Lattice gauge teori

Inom fysiken är gittermåttteori studiet av mätteorier på en rumtid som har diskretiserats till ett gitter .

Gauge-teorier är viktiga i partikelfysik och inkluderar de rådande teorierna om elementarpartiklar : kvantelektrodynamik , kvantkromodynamik (QCD) och partikelfysiks standardmodell . Icke-perturbativa spårviddsteoriberäkningar i kontinuerlig rumtid involverar formellt utvärdering av en oändlig dimensionell vägintegral , som är beräkningsmässigt svårhanterlig. Genom att arbeta på en diskret rumtid blir vägintegralen finitdimensionell och kan utvärderas med stokastiska simuleringstekniker som Monte Carlo- metoden . När storleken på gittret tas oändligt stor och dess platser oändligt nära varandra, återvinns kontinuummätarteorin.

Grunderna

I gittermåttteorin roteras rymdtiden Wick in i det euklidiska rummet och diskretiseras till ett gitter med platser separerade med avstånd $a$ och sammankopplade med länkar. I de vanligaste fallen, såsom gitter QCD , definieras fermionfält vid gitterplatser (vilket leder till fermionfördubbling ) , medan mätfälten definieras på länkarna. Det vill säga, ett element U i den kompakta Lie-gruppen G (inte algebra ) tilldelas varje länk. För att simulera QCD med Lie-gruppen SU(3) definieras därför en 3x3 enhetsmatris på varje länk. Länken tilldelas en orientering, där det omvända elementet motsvarar samma länk med motsatt orientering. Och varje nod ges ett värde i $\mathbb {C} ^{3}$ (en färg 3-vektor, utrymmet på vilket den grundläggande representationen av SU(3) verkar), en bispinor (Dirac 4 -spinor), en nf _- vektor och en Grassmann-variabel .

Således approximerar sammansättningen av länkarnas SU(3)-element längs en väg (dvs. den ordnade multiplikationen av deras matriser) en vägordnad exponential (geometrisk integral), från vilken Wilson -loopvärden kan beräknas för slutna banor.

Yang-Mills action

Yang –Mills- åtgärden skrivs på gittret med hjälp av Wilson-loopar (uppkallad efter Kenneth G. Wilson ), så att gränsen $a\to 0$ formellt återger den ursprungliga kontinuumhandlingen. Givet en trogen irreducerbar representation ρ av G , är gitter Yang–Mills aktion, känd som Wilson aktion , summan över alla gitterplatser av den (verkliga komponenten av) spåret över de n länkarna e ₁ , ..., e _n i Wilson-slingan,

S=\sum _{F}-\Re \{\chi ^{(\rho )}(U(e_{1})\cdots U(e_{n}))\}.

Här är χ tecknet . Om ρ är en reell (eller pseudoreal ) representation, är det överflödigt att ta den reella komponenten, eftersom även om orienteringen av en Wilson-slinga vänds, förblir dess bidrag till handlingen oförändrad.

Det finns många möjliga Wilson-åtgärder, beroende på vilka Wilson-loopar som används i handlingen. Den enklaste Wilson-åtgärden använder endast 1×1 Wilson-slingan och skiljer sig från kontinuumhandlingen genom "gitterartefakter" proportionell mot det lilla gitteravståndet a {\ $a}$ . Genom att använda mer komplicerade Wilson-loopar för att konstruera "förbättrade åtgärder", kan gitterartefakter reduceras till att vara proportionella mot $a^{2}$ , vilket gör beräkningarna mer exakta.

Mätningar och beräkningar

Detta resultat av en Lattice QCD- beräkning visar en meson , sammansatt av en kvark och en antikvark. (Efter M. Cardoso et al.)

Mängder som partikelmassor beräknas stokastiskt med tekniker som Monte Carlo - metoden . Mätfältskonfigurationer genereras med sannolikheter proportionella mot ${\displaystyle e^{-\beta S}} ,$ där $S$ är gitteråtgärden och $\beta$ är relaterad till gittret mellanrum $a$ . Mängden av intresse beräknas för varje konfiguration, och genomsnittet beräknas. Beräkningar upprepas ofta med olika gitteravstånd $a$ så att resultatet kan extrapoleras till kontinuumet, $a\to 0$ .

Sådana beräkningar är ofta extremt beräkningsintensiva och kan kräva användning av de största tillgängliga superdatorerna . För att minska beräkningsbördan kan den så kallade släckta approximationen användas, där de fermioniska fälten behandlas som icke-dynamiska "frusna" variabler. Även om detta var vanligt i tidiga gitter-QCD-beräkningar, är "dynamiska" fermioner nu standard. Dessa simuleringar använder vanligtvis algoritmer baserade på molekylär dynamik eller mikrokanoniska ensemblealgoritmer .

Resultaten av gitter-QCD-beräkningar visar t.ex. att i en meson är inte bara partiklarna (kvarkar och antikvarkar), utan även "fluxrören" i gluonfälten viktiga. ^{[ citat behövs ]}

Kvanttrivialitet

Lattice gauge-teori är också viktig för studiet av kvanttrivialitet av renormaliseringsgruppen i verkliga rymden . Den viktigaste informationen i RG-flödet är vad som kallas de fasta punkterna .

De möjliga makroskopiska tillstånden i systemet, i stor skala, ges av denna uppsättning fixpunkter. Om dessa fixpunkter motsvarar en teori om fritt fält, sägs teorin vara trivial eller icke-interagerande. Många fasta punkter dyker upp i studiet av Higgs gitter-teorier, men karaktären hos kvantfältsteorierna som är förknippade med dessa är fortfarande en öppen fråga.

Trivialitet har ännu inte bevisats noggrant, men gitterberäkningar har gett starka bevis för detta. Detta faktum är viktigt eftersom kvanttrivialitet kan användas för att binda eller till och med förutsäga parametrar såsom massan av Higgs boson .

Andra applikationer

Ursprungligen hade lösbara tvådimensionella gittermåttsteorier redan introducerats 1971 som modeller med intressanta statistiska egenskaper av teoretikern Franz Wegner , som arbetade inom området fasövergångar.

När endast 1×1 Wilson-slingor dyker upp i handlingen, kan gittermåttteorin visa sig vara exakt dubbla till spinnskummodeller .

Se även

Vidare läsning

Creutz, M., Quarks, gluons and lattices , Cambridge University Press, Cambridge, (1985). ISBN 978-0521315357
Montvay, I., Münster, G., Quantum Fields on a Lattice , Cambridge University Press, Cambridge, (1997). ISBN 978-0521599177
Makeenko, Y., Methods of contemporary gauge theory , Cambridge University Press, Cambridge, (2002). ISBN 0-521-80911-8 .
Smit, J. , Introduction to Quantum Fields on a Lattice , Cambridge University Press, Cambridge, (2002). ISBN 978-0521890519
Rothe, H., Lattice Gauge Theories, An Introduction , World Scientific, Singapore, (2005). ISBN 978-9814365857
DeGrand, T., DeTar, C., Lattice Methods for Quantum Chromodynamik , World Scientific, Singapore, (2006). ISBN 978-9812567277
Gattringer, C., Lang, CB, Quantum Chromodynamics on the Lattice , Springer, (2010). ISBN 978-3642018497
Knechtli, F., Günther, M., Peardon, M., Lattice Quantum Chromodynamics: Practical Essentials , Springer, (2016). ISBN 978-9402409970
Weisz Peter, Majumdar Pushan (2012). "Teorier om gallermått" . Scholarpedia . 7 (4): 8615. Bibcode : 2012SchpJ...7.8615W . doi : 10.4249/scholarpedia.8615 .

externa länkar