Divisor

Den här artikeln handlar om ett heltal som är en faktor av ett annat heltal. För ett tal som används för att dividera ett annat tal i en divisionsoperation, se Division (matematik) . För annan användning, se Divisor (disambiguation) .

"Divisible" omdirigerar här. För delbarhet av grupper, se Delbar grupp .

Divisorerna för 10 illustrerade med Cuisenaire-stavar : 1, 2, 5 och 10

I matematik är en divisor av ett heltal $n$ , även kallad faktorn n ${\displaystyle n} ,$ ett heltal $m$ som kan multipliceras med något heltal för att producera $\displaystyle n }$ . I det här fallet säger man också att $n$ är en multipel av $m.$ Ett heltal $n$ är delbart eller jämnt delbart med ett annat heltal $m$ om $m$ är en divisor av $n$ ; detta innebär att dividera $n$ med $m$ lämnar ingen rest.

Definition

Ett heltal n är delbart med ett heltal som inte är noll m om det finns ett heltal k så att $n=km$ . Detta skrivs som

$m\mid n.$

Andra sätt att säga samma sak är att m delar n , m är en divisor av n , m är en faktor av n och n är en multipel av m . Om m inte delar n är notationen $m\not \mid n$ .

Vanligtvis krävs att m inte är noll, men n får vara noll. Med denna konvention, $m\mid 0$ för varje heltal som inte är noll m . Vissa definitioner utelämnar kravet att $m$ inte är noll.

Allmän

Delare kan vara negativa såväl som positiva, även om termen ibland är begränsad till positiva delare. Till exempel finns det sex delare av 4; de är 1, 2, 4, −1, −2 och −4, men endast de positiva (1, 2 och 4) brukar nämnas.

1 och −1 delar (är delare av) varje heltal. Varje heltal (och dess negation) är en divisor av sig själv. Heltal som är delbart med 2 kallas jämna , och heltal som inte är delbart med 2 kallas udda .

1, −1, n och − n är kända som triviala divisorer för n . En divisor av n som inte är en trivial divisor är känd som en icke-trivial divisor ( eller strikt divisor). Ett heltal som inte är noll med minst en icke-trivial divisor är känt som ett sammansatt tal , medan enheterna −1 och 1 och primtal inte har några icke-triviala divisorer.

Det finns delbarhetsregler som gör att man kan känna igen vissa delare av ett tal från numrets siffror.

Exempel

Rita upp antalet divisorer av heltal från 1 till 1000. Primtal har exakt 2 divisorer, och mycket sammansatta tal är i fetstil.

• 7 är en divisor av 42 eftersom ${\displaystyle 7\times 6=42} ,$ så vi kan säga $7\mid 42$ . Man kan också säga att 42 är delbart med 7, 42 är en multipel av 7, 7 delar 42 eller 7 är en faktor på 42.
• De icke-triviala divisorerna för 6 är 2, −2, 3, −3.
• De positiva dividerarna för 42 är 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• Uppsättningen av alla positiva delare av 60, $1,2,3,4 ,5,6,10,12,15,20,30,60\}}$ { , delvis ordnad efter delbarhet, har Hasse-diagrammet :

Ytterligare föreställningar och fakta

Det finns några elementära regler:

• Om $a\mid b$ och $b\mid c$ , så är $a\mid c$ , dvs delbarhet en transitiv relation .
• Om $a\mid b$ och $b\mid a$ , då $a=b$ eller $a=-b$ .
• Om $a\mid b$ och $a\mid c$ , så gäller $a\mid (b+c)$ , liksom $a\mid (bc)$ . Men om $a\mid b$ och $c\mid b$ , så gör $(a+c)\mid b$ inte alltid håll (t.ex. $2\mid 6$ och $3\mid 6$ men 5 delar inte 6).

Om $a\mid bc$ , och $\gcd(a,b)=1$ , då $a\mid c$ . Detta kallas Euklids lemma .

Om $p$ är ett primtal och $p\mid ab$ så $p\mid a$ eller $p\mid b$ .

En positiv divisor av $n$ som skiljer sig från $n$ kallas en riktig divisor eller en alikvot del av $n$ . Ett tal som inte delar ${\displaystyle n} jämnt$ utan lämnar en rest kallas ibland en aliquant del av $n$ .

Ett heltal $n>1$ vars enda riktiga divisor är 1 kallas ett primtal . På motsvarande sätt är ett primtal ett positivt heltal som har exakt två positiva faktorer: 1 och sig själv.

Alla positiva delare av $n$ är en produkt av primtalsdelare av $n$ upphöjda till någon potens. Detta är en följd av aritmetikens grundsats .

Ett tal $n$ sägs vara perfekt om det är lika med summan av dess korrekta divisorer, bristfälligt om summan av dess korrekta divisorer är mindre än $n$ , och rikligt om denna summa överstiger ${\ displaystil n}$ .

Det totala antalet positiva delare av $n$ är en multiplikativ funktion $d(n)$ , vilket betyder att när två tal $m$ och $n$ är relativt prime , sedan $d(mn)=d(m)\ gånger d(n)$ . Till exempel, $d(42)=8=2\gånger 2\gånger 2=d( 2)\ gånger d(3)\ gånger d(7)$ ; de åtta divisorerna för 42 är 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 och 42. Antalet positiva divisorer är dock inte en helt multiplikativ funktion: om de två talen m {\displaystyle m $och$ n $\ displaystyle n}$ delar en gemensam divisor, då kanske det inte är sant att $d(mn)=d(m)\ gånger d(n)$ . Summan av de positiva divisorerna för $n$ är en annan multiplikativ funktion $\sigma (n)$ (t.ex. ${\displaystyle \sigma (42)=96=3\ gånger 4\ gånger 8=\sigma (2)\ gånger \sigma (3)\ gånger \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42} )$ . Båda dessa funktioner är exempel på divisorfunktioner .

Om primtalsfaktoriseringen av $n$ ges av

$n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}$

är antalet positiva delare för $n$

$d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2} +1)\cdots (\nu _{k}+1),$

och var och en av divisorerna har formen

$p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k} ^{\mu _{k}}$

där $0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}$ för varje $1\leq i\leq k.$

För varje naturligt $n$ , $d(n)<2{\sqrt {n}}$ .

Också,

$d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}).$

där $\gamma$ är Euler–Mascheroni-konstanten . En tolkning av detta resultat är att ett slumpmässigt valt positivt heltal n har ett genomsnittligt antal divisorer på ungefär $\ln n$ . Detta är dock ett resultat av bidragen från tal med "onormalt många" divisorer .

I abstrakt algebra

Ringteori

Huvudartikel: Delbarhet (ringteori)

Divisionsgaller

Huvudartikel: Divisionsgitter

I definitioner som inkluderar 0, förvandlar relationen av delbarhet mängden $\mathbb {N}$ av icke-negativa heltal till en partiellt ordnad mängd : ett fullständigt distributivt gitter . Det största elementet i detta gitter är 0 och det minsta är 1. Meetoperationen ∧ ges av den största gemensamma divisorn och joinoperationen ∨ av den minsta gemensamma multipeln . Detta gitter är isomorft mot dualen av gittret av undergrupper av den oändliga cykliska gruppen $\mathbb {Z}$ .

Se även

• Aritmetiska funktioner
• Euklidisk algoritm
• Bråk (matematik)
• Tabell över divisorer — En tabell över primtal och icke-primtalsdelare för 1–1000
• Tabell över primtalsfaktorer — En tabell över primtalsfaktorer för 1–1000
• Enhetsdelare

Anteckningar

•   Durbin, John R. (2009). Modern Algebra: An Introduction (6:e upplagan). New York: Wiley. ISBN 978-0470-38443-5 .
•   Richard K. Guy , Unsolved Problems in Number Theory (3:e upplagan), Springer Verlag , 2004 ISBN 0-387-20860-7 ; avsnitt B.
• Hardy, GH ; Wright, EM (1960). En introduktion till talteorin (4:e upplagan). Oxford University Press.
•   Herstein, IN (1986), Abstract Algebra , New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
•   Niven, Ivan ; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. (1991). En introduktion till talteorin (5:e upplagan). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-62546-9 .
• Øystein Ore , Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (och Dover-reprints).
•   Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach , New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9