Schottky problem

Inom matematiken är Schottky -problemet, uppkallat efter Friedrich Schottky , en klassisk fråga om algebraisk geometri , som ber om en karakterisering av jakobianska sorter bland abelska sorter .

Geometrisk formulering

Mer exakt bör man överväga algebraiska kurvor $C$ för ett givet släkte $g$ , och deras Jacobians $\operatorname {Jac} (C)$ . Det finns ett modulrum ${\mathcal {M}}_{g}$ av sådana kurvor, och ett modulrum av abelska varianter , ${\mathcal {A}}_{g}$ , av dimensionen $g$ , som huvudsakligen är polariserade . Det finns en morfism

$\operatorname {Jac} :{\mathcal {M}}_{g}\to {\mathcal {A}}_{g}$

som på punkter ( geometriska punkter , för att vara mer exakt) tar isomorfismklass $[C]$ till $[\operatörsnamn {Jac} (C)]$ . Innehållet i Torellis sats är att $\operatornamn {Jac}$ är injektiv (återigen, på punkter). Schottky -problemet frågar efter en beskrivning av bilden av $\operatorname {Jac}$ , betecknad ${\mathcal {J}}_{g}=\operatorname { Jac} ({\mathcal {M}}_{g})$ .

Dimensionen för ${\mathcal {M}}_{g}$ är $3g-3$ , för $g\geq 2$ , medan dimensionen för ${\mathcal {A}}_{g}$ är g ( g + 1)/2. Det betyder att måtten är desamma (0, 1, 3, 6) för g = 0, 1, 2, 3. Därför är $g=4$ det första fallet där måtten ändras, och detta studerades av F. Schottky på 1880-talet. Schottky tillämpade theta-konstanter , som är modulära former för Siegels övre halvrum , för att definiera Schottky-lokuset i ${\mathcal {A}}_{g}$ . En mer exakt form av frågan är att avgöra om bilden av $\operatorname {Jac}$ väsentligen sammanfaller med Schottky-lokuset (med andra ord, om det är Zariski tätt där).

Mått 1 fodral

Alla elliptiska kurvor är Jacobian för sig själva, därför är modulstapeln av elliptiska kurvor ${\mathcal {M}}_{1,1}$ en modell för ${\mathcal { A}}_{1}$ .

Mått 2 och 3

När det gäller abelska ytor finns det två typer av abeliaska varianter: jakobiska av en kurva av släkte 2, eller produkten av jakobier av elliptiska kurvor . Det betyder modulutrymmena

${\mathcal {M}}_{2},{\mathcal {M}}_{1,1}\times {\mathcal {M}}_ {1,1}$

bädda in i ${\mathcal {A}}_{2}$ . Det finns en liknande beskrivning för dimension 3 eftersom en Abelsk sort kan vara en produkt av jakobianer.

Periodgitterformulering

Om man beskriver modulutrymmet ${\mathcal {A}}_{g}$ i intuitiva termer, som de parametrar som en abelsk varietet beror på, så frågar Schottky-problemet helt enkelt vilket villkor på parametrarna innebär att den abeliska sorten kommer från en kurvas jakobiska. Det klassiska fallet, över det komplexa talfältet, har fått den största uppmärksamheten, och då är en abelsk variant A helt enkelt en komplex torus av en viss typ, som härrör från ett gitter i C ^g . I relativt konkreta termer frågas det vilka gitter som är periodgitter för kompakta Riemann-ytor .

Riemanns matrisformulering

Observera att en Riemann-matris skiljer sig ganska mycket från alla Riemann-tensorer

Bernhard Riemanns stora framgångar var hans teori om komplexa tori- och thetafunktioner . Med hjälp av Riemann theta-funktionen skrevs nödvändiga och tillräckliga villkor på ett gitter ned av Riemann för att ett gitter i ^Cg skulle få motsvarande torus inbäddad i komplext projektivt utrymme . (Tolkningen kan ha kommit senare, med Solomon Lefschetz , men Riemanns teori var definitiv.) Uppgifterna är vad som nu kallas en Riemann-matris . Därför blir det komplexa Schottky-problemet frågan om att karakterisera periodmatriserna för kompakta Riemann-ytor av släktet g , bildade genom att integrera en bas för de abelska integralerna runt en bas för den första homologigruppen , bland alla Riemann-matriser. Det löstes av Takahiro Shiota 1986.

Problemets geometri

Det finns ett antal geometriska tillvägagångssätt, och frågan har också visat sig implicera Kadomtsev–Petviashvili-ekvationen , relaterad till solitonteorin .

Se även

• Moduli av abelska sorter

•    Beauville, Arnaud (1987), "Le problème de Schottky et la conjecture de Novikov" , Astérisque , Séminaire Bourbaki (152): 101–112, ISSN 0303-1179 , MR 0936851
•   Debarre, Olivier (1995), "The Schottky problem: an update" , Aktuella ämnen i komplex algebraisk geometri (Berkeley, CA, 1992/93), Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol. 28, Cambridge University Press , s. 57–64, MR 1397058
• Geer, G. van der (2001) [1994], "Schottky problem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•   Grushevsky, Samuel (2011), "The Schottky problem" (PDF) , i Caporaso, Lucia ; McKernan, James; Popa, Mihnea; et al. (red.), Current Developments in Algebraic Geometry , MSRI Publications, vol. 59, ISBN 978-0-521-76825-2