Monstergrupp

Den här artikeln handlar om den största av de sporadiska ändliga enkla grupperna. För den typ av oändlig grupp som kallas en Tarski-monstergrupp, se Tarski-monstergrupp .

      

Inom området för abstrakt algebra, känd som gruppteori , är monstergruppen M (även känd som Fischer-Griess-monstret eller den vänliga jätten ) den största sporadiska enkla gruppen , med ordningen 2 ⁴⁶ · 3 ²⁰ · 5 ⁹ · 7 ⁶ · 11 ² · 13 ³ · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 = 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368 000 000 000 000 ^{000 °} C

De ändliga enkla grupperna har klassificerats fullständigt . Varje sådan grupp tillhör en av 18 räkningsbart oändliga familjer, eller är en av 26 sporadiska grupper som inte följer ett sådant systematiskt mönster. Monstergruppen innehåller 20 sporadiska grupper (inklusive sig själv) som underkvoter . Robert Griess , som bevisade monstrets existens 1982, har kallat dessa 20 grupper för den lyckliga familjen , och de återstående sex undantagen paria .

Det är svårt att ge en bra konstruktiv definition av monstret på grund av dess komplexitet. Martin Gardner skrev en populär redogörelse för monstergruppen i sin spalt i juni 1980 Mathematical Games i Scientific American .

Historia

Monstret förutspåddes av Bernd Fischer (opublicerat, cirka 1973) och Robert Griess som en enkel grupp som innehöll ett dubbelt omslag av Fischers babymonstergrupp som en centraliserare av en involution . Inom några månader hittades M-ordningen av Griess med Thompson-ordningsformeln och Fischer, Conway , Norton och Thompson upptäckte andra grupper som subkvotienter, inklusive många av de kända sporadiska grupperna, och två nya: Thompson-gruppen och Harada –Norton-gruppen . Monsterets teckentabell , beräknades 1979 av Fischer och Donald Livingstone med hjälp av datorprogram skrivna av Michael Thorne. Det var inte klart på 1970-talet om monstret faktiskt existerade. Griess konstruerade M som automorfismgruppen i Griess-algebra , en 196 884-dimensionell kommutativ icke-associativ algebra över de reella talen; han tillkännagav först sin konstruktion i Ann Arbor den 14 januari 1980. I sin tidning från 1982 hänvisade han till monstret som den vänliga jätten, men detta namn har inte antagits allmänt. John Conway och Jacques Tits förenklade sedan denna konstruktion.

Griess konstruktion visade att monstret finns. Thompson visade att dess unikhet (som en enkel grupp som uppfyller vissa villkor som kommer från klassificeringen av ändliga enkla grupper) skulle följa av existensen av en 196 883-dimensionell trogen representation . Ett bevis på existensen av en sådan representation tillkännagavs av Norton , även om han aldrig har publicerat detaljerna. Griess, Meierfrankenfeld och Segev gav det första fullständiga publicerade beviset på monstrets unika karaktär (mer exakt visade de att en grupp med samma centraliserare av involutioner som monstret är isomorf till monstret).

Monstret var en kulmen på utvecklingen av sporadiska enkla grupper och kan byggas från två av tre subkvotienter: Fischer-gruppen Fi ₂₄ , babymonstret och Conway-gruppen Co ₁ .

Schur -multiplikatorn och den yttre automorfismgruppen av monstret är båda triviala .

Framställningar

Den minimala graden av en trogen komplex representation är 47 × 59 × 71 = 196 883, därför är produkten av de tre största primtalsdivisorerna i storleksordningen M. Den minsta trogna linjära representationen över något fält har dimensionen 196 882 över fältet med två element , bara en mindre än dimensionen av den minsta trogna komplexa representationen.

Den minsta trogna permutationsrepresentationen av monstret är på 2 ⁴ · 3 ⁷ · 5 ³ · 7 ⁴ · 11 · 13 ² · 29 · 41 · 59 · 71 (cirka 10 ²⁰ ) punkter.

Monstret kan realiseras som en Galois-grupp över de rationella siffrorna , och som en Hurwitz-grupp .

Monstret är ovanligt bland enkla grupper eftersom det inte finns något känt enkelt sätt att representera dess element. Detta beror inte så mycket på dess storlek som på frånvaron av "små" representationer. Till exempel är de enkla grupperna A ₁₀₀ och SL ₂₀ (2) mycket större, men lätta att beräkna med då de har "små" permutationer eller linjära representationer. Alternerande grupper , såsom A ₁₀₀ , har permutationsrepresentationer som är "små" jämfört med gruppens storlek, och alla finita enkla grupper av Lie-typ , såsom SL ₂₀ (2), har linjära representationer som är "små" jämfört till gruppens storlek. Alla sporadiska grupper förutom monstret har också linjära representationer som är tillräckligt små för att de är lätta att arbeta med på en dator (näst svåraste fallet efter monstret är babymonstret, med en representation av dimensionen 4370).

En datorkonstruktion

Robert A. Wilson har explicit (med hjälp av en dator) hittat två inverterbara 196 882 gånger 196 882 matriser (med element i ordningsfältet 2 ) som tillsammans genererar monstergruppen genom matrismultiplikation; detta är en dimension lägre än den 196 883-dimensionella representationen i karakteristik 0. Att utföra beräkningar med dessa matriser är möjligt men är för dyrt i termer av tid och lagringsutrymme för att vara användbart, eftersom varje sådan matris upptar över fyra och en halv gigabyte.

Wilson hävdar att den bästa beskrivningen av monstret är att säga, "Det är automorfismgruppen av monstervertexalgebra " . Detta är dock inte mycket hjälp, eftersom ingen har hittat en "riktigt enkel och naturlig konstruktion av monstervertexalgebra".

Wilson med medarbetare har hittat en metod för att utföra beräkningar med monstret som är betydligt snabbare. Låt V vara ett 196 882 dimensionellt vektorutrymme över fältet med 2 element. En stor undergrupp H (helst en maximal undergrupp) av Monster väljs där det är lätt att utföra beräkningar. Den valda undergruppen H är 3 ¹⁺¹² .2.Suz.2, där Suz är Suzuki-gruppen . Element av monstret lagras som ord i elementen i H och en extra generator T . Det går ganska snabbt att beräkna verkan av ett av dessa ord på en vektor i V . Med den här åtgärden är det möjligt att utföra beräkningar (som ordningen på ett element i monstret). Wilson har uppvisat vektorerna u och v vars ledstabilisator är den triviala gruppen. Således (till exempel) kan man beräkna ordningen för ett element g i monstret genom att hitta det minsta i > 0 så att g ⁱ u = u och g ⁱ v = v .

Denna och liknande konstruktioner (i olika egenskaper ) har använts för att hitta några av dess icke-lokala maximala undergrupper.

Martin Seysen har implementerat ett snabbt Python- paket vid namn mmgroup, som påstår sig vara den första implementeringen av monstergruppen där godtyckliga operationer effektivt kan utföras. Dokumentationen anger att multiplikation av gruppelement tar mindre än 40 millisekunder på en typisk modern PC, vilket är fem storleksordningar snabbare än vad Robert A. Wilson uppskattade 2013.

Månsken

Huvudartikel: Monstruus månsken

Monstergruppen är en av två huvudbeståndsdelar i den monstruösa månskensförmodan av Conway och Norton, som relaterar diskret och icke-diskret matematik och som slutligen bevisades av Richard Borcherds 1992.

I den här inställningen är monstergruppen synlig som automorfismgruppen för monstermodulen , en vertexoperatoralgebra , en oändlig dimensionell algebra som innehåller Griess-algebra, och verkar på monster Lie-algebra , en generaliserad Kac–Moody-algebra .

Många matematiker, inklusive Conway, har sett monstret som ett vackert och fortfarande mystiskt föremål. Conway sa om monstergruppen: "Det har aldrig funnits någon form av förklaring till varför den är där, och den är uppenbarligen inte där bara av en slump. Den har för många spännande egenskaper för att det bara ska vara en olycka." Simon P. Norton , en expert på monstergruppens egenskaper, citeras för att säga: "Jag kan förklara vad Monstrous Moonshine är i en mening, det är Guds röst."

McKays E ₈ observation

Det finns också kopplingar mellan monstret och de utökade Dynkin-diagrammen ${\tilde {E}}_{8},$ specifikt mellan diagrammets noder och vissa konjugationsklasser i monstret, kända som McKay's E ₈ observation . Detta utökas sedan till en relation mellan de utökade diagrammen ${\tilde {E}}_{6},{\tilde {E}}_{7},{ \tilde {E}}_{8}$ och grupperna 3.Fi ₂₄ ′, 2.B och M, där dessa är (3/2/1-faldiga centrala förlängningar) av Fischer-gruppen , babymonstergrupp , och monster. Dessa är de sporadiska grupperna som är associerade med centraliserare av element av typ 1A, 2A och 3A i monstret, och ordningen på förlängningen motsvarar diagrammets symmetri. Se ADE-klassificering: treenigheter för ytterligare kopplingar (av McKay-korrespondenstyp ), inklusive (för monstret) med den ganska lilla enkla gruppen PSL (2,11) och med de 120 tritangenta planen i en kanonisk sextisk kurva av släkte 4 känd som Brings kurva .

Maximala undergrupper

Diagram över de 26 sporadiska enkla grupperna, som visar underkvotssamband.

Monsteret har minst 44 konjugationsklasser av maximala undergrupper . Icke-abelska enkla grupper av ett 60-tal isomorfismtyper finns som undergrupper eller som kvoter av undergrupper. Den största alternerande gruppen som är representerad är A ₁₂ . Monsteret innehåller 20 av de 26 sporadiska grupperna som underkvoter. Det här diagrammet, baserat på ett i boken Symmetry and the Monster av Mark Ronan , visar hur de passar ihop. Linjerna betecknar inkludering, som en underkvot, av den nedre gruppen av den övre. De inringade symbolerna anger grupper som inte är involverade i större sporadiska grupper. För tydlighetens skull visas inte redundanta inneslutningar.

Fyrtiofyra av klasserna av maximala undergrupper av monstret ges av följande lista, som (från och med 2016) tros vara komplett förutom möjligen för nästan enkla undergrupper med icke-abelska enkla sokler av formen L 2 ( ₁₃ ) U3 (4) eller U3 ₍ 8) _. Tabeller över maximala undergrupper har dock ofta visat sig innehålla subtila fel, och i synnerhet har åtminstone två av undergrupperna på listan nedan felaktigt utelämnats från några tidigare listor.

•   2.B centraliserare av en involution; innehåller normaliseraren (47:23) × 2 av en Sylow 47-undergrupp
•   2 ¹⁺²⁴ .Co ₁ centraliserare av en involution
•   3.Fi ₂₄ normaliserare av en undergrupp av ordning 3; innehåller normaliseraren ((29:14) × 3).2 för en Sylow 29-undergrupp
•   2 ² . ² E ₆ (2 ² ): S ₃ normaliserare av en Klein 4-grupp
• 2 ¹⁰⁺¹⁶ .O ₁₀₊ (2 ⁾
•   22 + 11 ⁺²² _. (M24xS3) _{normaliserare} av en Klein 4-grupp; innehåller normaliseraren (23:11) × S ₄ för en Sylow 23-undergrupp
•   3 ¹⁺¹² .2Suz.2 normaliserare av en undergrupp av ordning 3
• 2 ^5+10+20 .(S ₃ × L ₅ (2))
•   S ₃ × Th normaliserare av en undergrupp av ordning 3; innehåller normaliseraren (31:15) × S ₃ för en Sylow 31-undergrupp
• 2 ^3+6+12+18 .(L ₃ (2) × 3S ₆ )
• 3 ⁸ .O ₈ ⁻ (3).2 ₃
•   (D ₁₀ × HN).2 normaliserare av en undergrupp av ordning 5
• (3 ² : 2 x O ₈ ⁺ (3)). S ₄
• 3 ²⁺⁵⁺¹⁰ .(M ₁₁ × 2S ₄ )
• 3 ^3+2+6+6 :(L ₃ (3) × SD ₁₆ )
•   5 ¹⁺⁶ :2J ₂ :4 normaliserare av en undergrupp av ordning 5
•   (7:3 × He):2 normaliserare av en undergrupp av ordning 7
• ( _A5 × A12 ₎ :2
• 5 ³⁺³ .(2 × L ₃ (5))
• (A ₆ × A ₆ × A ₆ ).(2 × S ₄ )
•   (A ₅ × U ₃ (8):3 ₁ ):2 innehåller normaliseraren ((19:9) × A ₅ ):2 för en Sylow 19-undergrupp
• 5 ²⁺²⁺⁴ :(S ₃ × GL ₂ (5))
•   (L ₃ (2) × S ₄ (4):2).2 innehåller normaliseraren ((17:8) × L ₃ (2)).2 för en Sylow 17-undergrupp
•   7 ¹⁺⁴ :(3 × 2S ₇ ) normaliserare av en undergrupp av ordning 7
• (5 ² :4,2 ² × U ₃ (5)).S ₃
•   (L ₂ (11) × M ₁₂ ):2 innehåller normaliseraren (11:5 × M ₁₂ ):2 för en undergrupp av ordning 11
• ( _A7 × (A5 _× A5 ₎ :22 ⁾ :2
• 5 ⁴ :(3 × 2L ₂ (25)):2 ₂
• 7 ²⁺¹⁺² :GL ₂ (7)
• M ₁₁ × A _{6 ,} 2 ²
• (S ₅ × S ₅ × S ₅ ): S ₃
• (L2 ₍ 11) x L2 ₍ 11)):4
• 13 ² : 2 L ₂ (13).4
• ( ⁷² _: (3x2A4 )xL2 (7)): ₂
•   (13:6 × L ₃ (3)).2 normaliserare av en undergrupp av ordning 13
•   13 ¹⁺² :(3 × 4S ₄ ) normaliserare av en undergrupp av ordning 13; normaliserare av en Sylow 13-undergrupp
•   L ₂ (71) innehåller normaliseraren 71:35 för en Sylow 71-undergrupp
•   L ₂ (59) innehåller normaliseraren 59:29 för en Sylow 59-undergrupp
•   11 ² :(5 × 2A ₅ ) normaliserare av en Sylow 11-undergrupp.
•   L ₂ (41) Norton och Wilson hittade en maximal undergrupp av denna form; på grund av ett subtilt fel påpekat av Zavarnitsine uppgav vissa tidigare listor och artiklar att ingen sådan maximal undergrupp existerade
• L2 ₍ 29):2  
•   7 ² :SL ₂ (7) detta utelämnades av misstag från några tidigare listor med 7-lokala undergrupper
• L2 ₍ 19):2  
•   41:40 normaliserare för en Sylow 41-undergrupp

Se även

• Supersingular primtal , primtalen som delar ordningen på monstret

Källor

• Borcherds, Richard E. (oktober 2002). "Vad är... Monstret?" (PDF) . Meddelanden från American Mathematical Society . 49 (9).
• le Bruyn, Lieven (22 april 2009). "Monstergrafen och McKays observation" . oändliga böcker .
•    Conway, John Horton (1985). "En enkel konstruktion för monstergruppen Fischer–Griess". Inventiones Mathematicae . 79 (3): 513–540. Bibcode : 1985InMat..79..513C . doi : 10.1007/BF01388521 . MR 0782233 . S2CID 123340529 .
• Conway, John Horton ; Norton, Simon P. (1979). "Monstruös månsken". Bulletin från London Mathematical Society . 11 (3): 308–339. doi : 10.1112/blms/11.3.308 .
• Duncan, John F. (2008). "Aritmetiska grupper och det affina E8 Dynkin-diagrammet". arXiv : 0810.1465 [ RT math. RT ].
•    Gardner, Martin (1980). "Matematiska spel". Scientific American . Vol. 242, nr. 6. s. 20–33. ISSN 0036-8733 . JSTOR 24966339 .
•    Griess, Robert L. (1976). "Strukturen av monster enkla gruppen". I Scott, W. Richard; Gross, Fletcher (red.). Proceedings of the Conference on Finite Groups (Univ. Utah, 1975) . Boston, MA: Academic Press . s. 113–118. ISBN 978-012633650-4 . MR 0399248 .
•    Griess, Robert L. (1982). "Den vänliga jätten" (PDF) . Inventiones Mathematicae . 69 (1): 1–102. Bibcode : 1982InMat..69....1G . doi : 10.1007/BF01389186 . hdl : 2027.42/46608 . MR 0671653 . S2CID 123597150 .
•    Griess, Robert L.; Meierfrankenfeld, Ulrich; Segev, Yoav (1989). "Ett unikt bevis för monstret". Annals of Mathematics . Andra serien. 130 (3): 567–602. doi : 10.2307/1971455 . JSTOR 1971455 . MR 1025167 .
• Haran, Brady (2014). Life, Death and the Monster (John Conway) . Numberphile – via YouTube .
• Han, Yang-Hui ; McKay, John (25 maj 2015). "Spadisk och exceptionell". arXiv : 1505.06742 [ AG math. AG ].
•   Holmes, Petra E.; Wilson, Robert A. (2002). "En ny maximal undergrupp av monstret" . Journal of Algebra . 251 (1): 435–447. doi : 10.1006/jabr.2001.9037 . MR 1900293 .
•   Holmes, Petra E.; Wilson, Robert A. (2004). "PSL ₂ (59) är en undergrupp till Monster". Journal of the London Mathematical Society . Andra serien. 69 (1): 141–152. doi : 10.1112/S0024610703004915 . MR 2025332 .
•   Holmes, Petra E.; Wilson, Robert A. (2008). "På undergrupper av monstret som innehåller A ₅ :or" . Journal of Algebra . 319 (7): 2653–2667. doi : 10.1016/j.jalgebra.2003.11.014 . MR 2397402 .
• Masters, Alexander (22 februari 2019). "Simon Norton dödsruna" . The Guardian .
•    Norton, Simon P. (1985). "Det unika med Fischer-Griess-monstret". Finita grupper – bli myndig (Montreal, Que., 1982) . Contemp. Matematik. Vol. 45. Providence RI: American Mathematical Society . s. 271–285. doi : 10.1090/conm/045/822242 . ISBN 978-082185047-3 . MR 0822242 .
• Norton, Simon P.; Wilson, Robert A. (2013). "En korrigering av monstrets 41-struktur, en konstruktion av en ny maximal undergrupp L2(41) och ett nytt Moonshine-fenomen" ( PDF) . Journal of the London Mathematical Society . Andra serien. 87 (3): 943–962. doi : 10.1112/jlms/jds078 .
• Roberts, Siobhan (2013). Kuriosa: Jaga monstret . Institutet för avancerade studier.
•   Ronan, M. (2006). Symmetri och monstret . Oxford University Press. ISBN 019280722-6 .
•   Thompson, John G. (1979). "Unikiteten hos Fischer-Griess-monstret". The Bulletin of the London Mathematical Society . 11 (3): 340–346. doi : 10.1112/blms/11.3.340 . MR 0554400 .
•   Thompson, John G. (1984). "Några finita grupper som visas som Gal L / K , där K ⊆ Q(μ _n )" . Journal of Algebra . 89 (2): 437–499. doi : 10.1016/0021-8693(84)90228-X . MR 0751155 .
•    Tits, Jacques (1983). "Le Monstre (d'après R. Griess, B. Fischer et al.)" . Astérisque (121): 105–122. MR 0768956 . Zbl 0548.20010 .
•    Tits, Jacques (1984). "På R. Griess "vänliga jätte" " . Inventiones Mathematicae . 78 (3): 491–499. Bibcode : 1984InMat..78..491T . doi : 10.1007/BF01388446 . MR 0768989 . S2CID 122379975 .
•   Wilson, Robert A. (2001). "Monstret är en Hurwitz-grupp" . Tidskrift för gruppteori . 4 (4): 367–374. doi : 10.1515/jgth.2001.027 . MR 1859175 . Arkiverad från originalet 2012-03-05.
•    Wilson, Robert A. (2010). "Nya beräkningar i monstret". Moonshine: det första kvartstalet och därefter . London Math. Soc. Föreläsningsanteckning Ser. Vol. 372. Cambridge University Press . s. 393–403. ISBN 978-052110664-1 . MR 2681789 .
•   Wilson, Robert A. (2016). "Är Suzuki-gruppen Sz(8) en undergrupp till Monster?" (PDF) . Bulletin från London Mathematical Society . 48 (2): 355–364. doi : 10.1112/blms/bdw012 . MR 3483073 .

Vidare läsning

•   Conway, JH ; Curtis, RT; Norton, SP ; Parker, RA ; Wilson, RA (1985). Atlas över ändliga grupper: Maximala undergrupper och vanliga tecken för enkla grupper . med beräkningshjälp från JG Thackray. Oxford University Press. ISBN 978-019853199-9 .
•   Harada, Koichiro (2001). "Monstrets matematik". Sugaku-utställningar . 14 (1): 55–71. MR 1690763 .
• Holmes, PE; Wilson, RA (2003). "En datorkonstruktion av monstret med 2-lokala undergrupper". Journal of the London Mathematical Society . 67 (2): 346–364. doi : 10.1112/S0024610702003976 .
•   Holmes, Petra E. (2008). "En klassificering av undergrupper av Monster isomorphic till S ₄ och en applikation" . Journal of Algebra . 319 (8): 3089–3099. doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.01.031 . MR 2408306 .
•   Ivanov, AA (2009). Monstergruppen och Majorana Involutions . Cambridge traktater i matematik. Vol. 176. Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511576812 . ISBN 978-052188994-0 .
•    Norton, Simon P. (1998). "Monstrets anatomi. I". Atlasen över ändliga grupper: tio år senare (Birmingham, 1995) . London Math. Soc. Föreläsningsanteckning Ser. Vol. 249. Cambridge University Press . s. 198–214. doi : 10.1017/CBO9780511565830.020 . ISBN 978-052157587-4 . MR 1647423 .
•   Norton, Simon P.; Wilson, Robert A. (2002). "Monstrets anatomi. II". Proceedings of the London Mathematical Society . Tredje serien. 84 (3): 581–598. doi : 10.1112/S0024611502013357 . MR 1888424 .
•    du Sautoy, Marcus (2008). Hitta Moonshine . Fjärde ståndet. ISBN 978-000721461-7 . publicerad i USA av HarperCollins som Symmetry , ISBN 978-006078940-4 ).
• Wilson, RA; Walsh, PG; Parker, RA; Linton, SA (1998). "Datorkonstruktion av monstret". Tidskrift för gruppteori . 1 (4): 307-337. doi : 10.1515/jgth.1998.023 .
• McKay, John; He, Yang-Hui (2022). "Kashiwa föreläser om "Nya tillvägagångssätt för monstret" " . Meddelanden från ICCM .

externa länkar

• Vad är... Monstret? av Richard E. Borcherds , Notices of the American Mathematical Society , oktober 2002 1077
• MathWorld: Monstergruppen
• Atlas of Finite Group Representations: Monstergrupp
• Scientific American, juni 1980 nummer: Fångandet av monstret: en matematisk grupp med ett löjligt antal element