Fredholms teori

Inom matematiken är Fredholmsteorin en teori om integralekvationer . I snävare bemärkelse sysslar Fredholms teori med lösningen av Fredholms integralekvation . I en vidare mening ges den abstrakta strukturen av Fredholms teori i termer av spektralteorin för Fredholmsoperatorer och Fredholmskärnor på Hilbertrymden . Teorin är uppkallad efter Erik Ivar Fredholm .

Översikt

Följande avsnitt ger en slentrianmässig skiss av Fredholmsteorins plats i det bredare sammanhanget av operatorteori och funktionsanalys . Den disposition som presenteras här är bred, medan svårigheten att formalisera denna skiss naturligtvis ligger i detaljerna.

Fredholms ekvation av det första slaget

Mycket av Fredholms teori handlar om följande integralekvation för f när g och K är givna:

g(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy.

Denna ekvation uppstår naturligt i många problem inom fysik och matematik, som inversen av en differentialekvation . Det vill säga att man ombeds lösa differentialekvationen

Lg(x)=f(x)

där funktionen $f$ är given och $g$ är okänd. Här står $L för en linjär$ differentialoperator .

Till exempel kan man ta $L$ för att vara en elliptisk operator , som t.ex

L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\,

i vilket fall den ekvation som ska lösas blir Poisson-ekvationen .

En allmän metod för att lösa sådana ekvationer är med hjälp av Greens funktioner , nämligen snarare än en direkt attack, hittar man först funktionen $K=K(x,y)$ så att för ett givet par $x,y$ ,

LK(x,y)=\delta (xy),

där $δ (x)$ är Dirac delta-funktionen .

Den önskade lösningen på differentialekvationen ovan skrivs sedan som en integral i form av en Fredholms integralekvation ,

g(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy.

Funktionen $K (x, y)$ är på olika sätt känd som en gröns funktion, eller kärnan i en integral . Det kallas ibland integralens kärna , varifrån termen kärnkraftsoperatör uppstår.

I den allmänna teorin kan $x$ och $y$ vara punkter på vilket grenrör som helst ; den reella tallinjen eller $m$ -dimensionella euklidiska rymden i de enklaste fallen. Den allmänna teorin kräver också ofta att funktionerna tillhör ett visst funktionsrum : ofta studeras rymden av kvadratintegrerbara funktioner , och Sobolev-rum förekommer ofta.

Det faktiska funktionsutrymmet som används bestäms ofta av lösningarna av egenvärdesproblemet för differentialoperatorn; det vill säga genom lösningarna till

L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)

där $ω n$ är egenvärdena och $ψ n (x)$ är egenvektorer. Mängden egenvektorer spänner över ett Banach-utrymme , och, när det finns en naturlig inre produkt , spänner egenvektorerna över ett Hilbert-utrymme , vid vilken punkt Riesz-representationssatsen tillämpas. Exempel på sådana utrymmen är de ortogonala polynomen som förekommer som lösningar till en klass av andra ordningens vanliga differentialekvationer .

Med ett Hilbert-utrymme enligt ovan kan kärnan skrivas i formen

K(x,y)=\summa _{n}{\frac {\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n}}}.

kallas objektet $K (x,y) ofta för$ Fredholmsoperatorn eller Fredholmskärnan . Att detta är samma kärna som tidigare följer av fullständigheten i Hilbertrummets grund, nämligen att man har

\delta (xy)=\summa _{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y).

Eftersom $ωn generellt ökar,,$ ses de resulterande egenvärdena för operatorn $K ( x y) således minska mot noll.$

Inhomogena ekvationer

Den inhomogena Fredholm-integralekvationen

f(x)=-\omega \varphi (x)+\int K(x,y) \varphi (y)\,dy

kan skrivas formellt som

f=(K-\omega )\varphi

som har den formella lösningen

\varphi ={\frac {1}{K-\omega }}f.

En lösning av denna form kallas den resolventa formalismen , där resolventet definieras som operatören

R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}.

Givet samlingen av egenvektorer och egenvärden för K , kan upplösningsmedlet ges en konkret form som

R(\omega ;x,y)=\summa _{n}{\frac {\psi _{n}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n}-\omega }}

med lösningen

\varphi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy.

En nödvändig och tillräcklig förutsättning för att en sådan lösning ska existera är en av Fredholms satser . Upplösningsmedlet expanderas vanligtvis i potenserna ${\displaystyle \lambda =1/\omega } ,$ i vilket fall det är känt som Liouville-Neumann-serien . I detta fall skrivs integralekvationen som

g(x)=\varphi (x)-\lambda \int K(x,y)\varphi (y)\,dy

och resolventet skrivs i den alternativa formen som

R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}.

Fredholm determinant

Fredholm -determinanten definieras vanligtvis som

\det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\frac { \lambda ^{n}}{n}}\operatörsnamn {Tr} \,K^{n}\right]

var

\operatörsnamn {Tr} \,K=\int K(x,x)\,dx

och

\operatörsnamn {Tr} \,K^{2}=\iint K(x,y)K(y,x )\,dx\,dy

och så vidare. Motsvarande zeta-funktion är

\zeta (s)={\frac {1}{\det(I-sK)}}.

Zeta-funktionen kan ses som determinanten för resolventet .

Zeta-funktionen spelar en viktig roll för att studera dynamiska system . Observera att detta är samma allmänna typ av zetafunktion som Riemanns zetafunktion ; men i det här fallet är motsvarande kärna inte känd. Förekomsten av en sådan kärna är känd som Hilbert-Pólya-förmodan .

Huvudresultat

De klassiska resultaten av teorin är Fredholms satser , varav ett är Fredholmsalternativet .

Ett av de viktiga resultaten från den allmänna teorin är att kärnan är en kompakt operatör när funktionsutrymmet är jämnt .

Ett relaterat berömt resultat är Atiyah-Singer indexsatsen , som gäller index (dim ker – dim coker) av elliptiska operatorer på kompakta grenrör .

Historia

Fredholms artikel från 1903 i Acta Mathematica anses vara ett av de viktigaste landmärkena i etableringen av operatorteori . David Hilbert utvecklade abstraktionen av Hilbert-rymden i samband med forskning om integralekvationer föranledd av bland annat Fredholms.

Se även

Fredholm, EI (1903). "Sur une classe d'equations fonctionnelles" (PDF) . Acta Mathematica . 27 : 365-390. doi : 10.1007/bf02421317 .
Edmunds, DE; Evans, WD (1987). Spektralteori och differentialoperatorer . Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2 .
BV Khvedelidze, GL Litvinov (2001) [1994], "Fredholm kernel" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Förare, Bruce K. "Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem" (PDF) . Analysverktyg med applikationer . s. 579–600.
Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970). Mathematical Methods of Physics (2nd ed.). New York: WA Benjamin. ISBN 0-8053-7002-1 .
McOwen, Robert C. (1980). "Fredholms teori om partiella differentialekvationer på kompletta Riemannska grenrör" . Pacific J. Math . 87 (1): 169–185. doi : 10.2140/pjm.1980.87.169 . Zbl 0457.35084 .