av matrisen A och A ⁻¹ ≥ , så är ρ ( T ) < 1 och T en konvergent matris. Därför konvergerar metoden ( 4 ).

Semikonvergent matris

Vi kallar en n × n matris T en semi-konvergent matris om gränsen

$\lim _{k\to \infty }\mathbf {T} ^{k}$

 

 

 

 

()

existerar. Om A möjligen är singular men ( 2 ) är konsekvent, det vill säga b är i intervallet A , så konvergerar sekvensen definierad av ( 4 ) till en lösning till ( 2 ) för varje x ⁽⁰⁾ ∈ ${\ displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ om och endast om T är semi-konvergent. I detta fall kallas uppdelningen ( 5 ) en semi-konvergent uppdelning av A .

Se även

• Gauss–Seidel-metoden
• Jacobi metod
• Lista över matriser
• Nilpotent matris
• Successiv överavslappning

Anteckningar

•   Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (5:e upplagan), Boston: Prindle, Weber och Schmidt, ISBN 0-534-93219-3 .
•   Isaacson, Eugene; Keller, Herbert Bishop (1994), Analysis of Numerical Methods , New York: Dover , ISBN 0-486-68029-0 .
• Carl D. Meyer, Jr.; RJ Plemmons (sep 1977). "Konvergenta krafter i en matris med tillämpningar på iterativa metoder för singulära linjära system". SIAM Journal on Numerical Analysis . 14 (4): 699–705. doi : 10.1137/0714047 .
•   Varga, Richard S. (1960). "Faktorisering och normaliserade iterativa metoder". I Langer, Rudolph E. (red.). Gränsproblem i differentialekvationer . Madison: University of Wisconsin Press . s. 121–142. LCCN 60-60003 .
•   Varga, Richard S. (1962), Matrix Iterative Analysis , New Jersey: Prentice–Hall , LCCN 62-21277 .