(2,3,7) triangelgrupp

I teorin om Riemann-ytor och hyperbolisk geometri är triangelgruppen (2,3,7 ) särskilt viktig. Denna betydelse härrör från dess koppling till Hurwitz-ytor , nämligen Riemann-ytor av släktet g med största möjliga ordning, 84( g − 1), av dess automorfismgrupp.

En notering om terminologi – "(2,3,7) triangelgruppen" hänvisar oftast, inte till hela triangelgruppen Δ(2,3,7) (Coxeter-gruppen med Schwarz-triangeln (2,3,7) eller en realisering som en hyperbolisk reflektionsgrupp ), utan snarare till den vanliga triangelgruppen ( von Dyck-gruppen ) D (2,3,7) av orienteringsbevarande kartor (rotationsgruppen), som är index 2.

Torsionsfria normala undergrupper av triangelgruppen (2,3,7) är fuchsiska grupper associerade med Hurwitz-ytor , såsom Klein-kvartiken , Macbeath-ytan och First Hurwitz-tripletten .

Konstruktioner

Hyperbolisk konstruktion

Triangelgruppen (2,3,7) är gruppen av orienteringsbevarande isometrier av plattsättningen av (2,3,7) Schwarz-triangeln , som visas här i en Poincaré-skivmodellprojektion .

För att konstruera triangelgruppen, börja med en hyperbolisk triangel med vinklarna π/2, π/3 och π/7. Denna triangel, den minsta hyperboliska Schwarz-triangeln , belägger planet med reflektioner i dess sidor. Betrakta då gruppen som genereras av reflektioner i triangelns sidor, som (eftersom triangelbrickorna) är en icke-euklidisk kristallografisk grupp (en diskret undergrupp av hyperboliska isometrier) med denna triangel för fundamental domän ; den associerade plattsättningen är ordningen-3 halvdelad heptagonal plattsättning . Triangelgruppen (2,3,7) definieras som index 2-undergrupperna som består av de orienteringsbevarande isometrierna, som är en fuchsisk grupp (orienteringsbevarande NEC-grupp).

Enhetliga sjukantiga/triangulära plattor
Symmetri: $[7,3], (*732)$							$[7,3] +, (732)$


${7,3}$	$t{7,3}$	$r{7,3}$	$t{3,7}$	${3,7}$	$rr{7,3}$	$tr{7,3}$	$sr{7,3}$
Uniforma dualer


$V7 3$	$V3.14.14$	$V3.7.3.7$	$V6.6.7$	$V3 7$	$V3.4.7.4$	$V4.6.14$	$V3.3.3.3.7$

Grupppresentation

Den har en presentation i termer av ett par generatorer, g ₂ , g ₃ , modulo följande relationer:

g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^ {7}=1.

Geometriskt motsvarar dessa rotationer med ${\frac {2\pi }{2}},{\frac {2\pi }{3}}$ och ${\ displaystyle {\frac {2\pi }{7}}}$ om hörn i Schwarz-triangeln.

Kvaternionalgebra

Triangelgruppen (2,3,7) tillåter en presentation i termer av gruppen av kvartjoner av norm 1 i lämplig ordning i en kvartjonalgebra . Närmare bestämt är triangelgruppen kvoten av gruppen av kvaternioner med dess centrum ±1.

Låt η = 2cos(2π/7). Sedan från identiteten

(2-\eta )^{3}=7(\eta -1)^{2}.

vi ser att Q (η) är en helt reell kubisk förlängning av Q . Den hyperboliska triangelgruppen (2,3,7 ) är en undergrupp av gruppen av norm 1-element i kvartjonalgebra genererad som en associativ algebra av paret av generatorer i , j och relationer i ² = j ² = η , ij = − ji . Man väljer en lämplig Hurwitz quaternion order ${\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }$ i quaternion algebra. Här genereras ordningen ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }} av element$

g_{2}={\tfrac {1}{\eta }}ij

g_{3}={\tfrac {1}{2}}(1+(\eta ^{2}-2)j+(3-\eta ^{2})ij).

Faktum är att beställningen är en gratis Z [η]-modul över basen $1,g_{2},g_{3},g_{2}g_{ 3}$ . Här tillfredsställer generatorerna relationerna

g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3}) ^{7}=-1,\,

som går ner till lämpliga relationer i triangelgruppen, efter kvotering med mitten.

Relation till SL(2,R)

Visualisering av kartan (2,3,∞) → (2,3,7) genom att morphing de associerade plattsättningarna.

Om man förlänger skalärerna från Q (η) till R (via standardinbäddningen), erhåller man en isomorfism mellan quaternionalgebra och algebra M(2, R ) av reella 2 gånger 2 matriser. Genom att välja en konkret isomorfism kan man visa triangelgruppen (2,3,7) som en specifik fuchsisk grupp i SL(2, R ) , specifikt som en kvot av den modulära gruppen . Detta kan visualiseras av de tillhörande plattsättningarna, som avbildas till höger: plattsättningen (2,3,7) på Poincaré-skivan är en kvot av den modulära plattsättningen på det övre halvplanet.

Men för många ändamål är explicita isomorfismer onödiga. Således kan spår av gruppelement (och därmed även translationslängder av hyperboliska element som verkar i det övre halvplanet , såväl som systoler av fuchsiska undergrupper) beräknas med hjälp av det reducerade spåret i kvartärnionalgebran och formeln

\operatörsnamn {tr} (\gamma )=2\cosh(\ell _{\gamma }/2).

Vidare läsning

Elkies, ND (1998). "Shimura-kurvberäkningar". I Buhler, JP (red.). Algoritmisk talteori. ANTS 1998 . Föreläsningsanteckningar i datavetenskap. Vol. 1423. Springer. s. 1–47. arXiv : math.NT/0005160 . doi : 10.1007/BFb0054850 . ISBN 978-3-540-69113-6 .
Katz, M.; Schaps, M.; Vishne, U. (2007). "Logaritmisk tillväxt av systole av aritmetiska Riemann-ytor längs kongruensundergrupper". J. Differential Geom. 76 (3): 399–422. arXiv : math.DG/0505007 .