Centrum (gruppteori)

Cayley-tabell för D ₄ som visar element i mitten, {e, a ² }, pendlar med alla andra element (detta kan ses genom att notera att alla förekomster av ett givet mittelement är ordnade symmetriskt kring centrumdiagonalen eller genom att notera att rad och kolumn som börjar med ett givet mittelement är transponeringar av varandra).
∘	e	b	a	en ²	en ³	ab	a ² b	a ³ b
e	e	b	a	en ²	en ³	ab	a ² b	a ³ b
b	b	e	a ³ b	a ² b	ab	en ³	en ²	a
a	a	ab	en ²	en ³	e	a ² b	a ³ b	b
en ²	en ²	a ² b	en ³	e	a	a ³ b	b	ab
en ³	en ³	a ³ b	e	a	en ²	b	ab	a ² b
ab	ab	a	b	a ³ b	a ² b	e	en ³	en ²
a ² b	a ² b	en ²	ab	b	a ³ b	a	e	en ³
a ³ b	a ³ b	en ³	a ² b	ab	b	en ²	a	e

I abstrakt algebra är mitten av en grupp , $G$ , uppsättningen av element som pendlar med varje element i $G.$ Det betecknas $Z(G)$ , från tyska Zentrum , som betyder centrum . I set-builder-notation ,

Z(G) = {z \inG | \forall g \in G, zg = gz}

.

Mitten är en normal undergrupp , $Z(G) ⊲G$ . Som en undergrupp är den alltid karakteristisk , men är inte nödvändigtvis helt karakteristisk . Kvotgruppen , $G /Z(G)$ , är isomorf till den inre automorfismgruppen , Inn $(G)$ .

En grupp $G$ är abelisk om och endast om $Z(G) = G$ . I den andra ytterligheten sägs en grupp vara centrumlös om $Z(G)$ är trivial ; dvs består endast av identitetselementet .

Delarna i centrum kallas ibland centrala .

Som en undergrupp

Mitten av G är alltid en undergrupp av $G$ . Särskilt:

$Z(G)$ innehåller identitetselementet för $G$ , eftersom det pendlar med varje element i $g$ , per definition: $eg = g = ge$ , där $e$ är identiteten;
Om $x$ och $y$ är i $Z(G)$ så är $xy det också$ , genom associativitet: $(xy) g = x (yg) = x (gy) = (xg) y = (gx) y = g (xy)$ för varje $g \in G$ ; dvs $Z(G)$ är stängd;
Om $x$ är i $Z(G)$ så är det $x -1$ eftersom, för alla $g$ i $G$ , $x -1$ pendlar med $g$ : $(gx = xg) \Rightarrow (x -1 gxx -1 = x -1 xgx -1) \Rightarrow (x -1 g = gx -1)$ .

Dessutom är mitten av $G$ alltid en normal undergrupp av $G$ . Eftersom alla element i $Z(G)$ pendlar stängs den under konjugation .

Observera att en homomorfism $f : G \to H$ mellan grupper i allmänhet inte begränsar till en homomorfism mellan deras centra. Även om $f (Z (G))$ pendlar med $f (G)$ , såvida inte $f$ är surjektiv behöver $f (Z (G))$ inte pendla med hela $H$ och behöver därför inte vara en delmängd av $Z (H)$ . Med andra ord finns det ingen "center"-funktion mellan kategorierna Grp och Ab. Även om vi kan kartlägga objekt kan vi inte kartlägga pilar.

Konjugationsklasser och centraliserare

Per definition är centrum den uppsättning element för vilka konjugationsklassen för varje element är själva elementet; dvs $Cl(g) = {g}$ .

Centrum är också skärningspunkten mellan alla centraliserare för varje element i $G.$ Eftersom centraliserare är undergrupper visar detta återigen att centret är en undergrupp.

Konjugation

Betrakta kartan, $f : G \to Aut(G)$ , från $G$ till automorfismgruppen av $G$ definierad av $f (g) = ϕ g$ , där $ϕ g$ är automorfismen av $G$ definierad av

f (g)(h) = ϕ g (h) = ghg ​​-1

.

Funktionen $f$ är en grupphomomorfism , och dess kärna är just mitten av $G$ , och dess bild kallas den inre automorfismgruppen av $G$ , betecknad $Inn(G)$ . Genom den första isomorfismsatsen får vi,

G /Z(G) ≃ Inn(G)

.

Kokärnan i denna karta är gruppen $Out(G)$ av yttre automorfismer , och dessa bildar den exakta sekvensen

1 ⟶ Z(G) ⟶ G ⟶ Aut(G) ⟶ Out(G) ⟶ 1

.

Exempel

Centrum för en abelsk grupp, G $,$ är hela $G.$
Mitten av Heisenberg-gruppen , $H$ , är uppsättningen matriser av formen: ${\begin{pmatrix}1&0&z\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$
Centrum för en icke-abelsk enkel grupp är trivial.
Mitten av den dihedriska gruppen, Dn $, är$ trivialt för udda $n \geq3$ . För även $n \geq 4$ består mitten av identitetselementet tillsammans med polygonens 180° rotation .
Kvaterniongruppens centrum , $Q 8 = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}$ , är ${1, -1}$ .
Den symmetriska gruppens centrum , $S n$ , är trivialt för $n \geq 3$ .
Mitten av den alternerande gruppen , $A n$ , är trivialt för $n \geq 4$ .
Mitten av den generella linjära gruppen över ett fält $F$ , $GL n (F)$ , är samlingen av skalära matriser , ${ sI n ∣ s ∈ F \ {0} }$ .
Mitten av den ortogonala gruppen , $O n (F)$ är ${I n, -I n}$ .
Centrum för den speciella ortogonala gruppen , $SO(n)$ är hela gruppen när $n = 2$ , och annars ${I n, -I n}$ när n är jämnt och trivialt när n är udda.
Mitten av den enhetliga gruppen , $U(n)$ är $\left\{e^{i\theta } \cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}$ .
Mitten av den speciella enhetsgruppen , $\operatorname {SU} (n)$ är ${\textstil \left\lbrace e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta ={\frac {2k\pi }{n}},k=0,1,\dots ,n -1\höger\rbrace }$ .
Mitten av den multiplikativa gruppen av kvaternioner som inte är noll är den multiplikativa gruppen av reella tal som inte är noll .
Med hjälp av klassekvationen kan man bevisa att mitten av en icke-trivial ändlig p-grupp är icke-trivial.
Om kvotgruppen $G /Z(G)$ är cyklisk , är $G$ abelsk (och följaktligen $G = Z(G)$ , så $G /Z(G)$ är trivial).
Mitten av megaminxgruppen är en cyklisk grupp av ordning 2, och mitten av kilominxgruppen är trivialt.

Högre centra

Att kvotera ut med mitten av en grupp ger en sekvens av grupper som kallas den övre centrala serien :

000 (G = G) ⟶ (G 1 = G /Z(G)) ⟶ (G 2 = G 1 /Z(G 1)) ⟶ \dots

Kärnan i kartan $G \to Gi,$ är det $i :$ te mitten av $G$ ( andra mitten , tredje mitten etc.) och betecknas $Z i (G)$ . Konkret är ( $i + 1$ )-st mitten de termer som pendlar med alla element upp till ett element i det $i:$ te centret. Efter denna definition kan man definiera det 0:e centret i en grupp som identitetsundergruppen. Detta kan fortsättas till transfinita ordinaler genom transfinit induktion ; föreningen av alla högre centra kallas hypercenter .

Den stigande kedjan av undergrupper

1 \leq Z(G) \leq Z 2 (G) \leq \dots

stabiliseras vid i (motsvarande $. Zi (G) = Zi +1 (G)$ ) om och endast om $Gi mittlös$ är

Exempel

För en centerlös grupp är alla högre centra noll, vilket är fallet $0 Z (G) = Z1 (G) för$ stabilisering.
Enligt Grüns lemma är kvoten för en perfekt grupp efter dess centrum centrumlös, därför är alla högre centra lika med centrum. Detta är ett fall av stabilisering vid $Z 1 (G) = Z 2 (G)$ .

Se även

Anteckningar

Fraleigh, John B. (2014). En första kurs i abstrakt algebra (7 uppl.). Pearson. ISBN 978-1-292-02496-7 .

externa länkar

"Centre of a group" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]

^ Ellis, Graham (1 februari 1998). "På grupper med en ändlig nilpotent övre central kvot" . Archiv der Mathematik . 70 (2): 89–96. doi : 10.1007/s000130050169 . ISSN 1420-8938 .
^ Ellis, Graham (1 februari 1998). "På grupper med en ändlig nilpotent övre central kvot" . Archiv der Mathematik . 70 (2): 89–96. doi : 10.1007/s000130050169 . ISSN 1420-8938 .

[1] Ellis, Graham (1 februari 1998). "På grupper med en ändlig nilpotent övre central kvot" . Archiv der Mathematik . 70 (2): 89–96. doi : 10.1007/s000130050169 . ISSN 1420-8938 .

[2] Ellis, Graham (1 februari 1998). "På grupper med en ändlig nilpotent övre central kvot" . Archiv der Mathematik . 70 (2): 89–96. doi : 10.1007/s000130050169 . ISSN 1420-8938 .