Rad echelon form

I linjär algebra är en matris i echelonform om den har formen som härrör från en gaussisk eliminering .

En matris som är i rad echelonform betyder att Gauss eliminering har opererat på raderna och kolumn echelon form betyder att Gauss eliminering har opererats på kolumnerna. Med andra ord, en matris är i kolumn-echelon-form om dess transponering är i rad-echelon-form. Därför behandlas endast radnivåformer i resten av denna artikel. De liknande egenskaperna hos kolumnechelonformen kan lätt härledas genom att transponera alla matriser. Specifikt är en matris i rad echelon form if

• Alla rader som endast består av nollor är längst ner.
• Den inledande posten (det är den längst till vänster) för varje rad som inte är noll är till höger om den inledande posten för varje rad ovanför.

Vissa texter lägger till villkoret att den inledande koefficienten måste vara 1 medan andra betraktar detta som en reducerad rad echelonform.

Dessa två villkor innebär att alla poster i en kolumn under en inledande koefficient är nollor.

Följande är ett exempel på en 4x5-matris i rad echelonform, som inte är i reducerad rad echelonform (se nedan):

$\left[{\begin{array}{ccccc}1&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\ \0&0&2&a_{4}&a_{5}\\0&0&0&1&a_{6}\\0&0&0&0&0\end{array}}\right]$

Många egenskaper hos matriser kan lätt härledas från deras rad echelonform, såsom rang och kärna .

Reducerad rad echelon form

En matris är i form av reducerad rad echelon (även kallad rad kanonisk form ) om den uppfyller följande villkor:

• Det är i rad echelon form.
• Den ledande posten i varje rad som inte är noll är en 1 (kallas en ledande 1).
• Varje kolumn som innehåller en inledande 1:a har nollor i alla sina andra poster.

Den reducerade radechelonformen för en matris kan beräknas med Gauss–Jordan-eliminering . Till skillnad från radechelonformen är den reducerade radechelonformen för en matris unik och beror inte på algoritmen som används för att beräkna den. För en given matris, trots att radechelonformen inte är unik, har alla radechelonformer och den reducerade radechelonformen samma antal nollrader och pivoterna är placerade i samma index.

Detta är ett exempel på en matris i form av reducerad rad echelon, som visar att den vänstra delen av matrisen inte alltid är en identitetsmatris :

$\left[{\begin{array}{ccccc}1&0&a_{1}&0&b_{1}\\0&1&a_{2}&0&b_{2}\\ 0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]$

För matriser med heltalskoefficienter är Hermites normalform en rad echelonform som kan beräknas med euklidisk division och utan att införa något rationellt tal eller nämnare. Å andra sidan innehåller den reducerade echelonformen av en matris med heltalskoefficienter i allmänhet icke-heltalskoefficienter.

Omvandling till radnivåform

Huvudartikel: Gaussisk eliminering

Med hjälp av en ändlig sekvens av elementära radoperationer , kallad Gaussisk eliminering , kan vilken matris som helst omvandlas till rad echelonform. Eftersom elementära radoperationer bevarar radutrymme , är radutrymmet för radechelonformen detsamma som för den ursprungliga matrisen.

Den resulterande echelonformen är inte unik; vilken matris som helst som är i echelonform kan sättas i en ( ekvivalent ) echelonform genom att lägga till en skalär multipel av en rad till en av ovanstående rader, till exempel:

${\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}{\xrightarrow {\text{lägg till rad 2 till rad 1}}}{\begin{bmatrix}1&4&6\\0&1&7\ \\end{bmatrix}}.$

Varje matris har dock en unik reducerad rad echelonform. I exemplet ovan kan den reducerade radnivåformen hittas som

${\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}\xrightarrow {{\text{subtrahera 3}}\ gånger {\text{(rad 2) från rad 1}}} {\begin{bmatrix}1&0&-22\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.$

Detta betyder att raderna som inte är noll i den reducerade radechelonformen är den unika reducerade radechelongenereringsuppsättningen för radutrymmet i den ursprungliga matrisen.

System av linjära ekvationer

Ett system av linjära ekvationer sägs vara i radekelonform om dess förstärkta matris är i radechelonform. På liknande sätt sägs ett system av linjära ekvationer vara i form av reducerad rad-ekelon eller i kanonisk form om dess förstärkta matris är i form av reducerad rad-echelon.

Den kanoniska formen kan ses som en explicit lösning av det linjära systemet. Faktum är att systemet är inkonsekvent om och endast om en av ekvationerna i den kanoniska formen reduceras till 0 = 1. I annat fall, omgruppering på höger sida av alla ekvationernas termer utom de ledande, uttrycker de variabler som motsvarar pivoterna som konstanter eller linjära funktioner för övriga variabler, om några.

Pseudokod för reducerad rad echelon form

Följande pseudokod konverterar en matris till en reducerad rad echelonform:

     
          
            
        
        
        
              
                
                  
                    
                
            
        
           
              
            
        
        
 funktion  ToReducedRowEchelonForm(Matrix M)  är  lead  := 0  rowCount  := antalet rader i M  columnCount  := antalet kolumner i M  för  0 ≤  r  <  rowCount  gör  om  kolumnCount  ≤  lead  sedan  stoppa funktionsslut  om  i  =  r  medan  M [  i  ,  avledning  ] = 0  gör  i  =  i  + 1  om  rowCount  =  i  så  i  =  r  lead  =  lead  + 1  om  kolumnCount  =  lead  sedan  stoppfunktion  end if  end if  end while  if  i  ≠  r  sedan  Byt rader  i  och  r  Dela rad  r  med M[  r  ,  avledning  ]  för  0 ≤  j  <  radRäkna  gör  om  j  ≠  r  do  Subtrahera M[j, avledning] multiplicerat med rad  r  från rad  j  slut om  slut för  avledning  =  avledning  + 1  slut för  slutfunktion 

Följande pseudokod konverterar matrisen till en rad echelonform (ej reducerad):

    
         
            
                
            
        
         
            
    
    
      
         
                
             
                  
                
            
            
 funktion  ToRowEchelonForm(Matrix M)  är  nr  := antal rader i M  nc  := antal kolumner i M  för  0 ≤ r < nr  do  allNollor  := sant  för  0 ≤  c  <  nc  do  if  M[  r  ,  c  ] != 0  sedan  allZeros  := falsk  utgång för  end if  end för  om  allZeros  = true  then  I M, byt ut rad  r  med rad  nr  nr  :=  nr  - 1  end if  end för  p  := 0  medan  p  <  nr  och  p  <  nc  do  label  nästaPivot:  r  := 1  medan  M[  p  ,  p  ] = 0  gör om  (  p  +  r  )  <=  nr  sedan  p  :=  p  + 1  gå till  nästa Pivotslut  om  I M, byt rad  p  med rad (  p  +  r  )  r  :=  r  + 1  slut medan  för  1 ≤  r  < (  nr  -  p  )  gör  om  M[  p  +  r  ,  p  ] != 0 sedan  x  := -M[  p  +  r  ,  p  ] / M[  p  ,  p  ]  för  p  ≤  c  <  nc  do  M[  p  +  r  ,  c  ] := M[  p  ,  c  ] *  x  + M[  p  +  r  ,  c  ]  slut för  slut om  slut för  p  :=  p  + 1  slut medan  slutfunktion 

Anteckningar

•   Leon, Steven J. (2010), Lynch, Deirdre; Hoffman, William; Celano, Caroline (red.), Linear Algebra with Applications (8:e upplagan), Pearson, ISBN 978-0-13-600929-0 , En matris sägs vara i rad echelonform (i) Om den första posten som inte är noll i varje rad som inte är noll är 1. (ii) Om rad k inte helt består av nollor, är antalet inledande nollposter i rad $k+1$ större än antalet inledande nollposter i rad k . (iii) Om det finns rader vars poster alla är noll, ligger de under raderna som har poster som inte är noll. .
•   Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra , SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8 .

externa länkar

• Interaktiv Row Echelon Form med rationell produktion