Midsphere

En polyeder och dess mellansfär. De röda cirklarna är gränserna för sfäriska hattar inom vilka sfärens yta kan ses från varje vertex.

Kub och dubbel oktaeder med gemensam mellansfär

I geometri är mittsfären eller intersfären av en konvex polyeder en sfär som tangerar varje kant av polyedern. Inte varje polyeder har en mellansfär, men de enhetliga polyedrarna , inklusive de reguljära , kvasireguljära och halvregelbundna polyedrarna och deras dualer har alla mellansfärer. Midsfärens radie kallas midradien. En polyeder som har en mellansfär sägs vara mittskriven kring denna sfär.

När en polyeder har en mellansfär kan man bilda två vinkelräta cirkelpackningar på mellansfären, en som motsvarar angränsningarna mellan hörn på polyederen och den andra motsvarar på samma sätt dess polära polyeder , som har samma mellansfär. Längden på varje polyederkant är summan av avstånden från dess två ändpunkter till deras motsvarande cirklar i denna cirkelpackning.

För varje konvex polyeder finns det en kombinatoriskt ekvivalent polyeder, den kanoniska polyedern , som har en mittsfär, centrerad vid tyngdpunkten för kanternas tangenspunkter. Numeriska approximationsalgoritmer kan konstruera det, men dess koordinater kan inte representeras exakt som ett uttryck i sluten form . Vilken kanonisk polyeder som helst och dess polära dubbel kan användas för att bilda två motsatta ytor av en fyrdimensionell antiprisma .

Definition och exempel

En mellansfär av en tredimensionell konvex polyeder definieras som en sfär som tangerar varje kant av polyedern. Det vill säga, varje kant måste röra den, vid en inre punkt av kanten, utan att korsa den. På motsvarande sätt är det en sfär som innehåller den inskrivna cirkeln av varje yta av polyedern. När en mellansfär existerar är den unik. Inte varje konvex polyeder har en mellansfär; för att ha en mellansfär måste varje yta ha en inskriven cirkel (det vill säga det måste vara en tangentiell polygon ), och alla dessa inskrivna cirklar måste tillhöra en enda sfär. Till exempel har en rektangulär kuboid en mittsfär bara när den är en kub, eftersom den annars har icke-fyrkantiga rektanglar som ytor, och dessa har inte inskrivna cirklar.

För en enhetskub centrerad vid utgångspunkten för det kartesiska koordinatsystemet , med hörn vid de åtta punkterna ${2}},\pm {\tfrac {1}{2}})} ,$ ${\textstyle (\pm {\tfrac {1}{2}}, \pm {\tfrac$ $\displaystyle 1/{\sqrt {2} }}$ kanternas mittpunkter är på avstånd från ursprunget. Därför, för denna kub, är mittsfären centrerad vid origo, med radien $\textstyle 1/{\sqrt {2}}$ . Detta är större än radien för den inskrivna sfären , ${\textstyle 1/2}$ $3/4}}}$ textstyle { \ . Mer generellt, för alla platonska kroppar med kantlängd $\ell$ , är mittradien

${\tfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}\ell$ för en vanlig tetraeder ,
${\tfrac {1}{2}}\ell$ för en vanlig oktaeder ,
${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\ell$ för en vanlig kub,
${\tfrac {\varphi }{2}}\ell$ för en vanlig ikosaeder , där $\varphi$ betecknar det gyllene snittet , och
${\tfrac {\varphi ^{2}}{2}}\ell$ för en vanlig dodekaeder .

De enhetliga polyedrarna , inklusive de regelbundna , kvasireguljära och halvregelbundna polyedrarna och deras dualer har alla mellansfärer. I de vanliga polyedrarna existerar alla den inskrivna sfären, mellansfären och den omskrivna sfären och är koncentriska , och mellansfären berör varje kant vid dess mittpunkt.

Inte varje oregelbunden tetraeder har en mellansfär. De tetraedrar som har en mellansfär har kallats "Crelles tetraedrar"; de bildar en fyrdimensionell underfamilj av det sexdimensionella rummet av alla tetraedrar (som parametriseras av deras sex kantlängder). Närmare bestämt är Crelles tetraedrar exakt de tetraedrar som bildas av mitten av fyra sfärer som alla externt tangerar varandra. I detta fall är tetraederns sex kantlängder de parvisa summorna av dessa sfärers fyra radier. Mittsfären av en sådan tetraeder rör vid dess kanter vid de punkter där två av de fyra genererande sfärerna tangerar varandra, och är vinkelrät mot alla fyra genererande sfärer.

Egenskaper

Tangentcirklar

Om $O$ är mittsfären av en konvex polyeder $P$ , så är skärningspunkten mellan $O$ och valfri yta av $P$ en cirkel som ligger inom ytan och som tangerar dess kanter vid samma punkter där mittsfären är tangent. Således har varje yta av $P$ en inskriven cirkel, och dessa cirklar tangerar varandra exakt när ytorna de ligger i delar en kant. (Men inte alla system av cirklar med dessa egenskaper kommer från midspheres.)

Dualt, om $v$ är en vertex av $P$ , så finns det en kon som har sin spets vid $v$ och som tangerar $O$ i en cirkel; denna cirkel bildar gränsen för en sfärisk mössa inom vilken sfärens yta är synlig från spetsen. Det vill säga, cirkeln är mellansfärens horisont sett från spetsen. Cirklarna som bildas på detta sätt tangerar varandra exakt när de hörn de motsvarar är förbundna med en kant.

Dualitet

Om en polyeder $P$ har en mellansfär $O , så$ har den polära polyedern med avseende på $O också$ $O$ som sin mellansfär. Ytplanen för den polära polyedern passerar genom cirklarna på $O$ som tangerar koner som har $P: s hörn$ som sina spetsar. Kanterna på den polära polyedern har samma tangenspunkter som mellansfären, vid vilka de är vinkelräta mot kanterna på $P$ .

Kantlängder

För en polyeder med en mellansfär är det möjligt att tilldela varje vertex ett reellt tal (kransens styrka i förhållande till mellansfären) som är lika med avståndet från den spetsen till tangenspunkten för varje kant som berör den. För varje kant är summan av de två siffrorna som tilldelats dess ändpunkter bara kantens längd. Till exempel kan Crelles tetraedrar parametriseras av de fyra talen som på detta sätt tilldelas deras fyra hörn, vilket visar att de bildar en fyrdimensionell familj.

När en polyeder med en mittsfär har en Hamiltonsk cykel , kan summan av längderna av kanterna i cykeln delas upp på samma sätt i två gånger summan av topparnas styrkor. Eftersom denna summa av potenser av hörn inte beror på valet av kanter i cykeln, har alla Hamiltonska cykler lika långa.

Kanonisk polyeder

En starkare form av cirkelpackningssatsen , om att representera plana grafer genom system av tangentcirklar, säger att varje polyedrisk graf kan representeras av en polyeder med en mittsfär. En kanonisk polyeders horisontcirklar kan omvandlas, genom stereografisk projektion , till en samling cirklar i det euklidiska planet som inte korsar varandra och tangerar varandra exakt när de hörn de motsvarar är intilliggande. Däremot finns det polyedrar som inte har en likvärdig form med en inskriven sfär eller omskriven sfär.

Vilka två konvexa polyedrar som helst med samma ytnät och samma mellansfär kan omvandlas till varandra genom en projektiv transformation av tredimensionellt rymd som lämnar mellansfären i samma position. Begränsningen av denna projektiva transformation till mellansfären är en Möbius-transformation . Denna transformation kan väljas så att mellansfären är enhetssfären och så att tyngdpunkten för tangenspunkterna är i sfärens centrum; detta ger en representation av den givna polyedern som är unik upp till kongruens , den kanoniska polyedern . Alternativt kan en transformerad polyeder som maximerar det minsta avståndet för en vertex från mittsfären hittas i linjär tid ; den kanoniska polyedern som väljs på detta sätt har maximal symmetri bland alla val av den kanoniska polyedern. För polyedrar med en icke-cyklisk grupp av orienteringsbevarande symmetrier sammanfaller de två valen av transformation. Till exempel är den kanoniska polyedern i en kuboid en kub, med avståndet från dess tyngdpunkt till dess kantmittpunkter lika med ett och dess kantlängd lika med ${\sqrt {2}}$ .

Konstruktion

En numerisk approximation till den kanoniska polyedern för en given polyedrisk graf kan konstrueras genom att representera grafen och dess dubbla graf som vinkelräta cirkelpackningar i det euklidiska planet, använda en stereografisk projektion för att omvandla den till ett par cirkelpackningar på en sfär, söka numeriskt för en Möbius-transformation som för korsningspunkternas tyngdpunkt till sfärens centrum och placerar polyederns hörn vid punkter i rymden som har den transformerade packningens dubbla cirklar som sina horisonter. Emellertid kan koordinaterna och radierna för cirklarna i cirkelpackningssteget vara icke-konstruerbara tal som inte har något exakt uttryck i sluten form med aritmetiska och $n$ th-rotoperationer.

Alternativt fungerar en enklare numerisk metod för att konstruera den kanoniska polyedern som föreslagits av George W. Hart direkt med koordinaterna för polyederns hörn, och justerar deras positioner i ett försök att få kanterna att ha samma avstånd från origo, för att göra punkterna till minimum avstånd från ursprunget har ursprunget som sin tyngdpunkt, och för att få polyederns ytor att förbli plana. Till skillnad från cirkelpackningsmetoden har detta inte visat sig konvergera till den kanoniska polyedern, och det är inte ens garanterat att producera en polyeder som är kombinatoriskt likvärdig med den givna, men det verkar fungera bra på små exempel.

Ansökningar

Den kanoniska polyedern och dess polära dubbla kan användas för att konstruera en fyrdimensionell analog av ett antiprisma , vars ena av två motsatta ytor är kombinatoriskt ekvivalent med vilken som helst given tredimensionell polyeder. Det är okänt om varje tredimensionell polyeder kan användas direkt som en yta av ett fyrdimensionellt antiprisma, utan att ersätta det med dess kanoniska polyeder, men det är inte alltid möjligt att göra det med både en godtycklig tredimensionell polyeder och dess polär dubbel.

Bura ett ägg

Mellanklotet i konstruktionen av den kanoniska polyedern kan ersättas av vilken slät konvex kropp som helst . Givet en sådan kropp har varje polyeder en kombinatoriskt ekvivalent realisering vars kanter tangerar denna kropp. Detta har beskrivits som att "bura ett ägg": den släta kroppen är ägget och den polyedriska insikten är dess bur. Dessutom, fixering av tre kanter av buren för att ha tre specificerade tangenspunkter på ägget gör att denna insikt blir unik.

Se även

Ideal polyhedron , en hyperbolisk polyeder där varje vertex ligger på sfären i oändlighet

Anteckningar

Aravind, PK (mars 2011), "Hur sfäriska är arkimediska fasta ämnen och deras dualer?", The College Mathematics Journal , 42 (2): 98–107, doi : 10.4169/college.math.j.42.2.098 , JSTOR 10.4169/college.math.j.42.2.098 , MR 2793141 , S2CID 116393034 , Zbl 1272.97023
Bannister, Michael J.; Devanny, William E.; Eppstein, David ; Goodrich, Michael T. (2015), "The Galois complexity of graph drawing: why numerical solutions are ubiquitous for force-directed, spectral and circle packing drawings", Journal of Graph Algorithms & Applications , 19 (2): 619–656 , arXiv : 1408.1422 , doi : 10.7155/jgaa.00349 , MR 3430492 , Zbl 1328.05128
Bern, M.; Eppstein, D. (2001), "Optimal Möbius transformations for information visualization and meshing", Proceedings of the 7th Workshop on Algorithms and Data Structures , Lecture Notes in Computer Science, vol. 2125, Providence, Rhode Island: Springer-Verlag , s. 14–25, arXiv : cs.CG/0101006 , doi : 10.1007 / 3-540-44634-6_3 , MR 1936397 , S2623ID .903
Byer, Owen D.; Smeltzer, Deirdre L. (2015), "Mutually tangent spheres in $n$ -space", Mathematics Magazine , 88 (2): 146–150, doi : 10.4169/math.mag.88.2.146 , JSTOR 10.4169/math.mag. 88.2.146 , MR 3359040 , Zbl 1325.51011
Coxeter, HSM (1973), "2.1 Regular polyhedra; 2.2 Reciprocation" , Regular Polytopes (3rd ed.), Dover, s. 16–17, ISBN 0-486-61480-8 , MR 0370327
Cundy, HM; Rollett, AP (1961), Mathematical Models (2nd ed.), Oxford University Press, s. 79, 117, MR 0124167 , Zbl 0095.38001
Fetter, Hans L. (2012), "En polyeder full av överraskningar", Mathematics Magazine , 85 (5): 334–342, doi : 10.4169/math.mag.85.5.334 , JSTOR 10.4169/math.mag.85.5. 334 , MR 3007214 , S2CID 118482074 , Zbl 1274.52018
Grünbaum, Branko (2005), "Är prismor och antiprismor verkligen tråkiga? (Del 3)" (PDF) , Geombinatorics , 15 (2): 69–78, MR 2298896 , Zbl 1094.52007
Hart, George W. (1997), "Calculating canonical polyhedra" , Mathematica in Education and Research , 6 (3): 5–10
Koebe, Paul (1936), "Kontaktprobleme der Konformen Abbildung", Ber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Phys. Kl. , 88 : 141–164, JFM 62.1217.04 , Zbl 0017.21701
László, Lajos (2017), " An inequality and some equalities for the midradius of a tetrahedron" (PDF) , Annales Universitatis Scientiarum Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae , 46 : 165–176, MR 3722672 1319.bl 1319 .
Liu, Jinsong; Zhou, Ze (2016), "How many cages midscribe an egg", Inventiones Mathematicae , 203 (2): 655–673, doi : 10.1007/s00222-015-0602-z , MR 3455159 , Zbl 20109 .5 20109
Mohar, Bojan (1993), "A polynomial time circle packing algorithm", Discrete Mathematics , 117 (1–3): 257–263, doi : 10.1016 /0012-365X(93)90340-Y , MR 85 Zbl .5207
Pugh, Anthony (1976), Polyhedra: A Visual Approach , University of California Press, sid. 4, ISBN 9780520030565 , MR 0451161 , Zbl 0387.52006
Sachs, Horst (1994), "Coin graphs, polyhedra, and conformal mapping", Discrete Mathematics , 134 (1–3): 133–138, doi : 10.1016/0012-365X(93)E0068-F , MR 230 , Zbl . 0808.05043
Schramm, Oded (1992), "How to cage an egg", Inventiones Mathematicae , 107 (3): 543–560, Bibcode : 1992InMat.107..543S , doi : 10.1007 /BF01231901 18C 1901 18C 01901 1801 1801 1992 3 , Zbl 0726.52003
Springborn, Boris A. (2005), "A unique representation of polyhedral types: Centrering via Möbius transformations", Mathematische Zeitschrift , 249 (3): 513–517, arXiv : math/0401005 , doi : 10.1007/s00209-071304 -5 , MR 2121737 , S2CID 7624380 , Zbl 1068.52015
Steinitz, E. (1928), "Über isoperimetrische Probleme bei konvexen Polyedern", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 159 : 133–143, JFM 54.0527.04 , MR 1581158
Wheeler, Roger F. (december 1958), "25. Quadrilaterals", Classroom Notes, The Mathematical Gazette , 42 (342): 275–276, doi : 10.2307/3610439 , JSTOR 3610439
Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes , Graduate Texts in Mathematics, vol. 152, Springer-Verlag, s. 117–118, ISBN 0-387-94365-X , MR 1311028 , Zbl 0823.52002
Ziegler, Günter M. (2007), "Konvexa polytoper: extrema konstruktioner och $f$ -vektorformer", i Miller, Ezra; Reiner, Victor; Sturmfels, Bernd (red.), Geometric Combinatorics , IAS/Park City Mathematics Series, vol. 13, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, s. 617–691, arXiv : math/0411400 , doi : 10.1090/pcms/013/10 , MR 2383133 , Zbl 1134.5201