Semilinjär karta

I linjär algebra , särskilt projektiv geometri , är en halvlinjär karta mellan vektorutrymmena V och W över ett fält K en funktion som är en linjär karta "upp till en vridning", därav semi -linjär, där "twist" betyder " fältautomorfism av K ". Explicit är det en funktion T : V → W som är:

additiv med avseende på vektoraddition: $T(v+v')=T(v)+T(v')$
det finns en fältautomorfism θ av K så att ${\displaystyle T(\lambda v)=\lambda ^{\theta }T(v)} ,$ där ${\ displaystyle \lambda ^{\theta }}$ är bilden av skalären $\lambda$ under automorfismen. Om en sådan automorfism existerar och T inte är noll är den unik och T kallas θ -semilinjär.

Där domänen och kodomänen är samma utrymme (dvs. T : V → V ), kan det kallas en semilinjär transformation . De inverterbara halvlinjära transformationerna av ett givet vektorrum V (för alla val av fältautomorfism) bildar en grupp, kallad den allmänna halvlinjära gruppen och betecknad $\operatorname {\Gamma L} (V),$ i analogi med och utvidga den allmänna linjära gruppen . Det speciella fallet där fältet är de komplexa talen $ℂ$ och automorfismen är komplex konjugation , en semilinjär karta kallas en antilinjär karta .

Liknande notation (som ersätter latinska tecken med grekiska) används för halvlinjära analoger av mer begränsad linjär transformation; formellt den halvdirekta produkten av en linjär grupp med Galois-gruppen av fältautomorfism. Till exempel används PΣU för de semilinjära analogerna av den projektiva speciella enhetsgruppen PSU. Notera dock att det först nyligen har märkts att dessa generaliserade semilinjära grupper inte är väldefinierade, som påpekats i ( Bray, Holt & Roney-Dougal 2009) – isomorfa klassiska grupper G och H (undergrupper av SL) kan ha icke- isomorfa halvlinjära förlängningar. På nivån för halvdirekta produkter motsvarar detta Galois-gruppens olika åtgärder på en given abstrakt grupp, en halvdirekt produkt beroende på två grupper och en handling. Om förlängningen är icke-unik, finns det exakt två halvlinjära förlängningar; till exempel har symplektiska grupper en unik semilinjär förlängning, medan SU( n , q ) har två förlängningar om n är jämn och q är udda, och likaså för PSU.

Definition

En karta $f : V \to W$ för vektorutrymmen $V$ och $W$ över fälten $K$ respektive $L$ är $σ$ -semilinjär, eller helt enkelt halvlinjär , om det finns en fälthomomorfism $σ : K \to L$ så att för alla $x$ , $y$ i $V$ och $λ$ i $K$ håller det

$f(x+y)=f(x)+f(y),$
$f(\lambda x)=\sigma (\lambda )f(x).$

En given inbäddning av $σ$ av ett fält $K$ i $L$ tillåter oss att identifiera $K$ med ett underfält av $L$ , vilket gör en $σ$ -semilinjär karta till en K - linjär karta under denna identifiering. En karta som är $τ$ -semilinjär för en distinkt inbäddning $τ \neq σ$ kommer emellertid inte att vara K -linjär med avseende på den ursprungliga identifieringen $σ$ , om inte $f$ är identiskt noll.

Mer generellt är en karta ψ $: M \to N mellan$ en höger $R$ - modul $M$ och en vänster $S$ -modul $N$ σ - $halvlinjär$ om det finns en ringantihomomorfism $σ : R \to S$ sådan att för alla $x$ , $y$ i $M$ och $λ$ i $R$ gäller det

$\psi (x+y)=\psi (x)+\psi (y),$
$\psi (x\lambda )=\sigma (\lambda )\psi (x).$

Termen semilinjär gäller för alla kombinationer av vänster och höger moduler med lämplig justering av ovanstående uttryck, där $σ$ är en homomorfism efter behov.

Paret $(ψ, σ)$ kallas en dimorfism .

Relaterad

Transponera

Låt $\sigma :R\to S$ vara en ringisomorfism, $M$ en höger $R$ -modul och $N$ en höger ${\ displaystyle S}$ -modul, och $\psi :M\to N$ en $\sigma$ -semilinjär karta. Definiera transponeringen av $\psi$ som mappningen ${}^{t}\psi :N^{*}\to M^{*}$ som uppfyller

\langle y,\psi (x)\rangle =\sigma \left(\left\langle {}^{\text{t}}\psi (y),x\right\rangle \right)\quad {\text{ för alla }}y\in N^{*},{\text{ och alla }}x\in M.

Detta är en

\sigma ^{-1}

-semilinjär karta.

Egenskaper

Låt $\sigma :R\to S$ vara en ringisomorfism, $M$ en höger $R$ -modul och $N$ en höger ${\ displaystyle S}$ -modul, och $\psi :M\to N$ en $\sigma$ -semilinjär karta. Kartläggningen

M\to R:x\mapsto \sigma ^{-1}(\langle y,\psi ( x)\rangle ),\quad y\in N^{*}

definierar en

R

-linjär form.

Exempel

Låt $K=\mathbf {C} ,V=\mathbf {C} ^{n},$ med standardbas $e_{1 },\ldots ,e_{n}$ . Definiera kartan $f\colon V\to V$ med
$f\left( \sum _{i=1}^{n}z_{i}e_{i}\right)=\summa _{i=1}^{n}{\bar {z}}_{i}e_{i }$

f är halvlinjär (med avseende på det komplexa konjugationsfältet automorfism) men inte linjär.

Låt $K=\operatörsnamn {GF} (q)$ – Galois ordningsfält $q=p^{i}$ , p egenskapen. Låt $\ell ^{\theta }=\ell ^{p}$ . Genom Freshmans dröm är det känt att detta är en fältautomorfism. Till varje linjär karta $f\colon V\to W$ mellan vektorrymden V och W över K kan vi upprätta en $\theta$ -semilinjär karta
${\widetilde {f}}\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}e_{i}\right):=f\left(\sum _{i= 1}^{n}\ell _{i}^{\theta }e_{i}\right).$

Faktum är att varje linjär karta kan omvandlas till en halvlinjär karta på ett sådant sätt. Detta är en del av en allmän observation som samlats in i följande resultat.

Låt $R$ vara en icke-kommutativ ring, $M$ en vänster $R$ -modul och $\alpha$ ett inverterbart element av $R$ . Definiera kartan $\varphi \colon M\to M\colon x\mapsto \alpha x$ , så $\varphi (\lambda u)=\alpha \lambda u=(\alpha \lambda \alpha ^{-1})\alpha u=\sigma ( \lambda )\varphi (u)$ , och $\sigma$ är en inre automorfism av $R$ . Homoteten $x\mapsto \alpha x$ behöver alltså inte vara en linjär karta, utan är σ $\displaystyle \sigma }$ -semilinjär.

Allmän halvlinjär grupp

Givet ett vektorrum V är mängden av alla inverterbara halvlinjära transformationer V → V (över alla fältautomorfismer) gruppen ΓL( V ).

Givet ett vektorrum V över K , bryts ΓL( V ) ned som den halvdirekta produkten

\operatörsnamn {\Gamma L} (V)=\operatörsnamn {GL} (V)\rtider \operatörsnamn {Aut} (K ),

där Aut( K ) är automorfismerna av K . På liknande sätt kan halvlinjära transformationer av andra linjära grupper definieras som den semidirekta produkten med automorfismgruppen, eller mer inneboende som gruppen av halvlinjära kartor av ett vektorrum som bevarar vissa egenskaper.

Vi identifierar Aut( K ) med en undergrupp av ΓL( V ) genom att fixera en bas B för V och definiera de halvlinjära kartorna:

\sum _{b\in B}\ell _{b}b\mapsto \sum _{b\in B}\ell _{ b}^{\sigma }b

för alla $\sigma \in \operatörsnamn {Aut} (K)$ . Vi kommer att beteckna denna undergrupp med Aut ( K ) _B. Vi ser också att dessa komplement till GL( V ) i ΓL( V ) åtgärdas regelbundet av GL( V ) eftersom de motsvarar en förändring av grunden .

Bevis

Varje linjär karta är halvlinjär, alltså $\operatorname {GL} (V)\leq \operatorname {\Gamma L} (V)$ . Fixa en bas B för V . Givet nu vilken semilinjär karta f som helst med avseende på en fältautomorfism σ ∈ Aut( K ) , definiera sedan g : V → V med

g\left(\sum _{b\in B}\ell _{b}b\right):=\summa _{b\in B}f\left(\ell _{b}^{\sigma ^{-1}}b\right)=\summa _{b\in B}\ell _{b}f(b)

Eftersom f ( B ) också är en bas för V , följer att g helt enkelt är ett basutbyte av V och så linjärt och inverterbart: g ∈ GL( V ) .

Ställ in $h:=fg^{-1}$ . För varje $v=\sum _{b\in B}\ell _{b}b$ i V ,

hv=fg^{-1}v=\summa _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma } b

h är alltså i Aut( K )-undergruppen i förhållande till den fasta basen B. Denna faktorisering är unik för den fasta basen B. Dessutom normaliseras GL( V ) av verkan av Aut( K ) _B , så ΓL( V ) = GL( V ) ⋊ Aut( K ) .

Ansökningar

Projektiv geometri

Grupperna $\operatorname {\Gamma L} (V)$ utökar de typiska klassiska grupperna i GL( V ). Vikten av att överväga sådana kartor följer av övervägandet av projektiv geometri . Den inducerade verkan av $\operatorname {\Gamma L} (V)$ på det associerade projektiva utrymmet P( V ) ger den projektiva halvlinjära gruppen , betecknad ${\displaystyle \operatorname {P\Gamma L} (V)} ,$ förlänger den projektiva linjära gruppen , PGL( V ).

Den projektiva geometrin för ett vektorrum V , betecknat PG( V ), är gittret för alla delrum av V . Även om den typiska halvlinjära kartan inte är en linjär karta, följer det att varje halvlinjär karta $f\colon V\to W$ inducerar en ordningsbevarande karta $f\colon \operatörsnamn {PG} (V)\till \operatörsnamn {PG} (W)$ . Det vill säga, varje semilinjär karta inducerar en projektivitet . Motsatsen till denna observation (förutom den projektiva linjen) är den grundläggande satsen för projektiv geometri . Sålunda är semilinjära kartor användbara eftersom de definierar automorfismgruppen för den projektiva geometrin i ett vektorrum.

Mathieu-gruppen

Gruppen PΓL(3,4) kan användas för att konstruera Mathieu-gruppen M ₂₄ , som är en av de sporadiska enkla grupperna ; PΓL(3,4) är en maximal undergrupp av M ₂₄ , och det finns många sätt att utöka den till hela Mathieu-gruppen.

Se även

Assmus, EF; Key, JD (1994), Designs and Their Codes , Cambridge University Press , sid. 93, ISBN 0-521-45839-0
Bourbaki, Nicolas (1989) [1970]. Algebra I Kapitel 1-3 [ Algèbre: Chapitres 1 à 3 ] (PDF) . Éléments de mathématique . Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5 . OCLC 18588156 .
Bray, John N.; Holt, Derek F.; Roney-Dougal, Colva M. (2009), "Certain classical groups are not well-defined", Journal of Group Theory , 12 (2): 171–180, doi : 10.1515/jgt.2008.069 , ISSN 1433-5883 , MR 2502211
Faure, Claude-Alain; Frölicher, Alfred (2000), Modern Projective Geometry , Kluwer Academic Publishers , ISBN 0-7923-6525-9
Gruenberg, KW; Weir, AJ (1977), Linear Geometry , Graduate Texts in Mathematics, vol. 49 (första upplagan), Springer-Verlag New York
Trèves, François (2006) [1967]. Topologiska vektorutrymmen, distributioner och kärnor . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .

Den här artikeln innehåller material från halvlinjär transformation på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike License .