Krökning av Riemannska grenrör

Från vänster till höger: en yta med negativ Gaussisk krökning ( hyperboloid ), en yta med noll Gaussisk krökning ( cylinder ) och en yta med positiv Gaussisk krökning ( sfär ). I högre dimensioner kan ett grenrör ha olika krökningar i olika riktningar, beskrivna av Riemann krökningstensor .

Inom matematiken , specifikt differentialgeometri , är den infinitesimala geometrin för Riemannska grenrör med dimension större än 2 för komplicerad för att beskrivas med ett enda nummer vid en given punkt. Riemann introducerade ett abstrakt och rigoröst sätt att definiera krökning för dessa grenrör, nu känd som Riemann krökningstensor . Liknande föreställningar har hittats överallt i differentialgeometri.

För en mer elementär diskussion se artikeln om krökning som diskuterar krökningen av kurvor och ytor i 2 och 3 dimensioner, samt ytornas differentialgeometri .

Krökningen av ett pseudo-Riemannskt grenrör kan uttryckas på samma sätt med endast små modifieringar.

Sätt att uttrycka krökningen av ett Riemann-grenrör

Riemanns krökningstensor

Huvudartikel: Riemann curvature tensor

Krökningen av ett Riemann-grenrör kan beskrivas på olika sätt; den mest standard är krökningstensorn, given i termer av en Levi-Civita-koppling (eller kovariansdifferentiering ) $\nabla$ och Lie-parentes $[\cdot ,\cdot ]$ av följande formel:

$R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w .$

Här är $R(u,v)$ en linjär transformation av grenrörets tangentrum; det är linjärt i varje argument. Om $u=\partial /\partial x_{i}$ och $v=\partial /\partial x_{j}$ är koordinatvektorfält sedan $[u,v]=0$ och därför förenklas formeln till

$R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v} \nabla _{u}w$

dvs. krökningstensorn mäter icke-kommutativiteten för den kovarianta derivatan .

Den linjära transformationen $w\mapsto R(u,v)w$ kallas även krökningstransformationen eller endomorfismen .

OBS! Det finns några böcker där krökningstensorn definieras med motsatt tecken.

Symmetrier och identiteter

Krökningstensorn har följande symmetrier:

$R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}$

$\langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle _{}^{}$

$R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v =0_{}^{}$

Den sista identiteten upptäcktes av Ricci , men kallas ofta den första Bianchi-identiteten , bara för att den liknar Bianchi-identiteten nedan. De två första bör behandlas som antisymmetri respektive Lie-algebraegenskap , eftersom den andra betyder att R ( u , v ) för alla u , v är element i den pseudo-ortogonala Lie-algebra. Alla tre tillsammans bör kallas pseudo-ortogonal krökningsstruktur . De ger upphov till en tensor endast genom identifiering med objekt i tensoralgebra - men likaså finns det identifieringar med begrepp i Clifford-algebra. Låt oss notera att dessa tre axiom för en krökningsstruktur ger upphov till en välutvecklad strukturteori, formulerad i termer av projektorer (en Weyl-projektor, som ger upphov till Weyl-krökning och en Einstein-projektor, som behövs för uppställningen av den Einsteinska gravitationen ekvationer). Denna strukturteori är kompatibel med verkan av de pseudo-ortogonala grupperna plus dilatationer . Den har starka band med teorin om Lie-grupper och algebror, Lie-trippel och Jordanalgebror. Se referenserna i diskussionen.

De tre identiteterna bildar en komplett lista över symmetrier för krökningstensorn, dvs givet vilken tensor som helst som uppfyller identiteterna ovan, skulle man någon gång kunna hitta ett Riemannmanifold med en sådan krökningstensor. Enkla beräkningar visar att en sådan tensor har $n^{2}(n^{2}-1)/12$ oberoende komponenter. Ännu en användbar identitet följer av dessa tre:

$\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u, v\rangle _{}^{}$

Bianchi -identiteten (ofta den andra Bianchi-identiteten ) involverar de kovarianta derivaten:

$\nabla _{u}R(v,w)+\nabla _{v}R (w,u)+\nabla _{w}R(u,v)=0$

Sektionskurvatur

Huvudartikel: Sektionskurvatur

Sektionskrökning är en ytterligare, ekvivalent men mer geometrisk, beskrivning av krökningen hos Riemannska grenrör. Det är en funktion $K(\sigma )$ som beror på ett avsnitt $\sigma$ (dvs ett 2-plan i tangentrymden). Det är Gauss-kurvaturen för $\sigma$ - sektionen vid p ; här $\sigma$ - sektion är en lokalt definierad yta som har planet $\sigma$ som ett tangentplan vid p , erhållen från geodetik som börjar vid p i riktningarna för bilden av $\sigma$ under den exponentiella kartan på sid .

Om $v,u$ är två linjärt oberoende vektorer i $\sigma$ så

$K(\sigma )=K(u,v)/|u\wedge v|^{2}{\text{ där }}K(u,v)=\langle R(u,v)v,u\rangle$

Följande formel indikerar att sektionskrökning beskriver krökningstensorn fullständigt:

$6\langle R(u,v)w,z\rangle =_{}^{}$

$[K(u+z,v+w)-K(u+z,v)-K(u+z,w)-K(u,v+w)-K(z,v+w) )+K(u,w)+K(v,z)]-_{}^{}$

$[K(u+w,v+z)-K(u+w,v)-K(u+w,z)-K(u,v+z)-K(w,v+z) +K(v,w)+K(u,z)]._{}^{}$

Eller i en enklare formel:

$$\langle R(u,v)w,z\rangle ={\frac {1}{6}}\left.{\frac {\partial ^{2}} {\partial s\partial t}}\left(K(u+sz,v+tw)-K(u+sw,v+tz)\right)\right|_{(s,t)=(0, 0)}$$

Krökningsform

Huvudartikel: Krökningsform

Anslutningsformuläret ger ett alternativt sätt att beskriva krökning . Den används mer för allmänna vektorbuntar och för principalbuntar , men den fungerar lika bra för tangentbunten med Levi-Civita-kopplingen . Krökningen av ett n -dimensionellt Riemann-grenrör ges av en antisymmetrisk n × n matris $\Omega _{}^{}=\Omega _{\ j}^{i}$ av 2- former (eller motsvarande en 2-form med värden i $\operatorname {so} (n)$ , Lie-algebra för den ortogonala gruppen $\operatorname {O} ( n)$ , som är strukturgruppen för tangentknippet i ett Riemann-grenrör).

Låt $e_{i}$ vara en lokal del av ortonormala baser. Sedan kan man definiera kopplingsformen, en antisymmetrisk matris av 1-former $\omega =\omega _{\ j}^{i}$ som uppfyller från följande identitet

$\omega _{\ j}^{k}(e_{i})=\langle \nabla _{e_{i}} e_{j},e_{k}\rangle$

definieras krökningsformen ${\displaystyle \Omega =\Omega _{\ j}^{i}} av$

$\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega$ .

Observera att uttrycket " $\omega \wedge \omega$ " är en kort hand för $\omega _{\ j}^{i}\wedge \omega _{ \ k}^{j}$ och försvinner därför inte nödvändigtvis. Följande beskriver förhållandet mellan krökningsform och krökningstensor:

$R(u,v)w=\Omega (u\wedge v)w.$

Detta tillvägagångssätt bygger in alla symmetrier av krökningstensor utom den första Bianchi-identiteten , som tar form

$\Omega \wedge \theta =0$

där $\theta =\theta ^{i}$ är en n -vektor av 1-former definierade av $\theta ^{i} (v)=\langle e_{i},v\rangle$ . Den andra Bianchi-identiteten tar form

$D\Omega =0$

D betecknar den yttre kovariansderivatan

Krökningsoperatorn

Det är ibland bekvämt att tänka på krökning som en operator $Q$ på tangentbivektorer ( element av ${\displaystyle \Lambda ^{2}(T)} ),$ som är unikt definierad av följande identitet:

$\langle Q(u\wedge v),w\wedge z\rangle =\langle R(u,v)z,w\rangle .$

Det är möjligt att göra detta just på grund av krökningstensorns symmetri (nämligen antisymmetri i det första och sista indexparet, och blocksymmetri för dessa par).

Ytterligare krökningstensorer

I allmänhet beskriver följande tensorer och funktioner inte krökningstensorn helt, men de spelar en viktig roll.

Skalär krökning

Huvudartikel: Skalär krökning

Skalär krökning är en funktion på alla Riemannska grenrör, betecknad på olika sätt med $S,R$ eller ${\text{Sc}}$ . Det är hela spåret av krökningstensorn; ges en ortonormal bas $\{e_{i}\}$ i tangentrymden vid en punkt

vi har

$S=\sum _{i,j}\langle R(e_{i},e_{j})e_{j},e_{i}\rangle =\sum _{i}\langle {\text{Ric}}(e_{i}),e_{i} \rangle ,$

där ${\text{Ric}}$ anger Ricci-tensorn . Resultatet beror inte på valet av ortonormal grund. Från och med dimension 3 beskriver skalär krökning inte krökningstensorn fullständigt.

Ricci krökning

Huvudartikel: Ricci curvature

Ricci-kurvatur är en linjär operator på tangentrymden i en punkt, vanligtvis betecknad med ${\text{Ric}}$ . Givet en ortonormal bas $\{e_{i}\}$ i tangentrymden vid p har vi

${\text{Ric}}(u)=\sum _{i}R(u,e_{i})e_{i}._{}^{}$

Resultatet beror inte på valet av ortonormal grund. Med fyra eller fler dimensioner beskriver Ricci-kurvatur inte krökningstensorn helt.

Explicita uttryck för Ricci-tensoren i termer av Levi-Civita-kopplingen ges i artikeln om Christoffel-symboler .

Weyl krökningstensor

Huvudartikel: Weyl tensor

Weyl- kurvaturtensorn har samma symmetri som Riemann-kurvaturtensorn, men med en extra begränsning: dess spår (som används för att definiera Ricci-krökningen) måste försvinna.

Weyl-tensorn är invariant med avseende på en konform förändring av metrik: om två mätvärden är relaterade som ${\tilde {g}}=fg$ för någon positiv skalär funktion $f$ , sedan ${\tilde {W}}=W$ .

I dimensionerna 2 och 3 försvinner Weyl-tensorn, men i 4 eller fler dimensioner kan Weyl-tensorn vara icke-noll. För ett grenrör med konstant krökning är Weyl-tensorn noll. Dessutom är $W=0$ om och endast om måttet är lokalt överensstämmande med det euklidiska måttet .

Ricci sönderdelning

Huvudartikel: Ricci-nedbrytning

Även om Weyl-tensorn och Ricci-tensorn i allmänhet inte bestämmer den fullständiga krökningstensorn individuellt, kan Riemann-kurvaturtensorn delas upp i en Weyl-del och en Ricci-del. Denna nedbrytning är känd som Ricci-nedbrytningen och spelar en viktig roll i den konforma geometrin hos Riemannska grenrör. Speciellt kan den användas för att visa att om måtten skalas om med en konform faktor på $e^{2f}$ så ändras Riemann-kurvaturtensorn till (sett som en (0, 4)- tensor):

$e^{2f}\left(R+\left({\ text{Hess}}(f)-df\otimes df+{\frac {1}{2}}\|{\text{grad}}(f)\|^{2}g\right){~\wedge \ !\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right)$

där ${~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}$ betecknar Kulkarni–Nomizu-produkten och Hess är hessian.

Beräkning av krökning

För beräkning av krökning

• av hyperytor och undergrenar se andra grundläggande formen ,
• i koordinater se listan över formler i Riemannsk geometri eller kovariantderivata ,
• genom att flytta ramar se Cartankoppling och krökningsform .
• Jacobi -ekvationen kan hjälpa om man vet något om geodetikernas beteende .

•   Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 (Ny upplaga). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15733-3 .
•   Woods, FS (1901). "Rymden av konstant krökning". Matematikens annaler . 3 (1/4): 71–112. doi : 10.2307/1967636 . JSTOR 1967636 .