Projektiv linjär grupp

Förhållandet mellan den projektiva speciella linjära gruppen PSL och den projektiva allmänna linjära gruppen PGL; varje rad och kolumn är en kort exakt sekvens . Mängden

(F^{*})^{n}

här är avsedd att vara mängden

n

-te potenser.

I matematik , särskilt inom det gruppteoretiska området för algebra , är den projektiva linjära gruppen (även känd som den projektiva allmänna linjära gruppen eller PGL) den inducerade verkan av den allmänna linjära gruppen i ett vektorrum V på det tillhörande projektiva rummet P( V ). Explicit är den projektiva linjära gruppen kvotgruppen

PGL( V ) = GL( V )/Z( V )

där GL( V ) är den allmänna linjära gruppen av V och Z( V ) är undergruppen av alla skalära transformationer som inte är noll av V ; dessa kvoteras ut eftersom de verkar trivialt på det projektiva rummet och de utgör kärnan i handlingen, och notationen "Z" reflekterar att skalära transformationer utgör centrum för den allmänna linjära gruppen.

Den projektiva speciella linjära gruppen , PSL, definieras analogt som den inducerade verkan av den speciella linjära gruppen på det tillhörande projektiva rummet. Explicit:

PSL( V ) = SL( V )/SZ( V )

där SL( V ) är den speciella linjära gruppen över V och SZ( V ) är undergruppen av skalära transformationer med enhetsdeterminant . Här är SZ centrum för SL, och identifieras naturligt med gruppen av n :te enhetsrötter i F ( där n är dimensionen av V och F är basfältet ).

PGL och PSL är några av de grundläggande studiegrupperna, en del av de så kallade klassiska grupperna , och en del av PGL kallas projektiv linjär transformation , projektiv transformation eller homografi . Om V är det n -dimensionella vektorutrymmet över ett fält F , nämligen V = Fn ^de , används också alternativa beteckningarna PGL( n , F ) och PSL( n , F ) .

Observera att PGL( n , F ) och PSL( n , F ) är isomorfa om och endast om varje element i F har en n :te rot i F . Som ett exempel, notera att PGL(2, C ) = PSL(2, C ) , men att PGL(2, R ) > PSL(2, R ) ; detta motsvarar att den verkliga projektiva linjen är orienterbar och att den projektiva speciella linjära gruppen endast är de orienteringsbevarande transformationerna.

PGL och PSL kan också definieras över en ring , med ett viktigt exempel är den modulära gruppen , PSL(2, Z ) .

namn

₀ Namnet kommer från projektiv geometri , där den projektiva gruppen som verkar på homogena koordinater ( x : x ₁ : ... : x _n ) är den underliggande gruppen för geometrin. Uttryckt annorlunda, den naturliga verkan av GL( V ) på V sjunker till en verkan av PGL( V ) på det projektiva rummet P ( V ).

De projektiva linjära grupperna generaliserar därför fallet PGL(2, C ) av Möbius-transformationer (ibland kallad Möbius-gruppen ), som verkar på den projektiva linjen .

Observera att till skillnad från den allmänna linjära gruppen, som generellt definieras axiomatiskt som "inverterbara funktioner som bevarar den linjära (vektorrymden) strukturen", definieras den projektiva linjära gruppen konstruktivt, som en kvot av den allmänna linjära gruppen av det associerade vektorrummet, snarare än axiomatiskt som "inverterbara funktioner som bevarar den projektiva linjära strukturen". Detta återspeglas i notationen: PGL( n , F ) är den grupp som är associerad med GL( n , F ), och är den projektiva linjära gruppen av ( n −1)-dimensionellt projektivt utrymme, inte n -dimensionellt projektivt utrymme.

Kollinationer

En relaterad grupp är kollineringsgruppen , som definieras axiomatiskt. En kollinering är en inverterbar (eller mer allmänt en-till-en) karta som skickar kolinjära punkter till kolinjära punkter. Man kan definiera ett projektivt utrymme axiomatiskt i termer av en incidensstruktur (en uppsättning punkter P, linjer L, och en incidensrelation I som anger vilka punkter som ligger på vilka linjer) som uppfyller vissa axiom – en automorfism av ett projektivt utrymme som sålunda definieras en automorfism f av uppsättningen av punkter och en automorfism g av uppsättningen av linjer, bevarar incidensrelationen, som är exakt en kollination av ett rum till sig själv. Projektiva linjära transformationer är kollineationer (plan i ett vektorrum motsvarar linjer i det associerade projektiva rymden, och linjärtransformerar kartplan till plan, så projektiv linjär transformerar kartlinjer till linjer), men i allmänhet är inte alla kollineationer projektiva linjära transformationer – PGL är i allmänhet en riktig undergrupp av kollinationsgruppen.

Specifikt, för n = 2 (en projektiv linje), är alla punkter kolinjära, så kollineringsgruppen är exakt den symmetriska gruppen av punkterna på den projektiva linjen, och förutom F ₂ och F ₃ (där PGL är den fullständiga symmetriska gruppen ), PGL är en riktig undergrupp av den fullständiga symmetriska gruppen på dessa punkter.

För n ≥ 3 är kolineringsgruppen den projektiva semilinjära gruppen , PΓL – detta är PGL, vriden av fältautomorfismer ; formellt PΓL ≅ PGL ⋊ Gal( K / k ), där k är primfältet för K; detta är den grundläggande satsen för projektiv geometri . För K har vi alltså PGL = PΓL , men för K ett fält med icke-triviala Galois-automorfismer ( som $}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{p^{n$ ₎ för n ≥ 2 eller C ), är den projektiva linjära gruppen en riktig undergrupp av kollineringsgruppen, som kan ses som "transformerar som bevarar en projektiv semi -linjär struktur". På motsvarande sätt motsvarar kvotgruppen PΓL/PGL = Gal( K / k ) "val av linjär struktur", där identiteten (baspunkten) är den existerande linjära strukturen.

Man kan också definiera kollineringsgrupper för axiomatiskt definierade projektiva rum, där det inte finns någon naturlig föreställning om en projektiv linjär transformation. Emellertid, med undantag för de icke-desarguesiska planen , är alla projektiva rum projektivisering av ett linjärt utrymme över en delningsring, men som nämnts ovan finns det flera val av linjär struktur, nämligen en torsor över Gal( K / k ) (för n ≥ 3).

Element

Elementen i den projektiva linjära gruppen kan förstås som att "luta planet" längs en av axlarna, och sedan projicera till det ursprungliga planet, och har även dimension n.

Rotation kring z -axlarna roterar det projektiva planet, medan projektiviseringen av rotationen kring linjer parallella med x- eller y -axlarna ger projektiva rotationer av planet.

Ett mer välbekant geometriskt sätt att förstå de projektiva transformationerna är via projektiva rotationer (elementen i PSO( n +1)), vilket motsvarar den stereografiska projektionen av rotationer av enhetens hypersfär, och har dimensionen $\textstyle {1+2+\cdots +n={\binom {n+1}{2}}}.$ Visuellt motsvarar detta att stå vid utgångspunkten (eller placera en kamera vid utgångspunkten), och vända sin synvinkel och sedan projicera på ett plant plan. Rotationer i axlar vinkelräta mot hyperplanet bevarar hyperplanet och ger en rotation av hyperplanet (ett element av SO( n ), som har dimensionen ${\displaystyle \ textstil {1+2+\cdots +(n-1)={\binom {n}{2}}}.} ),$ medan rotationer i axlar parallella med hyperplanet är korrekta projektiva kartor och står för de återstående n dimensionerna .

Egenskaper

PGL skickar kolinjära punkter till kolinjära punkter (den bevarar projektiva linjer), men det är inte den fullständiga kollineringsgruppen , som istället är antingen PΓL (för n > 2) eller den fullständiga symmetriska gruppen för n = 2 (den projektiva linjen).
Varje ( biregelbunden ) algebraisk automorfism i ett projektivt utrymme är projektivt linjärt. De birationala automorfismerna bildar en större grupp, Cremona-gruppen .
PGL agerar troget på det projektiva rummet: icke-identitetselement agerar icke-trivialt.
Konkret är kärnan i GL:s verkan på projektivt utrymme exakt de skalära kartorna, som kvoteras ut i PGL.
PGL verkar 2-transitivt på projektivt utrymme.
Detta beror på att 2 distinkta punkter i projektiv rymden motsvarar 2 vektorer som inte ligger på ett enda linjärt utrymme, och därför är linjärt oberoende , och GL verkar transitivt på k -elementuppsättningar av linjärt oberoende vektorer.
PGL(2, K ) verkar skarpt 3-transitivt på den projektiva linjen.
3 godtyckliga punkter mappas konventionellt till [0, 1], [1, 1], [1, 0]; i alternativ notation, 0, 1, ∞. I linjär bråktransformationsnotation avbildar funktionen x $\displaystyle {\frac {xa}{xc}}\cdot {\frac {bc}{ba}}}$ a ↦ 0, b ↦ 1, c ↦ ∞, och är den unika kartan som gör det. Detta är korsförhållandet ( $x, b; a, c) -$ se Korsförhållande § Transformationell metod för detaljer.
För n ≥ 3 agerar PGL( n , K ) inte 3-transitivt, eftersom den måste skicka 3 kolinjära punkter till 3 andra kolinjära punkter, inte en godtycklig mängd. För n = 2 är mellanrummet den projektiva linjen, så alla punkter är kolinjära och detta är ingen begränsning.
PGL(2, K ) verkar inte 4-transitivt på den projektiva linjen (förutom PGL(2, 3), eftersom P ¹ (3) har 3+1=4 punkter, så 3-transitiv innebär 4-transitiv); den invariant som bevaras är korsförhållandet , och detta bestämmer vart varannan punkt skickas: att specificera var 3 punkter mappas bestämmer kartan. Det _är således i synnerhet inte den fullständiga kollineringsgruppen för den projektiva linjen (förutom F2 och F3 ) _.
PSL(2, q ) och PGL(2, q ) (för q > 2, och q udda för PSL) är två av de fyra familjerna av Zassenhaus-grupper .
PGL( n , K ) är en algebraisk grupp med dimensionen n ² −1 och en öppen undergrupp av det projektiva rummet P ^{n ² −1} . Såsom definierat , definierar inte funktorn PSL( n , K ) en algebraisk grupp, eller ens en fppf-kärv, och dess sammansättning i fppf-topologin är i själva verket PGL( n , K ).
PSL och PGL är centrumlösa – detta beror på att de diagonala matriserna inte bara är centrum utan också hypercentrum (kvoten för en grupp av dess centrum är inte nödvändigtvis centrumlös).

Linjära fraktionerade transformationer

När det gäller Möbiustransformationer kan gruppen PGL(2, K ) tolkas som linjära fraktionerade transformationer med koefficienter i K . Punkter i den projektiva linjen över K motsvarar par från K ² , där två par är ekvivalenta när de är proportionella. När den andra koordinaten inte är noll kan en punkt representeras av [ z , 1]. När sedan ad – bc ≠ 0 är verkan av PGL(2, K ) genom linjär transformation:

[z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [az+b,\ cz+d]\ =\ \left[{\frac {az+ b}{cz+d}},\ 1\höger].

På detta sätt kan successiva transformationer skrivas som rätt multiplikation av sådana matriser, och matrismultiplikation kan användas för gruppprodukten i PGL(2, K ).

Finita fält

De projektiva speciallinjärgrupperna PSL( n , F _q ) för ett ändligt fält F _q skrivs ofta som PSL( n , q ) eller L _n ( q ). De är ändliga enkla grupper närhelst n är minst 2, med två undantag: L ₂ (2), som är isomorf till S ₃ , den symmetriska gruppen på 3 bokstäver, och är lösbar ; och L ₂ (3), som är isomorf till A ₄ , den alternerande gruppen på 4 bokstäver, och som också är lösbar. Dessa exceptionella isomorfismer kan förstås som att de härrör från verkan på den projektiva linjen .

De speciella linjära grupperna SL( n , q ) är alltså kvasisenkla : perfekta centrala förlängningar av en enkel grupp (om inte n = 2 och q = 2 eller 3).

Historia

Grupperna PSL(2, p ) konstruerades av Évariste Galois på 1830-talet och var den andra familjen av finita enkla grupper , efter de alternerande grupperna . Galois konstruerade dem som linjära fraktionerade transformationer och observerade att de var enkla utom om p var 2 eller 3; detta finns i hans sista brev till Chevalier. I samma brev och bifogade manuskript konstruerade Galois också den allmänna linjära gruppen över ett primfält , GL(ν, p ), när han studerade Galois-gruppen i den allmänna ekvationen för grad p ^ν .

Grupperna PSL( n , q ) (allmänt n , allmänt ändligt fält) konstruerades sedan i den klassiska texten från 1870 av Camille Jordan , Traité des substitutions et des équations algébriques .

Beställa

Ordningen för PGL( n , q ) är

( q ⁿ − 1)( q ⁿ − q )( q ⁿ − q ² ) ⋅⋅⋅ ( q ⁿ − q ^{n −1} )/( q − 1) = q ^{n ² −1} − O( q ^{n ² − 3} ),

som motsvarar ordningen av GL( n , q ) , dividerat med q − 1 för projektivisering; se q -analog för diskussion av sådana formler. Observera att graden är n ² − 1 , vilket stämmer överens med dimensionen som en algebraisk grupp. "O" är för stor O-notation , vilket betyder "termer som involverar lägre ordning". Detta är också lika med ordningen för SL( n , q ) ; att dividera med q − 1 beror på determinanten.

Ordningen för PSL( n , q ) är ovan, dividerat med | SZ( n , q ) | , antalet skalära matriser med determinant 1 – eller ekvivalent dividerat med | F ^× /( F ^× ) ⁿ |, antalet klasser av element som inte har någon n :te rot, eller motsvarande, dividerat med antalet n : te rötter av enhet i F _q .

Exceptionella isomorfismer

Förutom isomorfismerna

L ₂ (2) ≅ S ₃ , L ₂ (3) ≅ A ₄ , och PGL(2, 3) ≅ S ₄ ,

det finns andra exceptionella isomorfismer mellan projektiva speciella linjära grupper och alternerande grupper (dessa grupper är alla enkla, eftersom den alternerande gruppen över 5 eller fler bokstäver är enkel):

L_{2}(4)\cong A_{5}

L_{2}(5)\cong A_{5}

(se här för ett bevis)

L_{2}(9)\cong A_{6}

L_{4}(2)\cong A_{8}.

Isomorfismen L ₂ (9) ≅ A ₆ tillåter en att se den exotiska yttre automorfismen av A ₆ i termer av fältautomorfism och matrisoperationer. Isomorfismen L4 (2) ≅ A8 är av intresse i _strukturen av Mathieu _- gruppen M24 _.

De associerade förlängningarna SL( _n , q ) → PSL( n , q ) täcker grupper av de alternerande grupperna ( universella perfekta centrala förlängningar ) för A4 , A5 , genom unikheten _hos den universella perfekta centrala förlängningen; för L ₂ (9) ≅ A ₆ är den tillhörande förlängningen en perfekt central förlängning, men inte universell: det finns en 3-faldig täckgrupp .

Grupperna över F ₅ har ett antal exceptionella isomorfismer:

PSL(2, 5) ≅ A ₅ ≅ I , den alternerande gruppen på fem element, eller ekvivalent den ikosaedriska gruppen ;

PGL(2, 5) ≅ S ₅ , den symmetriska gruppen på fem element;

SL(2,5) ≅ 2 ⋅ A ₅ ≅ 2 I det dubbla höljet av den alternerande gruppen A ₅ , eller ekvivalent den binära ikosaedriska gruppen .

De kan också användas för att ge en konstruktion av en exotisk karta S ₅ → S ₆ , som beskrivs nedan. Observera dock att GL(2, 5) inte är ett dubbelt hölje av S ₅ , utan snarare ett 4-faldigt hölje.

En ytterligare isomorfism är:

L ₂ (7) ≅ L ₃ (2) är den enkla gruppen av ordning 168, den näst minsta icke-abelska enkla gruppen, och är inte en alternerande grupp; se PSL(2,7) .

Ovanstående exceptionella isomorfismer som involverar de projektiva speciella linjära grupperna är nästan alla de exceptionella isomorfismerna mellan familjer av ändliga enkla grupper; den enda andra exceptionella isomorfismen är PSU(4, 2) ≃ PSp(4, 3), mellan en projektiv speciell enhetlig grupp och en projektiv symplektisk grupp .

Åtgärd på projektiv linje

Några av kartorna ovan kan ses direkt i termer av verkan av PSL och PGL på den tillhörande projektiva linjen: PGL( n , q ) verkar på det projektiva utrymmet P ^{n −1} ( q ), som har ( q ⁿ −1 )/( q −1) punkter, och detta ger en karta från den projektiva linjära gruppen till den symmetriska gruppen på ( q ⁿ −1)/( q −1) punkter. För n = 2 är detta den projektiva linjen P ¹ ( q ) som har ( q ² −1)/( q −1) = q +1 poäng, så det finns en karta PGL(2, q ) → S _{q + 1} .

För att förstå dessa kartor är det användbart att komma ihåg dessa fakta:

Ordningen för PGL(2, q ) är

(q^{2}-1)(q^{2}-q)/(q-1)=q^{3}-q=(q-1)q(q+1);

den ordningen PSL(2, q ) är antingen lika med detta (om egenskapen är 2), eller är hälften av denna (om egenskapen inte är 2).

Den projektiva linjära gruppens verkan på den projektiva linjen är skarpt 3-transitiv ( trogen och 3- transitiv ), så kartan är en-till-en och har bild en 3-transitiv undergrupp.

Bilden är således en 3-transitiv undergrupp av känd ordning, vilket gör att den kan identifieras. Detta ger följande kartor:

PSL(2, 2) = PGL(2, 2) → S3 , av ordningen ₆ , vilket är en isomorfism.
- Den inversa kartan (en projektiv representation av S ₃ ) kan realiseras av den anharmoniska gruppen och ger mer generellt en inbäddning av S ₃ → PGL(2, q ) för alla fält.
PSL(2, 3) < PGL(2, 3) → S ₄ , av ordning 12 och 24, varav den senare är en isomorfism, där PSL(2, 3) är den alternerande gruppen.
- Den anharmoniska gruppen ger en partiell karta i motsatt riktning, avbildar S ₃ → PGL(2, 3) som stabilisator för punkten −1.
₂ , 4) = PGL(2, 4) → S5 , av ordningen ₆₀ , vilket ger den alternerande gruppen A5 .
₎ → S6 , av order 60 _{och 120}_, vilket ger en inbäddning av S5 ₍ respektive A5 ) _som en transitiv undergrupp av S6 (respektive A6 ). Detta är ett exempel på en exotisk karta S ₅ → S ₆ och kan användas för att konstruera den exceptionella yttre automorfismen hos S ₆ . Observera att isomorfismen PGL(2, 5) ≅ S ₅ inte är transparent från denna presentation: det finns ingen särskilt naturlig uppsättning av 5 element som PGL(2, 5) verkar på.

Åtgärd på p -punkter

Medan PSL( n , q ) naturligt verkar på ( q ⁿ −1)/( q −1) = 1+ q +...+ q ^{n −1} poäng, är icke-triviala åtgärder på färre punkter sällsynta. Faktum är att för PSL(2, p ) verkar icke-trivialt på p- punkter om och endast om p = 2, 3, 5, 7 eller 11; för 2 och 3 är gruppen inte enkel, medan för 5, 7 och 11 är gruppen enkel – vidare agerar den inte icke-trivialt på färre än p punkter. Detta observerades först av Évariste Galois i hans sista brev till Chevalier, 1832.

Detta kan analyseras enligt följande; Observera att för 2 och 3 är handlingen inte trogen (det är en icke-trivial kvot, och PSL-gruppen är inte enkel), medan för 5, 7 och 11 är handlingen trogen (eftersom gruppen är enkel och handlingen , och ger en inbäddning i Sp _. I alla utom det sista fallet, PSL(2, 11), motsvarar det en exceptionell isomorfism, där gruppen längst till höger har en uppenbar handling på p- punkter:

$L_{2}(2)\cong S_{3}\twoheadrightarrow S_{2}$ via skyltkartan;
$L_{2}(3)\cong A_{4}\twoheadrightarrow A_{3}\cong C_{3}$ via kvoten av Klein 4 -grupp;
$L_{2}(5)\cong A_{5}.$ För att konstruera en sådan isomorfism måste man betrakta gruppen L ₂ (5) som en Galois-grupp av ett Galois-omslag a ₅ : X (5) → X (1) = P1 , där X ( N ) är en modulär kurva av ^nivå N. Detta omslag är förgrenat på 12 punkter. Den modulära kurvan X(5) har släktet 0 och är isomorf till en sfär över fältet av komplexa tal, och då blir verkan av L ₂ (5) på dessa 12 punkter symmetrigruppen för en ikosaeder . Man måste då överväga verkan av symmetrigruppen av icosahedron på de fem associerade tetraedrarna .
L ₂ (7) ≅ L _{3 (2)}_som verkar på 1+2+4 = 7 punkter i Fano-planet (projektivt plan över F2 ); detta kan också ses som åtgärden på order 2 biplane , som är det komplementära Fano-planet.
L ₂ (11) är mer subtil och utarbetad nedan; den verkar på ordning 3 biplan.

Vidare har L2 (7) och L2 (11) två inekvivalenta handlingar på p _- punkter _; geometriskt realiseras detta genom verkan på ett biplan, som har p- punkter och p- block – aktionen på punkterna och verkan på blocken är båda åtgärder på p -punkter, men inte konjugerade (de har olika punktstabilisatorer); de är istället relaterade till en yttre automorfism av gruppen.

På senare tid har dessa sista tre exceptionella åtgärder tolkats som ett exempel på ADE-klassificeringen : dessa åtgärder motsvarar produkter (som uppsättningar, inte som grupper) av grupperna som A ₄ × Z /5 Z , S ₄ × Z /7 Z , och A ₅ × Z / 11 Z , där grupperna A ₄ , S ₄ och A ₅ är isometrigrupperna för de platoniska fasta ämnena och motsvarar E ₆ , E ₇ och E ₈ under McKay-överensstämmelsen . Dessa tre exceptionella fall realiseras också som polyedrarnas geometrier (motsvarande plattsättningar av Riemann-ytor), respektive: sammansättningen av fem tetraedrar inuti icosahedron (sfär, släkte 0), ordningen 2-biplan (komplementärt Fano-plan ) inuti Klein quartic (släkte 3), och ordningen 3 biplan ( Paley biplane ) inuti buckyballytan (släkte 70).

Handlingen av L ₂ (11) kan ses algebraiskt som på grund av en exceptionell inkludering $L_{2}(5)\hookrightarrow L_{2}(11)$ – det finns två konjugationsklasser av undergrupper av L ₂ (11) som är isomorfa till L ₂ (5), var och en med 11 element: verkan av L ₂ (11) genom konjugering på dessa är en verkan på 11 punkter, och vidare , är de två konjugationsklasserna relaterade till en yttre automorfism av L2 (11) _. (Detsamma gäller för undergrupper av L ₂ (7) som är isomorfa till S ₄ , och detta har också en biplan geometri.)

Geometriskt kan denna åtgärd förstås via en biplansgeometri , som definieras enligt följande. En biplan geometri är en symmetrisk design (en uppsättning punkter och lika många "linjer", eller snarare block) så att varje uppsättning av två punkter finns i två linjer, medan två linjer skär varandra i två punkter; detta liknar ett ändligt projektivt plan, förutom att i stället för två punkter som bestämmer en linje (och två linjer som bestämmer en punkt), bestämmer de två linjer (respektive punkter). I detta fall ( Paley-biplanet , erhållet från Paley-digrafen av ordning 11), är punkterna den affina linjen (det ändliga fältet) F ₁₁ , där den första linjen definieras som de fem andragradsresterna som inte är noll (punkter som är kvadrater: 1, 3, 4, 5, 9), och de andra linjerna är de affina översättningarna av detta (lägg till en konstant till alla punkter). L ₂ (11) är då isomorf till undergruppen av S ₁₁ som bevarar denna geometri (sänder linjer till linjer), vilket ger en uppsättning av 11 punkter som den verkar på – i själva verket två: punkterna eller linjerna, vilket motsvarar yttre automorfism – medan L ₂ (5) är stabilisatorn för en given linje, eller dubbelt av en given punkt.

Mer överraskande har coset-utrymmet L ₂ (11)/ Z /11 Z , som har ordningen 660/11 = 60 (och på vilket den icosahedriska gruppen verkar) naturligtvis strukturen av en buckeyball , som används i konstruktionen av buckyball yta .

Mathieu-grupper

Gruppen PSL(3, 4) kan användas för att konstruera _Mathieu -gruppen M24 , en av de sporadiska enkla grupperna ; i detta sammanhang hänvisar man till PSL(3, 4) som M ₂₁ , även om det inte riktigt är en Mathieu-grupp i sig. Man börjar med det projektiva planet över fältet med fyra element, vilket är ett Steinersystem av typen S(2, 5, 21) – vilket betyder att det har 21 punkter, varje linje ("block", i Steinerterminologi) har 5 punkter , och vilka 2 punkter som helst bestämmer en linje – och på vilken PSL(3, 4) agerar. Man kallar detta Steiner-system W ₂₁ ("W" för Witt ), och expanderar det sedan till ett större Steiner-system W ₂₄ , och expanderar symmetrigruppen längs vägen: till den projektiva generella linjära gruppen PGL(3, 4), sedan till den projektiva semilinjära gruppen PΓL(3, 4), och slutligen till Mathieu-gruppen M ₂₄ .

M24 innehåller också kopior av PSL(2, 11), som är maximal i M22, _och PSL(2,23), som är maximal i M24, _och_kan användas för att konstruera _M24 .

Hurwitz ytor

Vissa PSL-grupper uppstår som automorfismgrupper av Hurwitz-ytor, dvs. som kvoter av (2,3,7) triangelgruppen , som är symmetrierna av ordningen-3 halverade heptagonala plattor .

PSL-grupper uppstår som Hurwitz-grupper (automorfismgrupper av Hurwitz-ytor – algebraiska kurvor med maximal möjlig symmetrigrupp). Hurwitz-ytan av det lägsta släktet, Klein-kvarten (släkte 3), har automorfismgrupp isomorf till PSL(2, 7) (motsvarande GL(3, 2)), medan Hurwitz-ytan av det näst lägsta släktet, Macbeath- ytan ( släkte 7), har automorfismgrupp isomorf till PSL(2, 8).

Faktum är att många men inte alla enkla grupper uppstår som Hurwitz-grupper (inklusive monstergruppen, men inte alla alternerande grupper eller sporadiska grupper), även om PSL är känd för att inkludera de minsta sådana grupperna.

Modulär grupp

Grupperna PSL(2, Z / n Z ) uppstår när man studerar den modulära gruppen , PSL(2, Z ), som kvotienter genom att reducera alla element mod n ; kärnorna kallas för de huvudsakliga kongruensundergrupperna .

En anmärkningsvärd undergrupp av den projektiva allmänna linjära gruppen PGL(2, Z ) (och av den projektiva speciallinjära gruppen PSL(2, Z [ i ])) är symmetrierna för mängden {0, 1, ∞} ⊂ P ¹ ( C ) som är känd som den anharmoniska gruppen och uppstår som symmetrierna för de sex korsförhållandena . Undergruppen kan uttryckas som linjära fraktionerade transformationer eller representeras (icke-unik) av matriser, som:

$x$	$1/(1-x)$	$(x-1)/x$
${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

$1/x$	$1-x$	$x/(x-1)$
${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}-i&i\\0&i\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}i&0\\i&-i\end{pmatrix}}$

Observera att den översta raden är identiteten och de två 3-cyklerna, och är orienteringsbevarande, och bildar en undergrupp i PSL(2, Z ), medan den nedre raden är de tre 2-cyklerna och är i PGL(2, Z ) och PSL(2, Z [ i ]), men inte i PSL(2, Z ), realiseras därför antingen som matriser med determinant −1 och heltalskoefficienter, eller som matriser med determinant 1 och Gaussiska heltalskoefficienter .

Detta mappar till symmetrierna för {0, 1, ∞} ⊂ P ¹ ( n ) under reduktionsmod n . Noterbart, för n = 2, mappar denna undergrupp isomorft till PGL(2, Z / 2Z ) = PSL(2, _Z / 2Z ) ≅ S3 , och tillhandahåller således en delande ${\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbf {Z} /2)\hookrightarrow \operatorname {PGL} (2,\mathbf {Z} )} för$ kvotkartan $\operatörsnamn {PGL} (2,\mathbf {Z} )\twoheadrightarrow \operatörsnamn {PGL} (2,\mathbf {Z} /2).$

Undergrupperna av stabilisatorn för {0, 1, ∞} stabiliserar ytterligare punkterna {−1, 1/2, 2} och {ζ ₋ , ζ ₊ }.

De fasta punkterna för båda 3-cyklerna är de "mest symmetriska" korsförhållandena, $e^{\pm i\pi /3}={\tfrac { 1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i$ , lösningarna till $x^{2}-x+1$ ( primitiven sjätte rötter till enhet ). 2-cyklerna utbyter dessa, som de gör andra punkter än deras fixpunkter, vilket realiserar kvotkartan S ₃ → S ₂ genom gruppaktionen på dessa två punkter. Det vill säga, undergruppen C ₃ < S ₃ som består av identiteten och 3-cyklerna, {(), (0 1 ∞), (0 ∞ 1)}, fixerar dessa två punkter, medan de andra elementen byter ut dem.

De individuella 2-cyklernas fixpunkter är −1, 1/2, 2, och denna uppsättning bevaras och permuteras också av 3-cyklerna. Detta motsvarar verkan av S ₃ på 2-cyklerna (dess Sylow 2-undergrupper ) genom konjugation och realiserar isomorfismen med gruppen av inre automorfismer , $S_{3}{\overset {\sim }{\to }}\operatörsnamn {Inn} (S_{3})\cong S_{3}.$

Geometriskt kan detta visualiseras som rotationsgruppen för den triangulära bipyramiden , som är isomorf till den dihedriska gruppen i triangeln $D_{3}\cong S_{3}$ ; se anharmonisk grupp .

Topologi

Över de reella och komplexa talen kan topologin för PGL och PSL bestämmas från fiberbuntarna som definierar dem:

{\begin{matrix}\mathrm {Z} &\cong &K^{*}&\to &\ mathrm {GL} &\to &\mathrm {PGL} \\\mathrm {SZ} &\cong &\mu _{n}&\to &\mathrm {SL} &\to &\mathrm {PSL} \end {matris}}

via den långa exakta sekvensen av en fibration .

För både realerna och komplexen är SL ett täckande utrymme av PSL, med antalet ark lika med antalet n :te rötter i K ; sålunda är i synnerhet alla deras högre homotopigrupper överens. För reals är SL ett dubbelt omslag av PSL för n jämnt, och är ett dubbelt omslag för n udda, dvs en isomorfism:

{±1} → SL(2 n , R ) → PSL(2 n , R )

\operatörsnamn {SL} (2n+1,\mathbf {R} ){\overset {\sim }{\to }}\operatörsnamn {PSL} (2n+1,\mathbf {R} )

För komplexen är SL en n -faldig täckning av PSL.

För PGL, för realerna, är fibern R * ≅ {±1}, så upp till homotopi är GL → PGL ett dubbelt täckande utrymme, och alla högre homotopigrupper är överens.

För PGL över komplexen är fibern C * ≅ S ¹ , så upp till homotopi är GL → PGL en cirkelbunt. De högre homotopigrupperna i cirkeln försvinner, så homotopigrupperna för GL( n , C ) och PGL( n , C ) överensstämmer för n ≥ 3. Faktum är att π ₂ alltid försvinner för Lie-grupper, så homotopigrupperna överensstämmer för n ≥ 2. För n = 1 har vi att π ₁ (GL( n , C )) = π ₁ ( S ¹ ) = Z . Grundgruppen av PGL( 2 , C ) är en finit cyklisk grupp av ordning 2.

Täcker grupper

Över de reella och komplexa talen är de projektiva speciella linjära grupperna de minimala ( centrumlösa ) Lie-grupprealisationerna för den speciella linjära Lie-algebra ${\mathfrak {sl}}(n)\colon$ varje ansluten Lie-grupp vars Lie-algebra är ${\mathfrak {sl}}(n)$ är en cover av PSL( n , F ). Omvänt är dess universella täckande grupp det maximala ( enkelt anslutna ) elementet, och de mellanliggande realiseringarna bildar ett gitter av täckande grupper .

Till exempel har SL(2, R ) centrum {±1} och grundgrupp Z , och har således universellt hölje SL(2, R ) och täcker den mittlösa PSL(2, R ).

Representationsteori

En projektiv representation av G kan dras tillbaka till en linjär representation av en central förlängning C av G.

En grupphomomorfism G → PGL( V ) från en grupp G till en projektiv linjär grupp kallas en projektiv representation av gruppen G, i analogi med en linjär representation (en homomorfism G → GL( V )). Dessa studerades av Issai Schur , som visade att projektiva representationer av G kan klassificeras i termer av linjära representationer av centrala förlängningar av G. Detta ledde till Schur-multiplikatorn , som används för att lösa denna fråga.

Låga mått

Den projektiva linjära gruppen studeras mestadels för n ≥ 2, även om den kan definieras för låga dimensioner.

⁰ För n = 0 (eller faktiskt n < 0) är det projektiva utrymmet för K tomt, eftersom det inte finns några 1-dimensionella delrum i ett 0-dimensionellt utrymme. Således är PGL(0, K ) den triviala gruppen, bestående av den unika tomma kartan från den tomma mängden till sig själv. Vidare är verkan av skalärer på ett 0-dimensionellt utrymme trivial, så kartan K* → GL(0, K ) är trivial, snarare än en inkludering eftersom den är i högre dimensioner.

För n = 1 är det projektiva utrymmet för K ¹ en enda punkt, eftersom det finns ett enda 1-dimensionellt delrum. Således är PGL(1, K ) den triviala gruppen, bestående av den unika kartan från en singeluppsättning till sig själv. Vidare är den allmänna linjära gruppen för ett 1-dimensionellt utrymme exakt skalärerna, så kartan $K^{*}{\overset {\sim }{\to } }\operatörsnamn {GL} (1,K)$ är en isomorfism, som motsvarar att PGL(1, K ) := GL(1, K )/ K* ≅ {1} är trivial.

För n = 2 är PGL(2, K ) icke-trivial, men är ovanlig genom att den är 3-transitiv, till skillnad från högre dimensioner när den bara är 2-transitiv.

Exempel

PSL(2,7)
Modulär grupp , PSL(2, Z )
PSL(2,R)
Möbius group , PGL(2, C ) = PSL(2, C )

Undergrupper

Projektiv ortogonal grupp , PO – maximal kompakt undergrupp av PGL
Projektiv enhetsgrupp , PU
Projektiv speciell ortogonal grupp , PSO – maximal kompakt undergrupp av PSL
Projective special unitary group , PSU

Större grupper

Den projektiva linjära gruppen ingår i större grupper, särskilt:

Projektiv semilinjär grupp , PΓL, som tillåter fältautomorfismer .
Cremona-grupp , Cr ( P ⁿ ( k )) av birational automorfismer ; all biregulär automorfism är linjär, så PGL sammanfaller med gruppen av biregulära automorfismer.

Se även

Anteckningar

Grove, Larry C. (2002), Klassiska grupper och geometrisk algebra , Graduate Studies in Mathematics, vol. 39, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2019-3 , MR 1859189