Positiv-definierad funktion

I matematik är en positiv-definitiv funktion , beroende på sammanhanget, någon av två typer av funktion .

Vanligaste användningen

En positiv-definitiv funktion av en reell variabel x är en komplex -värderad funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ så att för alla reella tal x ₁ , …, x _n matrisen n × n _

A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^ {n}~,\quad a_{ij}=f(x_{i}-x_{j})

är positiv semi- definit (vilket kräver att A är hermitisk ; därför är f (− x ) det komplexa konjugatet av f ( x )).

I synnerhet är det nödvändigt (men inte tillräckligt) det

f(0)\geq 0~,\quad |f(x)|\leq f(0)

(dessa ojämlikheter följer av villkoret för n = 1, 2.)

En funktion är negativ halvdefinitiv om olikheten är omvänd. En funktion är bestämd om den svaga olikheten ersätts med en stark (<, > 0).

Exempel

Om $(X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ är ett verkligt inre produktutrymme , då $g_{y}\colon X\to \mathbb {C}$ , $x\mapsto \exp(i\langle y,x\rangle )$ är positivt definitivt för varje $y\in X$ : för alla $u\in \mathbb {C} ^{n}$ och alla $x_{1},\ldots , x_{n}$ vi har

u^{*}A^{(g_{y})}u=\summa _{j,k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}u_{ j}e^{i\langle y,x_{k}-x_{j}\rangle }=\summa _{k=1}^{n}{\overline {u_{k}}}e^{i\ langle y,x_{k}\rangle }\sum _{j=1}^{n}u_{j}e^{-i\langle y,x_{j}\rangle }=\left|\sum _{ j=1}^{n}{\overline {u_{j}}}e^{i\langle y,x_{j}\rangle }\right|^{2}\geq 0.

Eftersom icke-negativa linjära kombinationer av positiva definitiva funktioner återigen är positiva definitiva, är cosinusfunktionen positiv definitiv som en icke-negativ linjär kombination av ovanstående funktioner:

\cos(x)={\frac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})={\frac {1}{2}}(g_{1}+ g_{-1}).

Man kan skapa en positiv definitiv funktion $f\colon X\to \mathbb {C}$ enkelt från positiv definitiv funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ för valfritt vektorrum $X$ : välj en linjär funktion $\phi \colon X\to \mathbb {R}$ och definiera $f^{*}:=f\circ \phi$ . Sedan

u^{*}A^{(f^{*})}u=\summa _{j,k=1}^ {n}{\overline {u_{k}}}u_{j}f^{*}(x_{k}-x_{j})=\summa _{j,k=1}^{n}{\ överlinje {u_{k}}}u_{j}f(\phi (x_{k})-\phi (x_{j}))=u^{*}{\tilde {A}}^{(f) }u\geq 0,

där ${\tilde {A}}^{( f)}={\big (}f(\phi (x_{i})-\phi (x_{j}))=f({\tilde {x}}_{i}-{\tilde {x} }_{j}){\big )}_{i,j}$ där ${\tilde {x}}_{k}:=\phi (x_{ k})$ är distinkta eftersom $\phi$ är linjär .

Bochners sats

Positiv-definititet uppstår naturligt i teorin om Fouriertransformen ; det kan ses direkt att för att vara positiv-definitiv räcker det att f är Fouriertransformen av en funktion g på den reella linjen med g ( y ) ≥ 0.

Det omvända resultatet är Bochners teorem , som säger att varje kontinuerlig positiv-definitiv funktion på den reella linjen är Fouriertransformen av ett (positivt) mått .

Ansökningar

Inom statistik , och särskilt Bayesiansk statistik , tillämpas satsen vanligtvis på verkliga funktioner. Vanligtvis görs n skalära ${\displaystyle R^{d}} och punkter som är ömsesidigt nära måste ha mätningar som är mycket korrelerade.$ av något skalärt värde vid punkter i I praktiken måste man vara noga med att säkerställa att den resulterande kovariansmatrisen (en n × n matris) alltid är positiv-definitiv. En strategi är att definiera en korrelationsmatris A som sedan multipliceras med en skalär för att ge en kovariansmatris : denna måste vara positiv-definitiv. Bochners sats säger att om korrelationen mellan två punkter endast beror på avståndet mellan dem (via funktion f ), måste funktionen f vara positiv-definitiv för att säkerställa att kovariansmatrisen A är positiv-definitiv. Se Kriging .

I detta sammanhang används normalt inte Fourier-terminologi utan istället anges att f ( x ) är den karakteristiska funktionen för en symmetrisk sannolikhetstäthetsfunktion (PDF) .

Generalisering

Man kan definiera positiva-definita funktioner på vilken lokalt kompakt abelsk topologisk grupp som helst ; Bochners sats sträcker sig till detta sammanhang. Positivt-definita funktioner på grupper förekommer naturligt i representationsteorin för grupper på Hilbert-rum (dvs. teorin om enhetsrepresentationer ).

Alternativ definition

Följande definition strider mot den ovan.

I dynamiska system kan en reellt värderad, kontinuerligt differentierbar funktion f kallas positiv-definitiv på en grannskap D av origo om $f(0)=0$ och $f(x)>0$ för varje icke-noll $x\in D$ . Inom fysiken kan kravet att $f(0)=0$ tas bort (se t.ex. Corney och Olsen).

Se även

Positivt-definierad kärna

Christian Berg, Christensen, Paul Ressel. Harmonic Analysis on Semigroups , GTM, Springer Verlag.
Z. Sasvári, Positiva definitiva och definierbara funktioner , Akademie Verlag, 1994
Wells, JH; Williams, LR Inbäddningar och förlängningar i analys . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii+108 pp.

Anteckningar

^ Cheney, Elliot Ward (2009). En kurs i Approximationsteori . American Mathematical Society. s. 77–78. ISBN 9780821847985 . Hämtad 3 februari 2022 .
^ Bochner, Salomon (1959). Föreläsningar om Fourierintegraler . Princeton University Press.
^ Verhulst, Ferdinand (1996). Icke-linjära differentialekvationer och dynamiska system (2:a upplagan). Springer. ISBN 3-540-60934-2 .
^ Hahn, Wolfgang (1967). Stabilitet av rörelse . Springer.
^ Corney, JF; Olsen, MK (19 februari 2015). "Icke-Gaussiska rena tillstånd och positiva Wigner-funktioner" . Fysisk granskning A . 91 (2): 023824. arXiv : 1412.4868 . Bibcode : 2015PhRvA..91b3824C . doi : 10.1103/PhysRevA.91.023824 . ISSN 1050-2947 . S2CID 119293595 .

externa länkar

"Positiv-definitiv funktion" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Cheney, Elliot Ward (2009). En kurs i Approximationsteori . American Mathematical Society. s. 77–78. ISBN 9780821847985 . Hämtad 3 februari 2022 .

[2] Bochner, Salomon (1959). Föreläsningar om Fourierintegraler . Princeton University Press.

[3] Verhulst, Ferdinand (1996). Icke-linjära differentialekvationer och dynamiska system (2:a upplagan). Springer. ISBN 3-540-60934-2 .

[4] Hahn, Wolfgang (1967). Stabilitet av rörelse . Springer.

[5] Corney, JF; Olsen, MK (19 februari 2015). "Icke-Gaussiska rena tillstånd och positiva Wigner-funktioner" . Fysisk granskning A . 91 (2): 023824. arXiv : 1412.4868 . Bibcode : 2015PhRvA..91b3824C . doi : 10.1103/PhysRevA.91.023824 . ISSN 1050-2947 . S2CID 119293595 .