Icke-desarguesiskt plan

Inom matematiken är ett icke-Desarguesiskt plan ett projektivt plan som inte uppfyller Desargues sats (uppkallat efter Girard Desargues ) , eller med andra ord ett plan som inte är ett Desarguesiskt plan . Desargues sats är sann i alla projektiva rum av dimension inte 2; med andra ord, de enda projektiva utrymmena med dimension som inte är lika med 2 är de klassiska projektiva geometrierna över ett fält (eller divisionsring ). David Hilbert fann dock att vissa projektiva plan inte uppfyller det. Det nuvarande kunskapsläget för dessa exempel är inte fullständigt.

Exempel

Det finns många exempel på både finita och oändliga icke-desarguesiska plan. Några av de kända exemplen på oändliga icke-desarguesiska plan inkluderar:

• Moultonplanet . _
• Moufang-plan över alternativa delningsringar som inte är associativa, såsom det projektiva planet över oktonionerna . Eftersom alla finita alternativa divisionsringar är fält ( Artin–Zorns sats ) , är de enda icke-Desarguesiska Moufang-planen oändliga.

När det gäller finita icke-desarguesiska plan är varje projektivt ordningsplan högst 8 desarguesiskt, men det finns tre icke-desarguesiska exempel på ordning 9, var och en med 91 punkter och 91 linjer. Dom är:

• Hughes ordningsplan 9.
• Hallplanet av ordning 9 . Ursprungligen upptäcktes av Veblen och Wedderburn , detta plan generaliserades till en oändlig familj av plan av Marshall Hall . Hallplan är en underklass till de mer allmänna André-planen .
• Dualen av Hall-planet av ordning 9 .

Många andra konstruktioner av både finita och oändliga icke-desarguesiska plan är kända, se till exempel Dembowski (1968) . Alla kända konstruktioner av finita icke-desarguesiska plan producerar plan vars ordning är en egentlig primpotens, det vill säga ett heltal av formen p ^e , där p är ett primtal och e är ett heltal större än 1.

Klassificering

Hanfried Lenz gav ett klassificeringsschema för projektiva plan 1954, vilket förfinades av Adriano Barlotti 1957. Detta klassificeringsschema är baserat på de typer av punkt-linje transitivitet som tillåts av planets kollineringsgrupp och är känt som Lenz -Barlotti klassificering av projektiva plan . Listan på 53 typer finns i Dembowski (1968 , s.124–5) och en tabell över de då kända existensresultaten (för både kollineringsgrupper och plan som har en sådan kollineringsgrupp) i både det finita och oändliga fallet finns på sid. 126. Från och med 2007, "36 av dem existerar som ändliga grupper. Mellan 7 och 12 existerar som ändliga projektiva plan, och antingen 14 eller 15 existerar som oändliga projektiva plan."

Andra klassificeringssystem finns. En av de enklaste är baserad på speciella typer av planar ternära ringar (PTR) som kan användas för att koordinera det projektiva planet. Dessa typer är fält , skevfält , alternativa divisionsringar , halvfält , närfält , högra närfält , kvasifält och högra kvasifält .

Koner och ovaler

I ett desarguesiskt projektivt plan kan en kon definieras på flera olika sätt som kan bevisas vara likvärdiga. I icke-desarguesiska plan är dessa bevis inte längre giltiga och de olika definitionerna kan ge upphov till icke-ekvivalenta objekt. Theodore G. Ostrom hade föreslagit namnet konisk för dessa koniska figurer men gav ingen formell definition och termen verkar inte vara allmänt använd.

Det finns flera sätt som koner kan definieras i desarguesiska plan:

1. Uppsättningen av absoluta punkter för en polaritet är känd som en von Staudt-konisk . Om planet definieras över ett fält med karakteristiska två, erhålls endast degenererade koner .
2. Uppsättningen av skärningspunkter för motsvarande linjer av två pennor som är projektivt, men inte perspektiviskt, relaterade är känd som en Steiner-konisk . Om pennorna är perspektivrelaterade är koniken degenererad.
3. Den uppsättning punkter vars koordinater uppfyller en irreducerbar homogen ekvation av grad två.

Dessutom, i ett ändligt desarguesiskt plan:

4. En uppsättning av q + 1 poäng, inga tre kolinjära i PG(2, q ) kallas oval . Om q är udda, enligt Segres sats , är en oval i PG(2, q ) en konisk, i betydelsen 3 ovan.
5. En Ostrom-konisk är baserad på en generalisering av övertonsmängder.

Artzy har gett ett exempel på en Steiner-konisk i ett Moufang-plan som inte är en von Staudt-konisk. Garner ger ett exempel på en von Staudt-konisk som inte är en Ostrom-konisk i ett ändligt halvfältsplan.

Anteckningar

• Albert, A. Adrian; Sandler, Reuben (1968), An Introduction to Finite Projective Planes , New York: Holt, Rinehart och Winston
•   Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Handbook of Combinatorial Designs (2nd ed.), Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, ISBN 1-58488-506-8
• Dembowski, Peter (1968), Finite Geometries , Berlin: Springer Verlag
•    ) , "Projective planes", Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 54 (2): 229–277, doi : 10.2307/1990331 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 19903300 , 890331  
•   Hughes, Daniel R.; Piper, Fred C. (1973), Projective Planes , New York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90044-6
•   Kárteszi, F. (1976), Introduction to Finite Geometries , Amsterdam: North-Holland, ISBN 0-7204-2832-7
•   Lüneburg, Heinz (1980), Translation Planes , Berlin: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
•   Rum, TG; Kirkpatrick, PB (1971), Miniquaternion Geometry , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-07926-8
• Sidorov, LA (2001) [1994], "Non-Desarguesian geometri" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•   Stevenson, Frederick W. (1972), Projective Planes , San Francisco: WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9
• Weibel, Charles (2007), "Survey of Non-Desarguesian Planes" , Notices of the AMS , 54 (10): 1294–1303