Enkel lögnalgebra

I algebra är en enkel Lie-algebra en Lie-algebra som är icke-abelisk och inte innehåller några egentliga ideal som inte är noll. Klassificeringen av riktiga enkla Lie-algebror är en av Wilhelm Killings och Élie Cartans stora framgångar .

En direkt summa av enkla Lie-algebra kallas en semisimple Lie-algebra .

En enkel Lie-grupp är en sammankopplad Lie-grupp vars Lie-algebra är enkel.

Komplexa enkla Lie-algebror

En änddimensionell enkel komplex Lie-algebra är isomorf till något av följande: ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} } ,$ s $\displaystyle {\ mathfrak {so}}_{n}\mathbb {C} }$ , ${\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C}$ ( klassisk Lie algebras ) eller en av fem exceptionella Lie-algebror .

Till varje änddimensionellt komplex halvenkel Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ finns det ett motsvarande diagram (kallat Dynkin-diagram ) där noderna betecknar de enkla rötterna, noderna är sammanfogade (eller inte sammanfogade) med ett antal linjer beroende på vinklarna mellan de enkla rötterna och pilarna sätts för att indikera om rötterna är längre eller kortare. Dynkin-diagrammet för ${\mathfrak {g}}$ är anslutet om och endast om ${\mathfrak {g}}$ är enkelt. Alla möjliga anslutna Dynkin-diagram är följande:

där n är antalet noder (de enkla rötterna). Överensstämmelsen mellan diagrammen och komplexa enkla Lie-algebror är som följer:

(A _n )

\quad {\mathfrak {sl}}_{n+1}\mathbb {C}

(B _n )

\quad {\mathfrak {so}}_{2n+1}\mathbb {C}

(C _n )

\quad {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C}

(D _n )

\quad {\mathfrak {so}}_{2n}\mathbb {C}

Resten, exceptionella Lie-algebror .

Riktigt enkla Lie-algebror

Om ${\mathfrak {g}}_{0}$ är en änddimensionell verklig enkel Lie-algebra, är dess komplexisering antingen (1) enkel eller (2) en produkt av en enkel komplex Lie-algebra och dess konjugat . Till exempel är komplexiseringen av ${\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C}$ tänkt som en riktig Lie-algebra ${\ displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} \times {\overline {{\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }}}$ . Således kan en verklig enkel Lie-algebra klassificeras genom klassificeringen av komplexa enkla Lie-algebra och lite ytterligare information. Detta kan göras med Satake-diagram som generaliserar Dynkin-diagram . Se även Tabell över Lie-grupper#Real Lie-algebror för en ofullständig lista över riktiga enkla Lie-algebror.

Anteckningar

Se även

Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Representationsteori. En första kurs . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 .
Jacobson, Nathan, Lie algebras , republikering av 1962 års original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4 ; Kapitel X behandlar en klassificering av enkla Lie-algebror över ett fält med karakteristik noll.

"Lie algebra, semi-simple" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Enkel Lie-algebra på n Lab