Punktvis konvergens

I matematik är punktvis konvergens en av olika betydelser där en sekvens av funktioner kan konvergera till en viss funktion. Den är svagare än enhetlig konvergens , som den ofta jämförs med.

Definition

Antag att $X$ är en mängd och $Y$ är ett topologiskt rum , som till exempel de reella eller komplexa talen eller ett metriskt rum . Ett nät eller en sekvens av funktioner ${\displaystyle \left(f_{n}\right)} som$ alla har samma domän $X$ och kodomän $Y$ sägs konvergera punktvis till en given funktion $f:X\to Y$ ofta skriven som

$$\lim _{n\to \infty }f_{n}=f\ {\mbox{pointwise}}$$

om och endast om)

$$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x){\text{ för varje }}x{\text{ i domänen för }}f.$$

Funktionen $f$ sägs vara den punktvisa gränsfunktionen för $\left(f_{n}\right).$

Ibland använder författare termen avgränsad punktvis konvergens när det finns en konstant $C$ så att $\forall n,x,\;|f_{n}(x)|<C$ .

Egenskaper

Detta koncept kontrasteras ofta med enhetlig konvergens . Att säga att

$$\lim _{n\to \infty }f_{n}=f\ {\mbox{uniformly}}$$

betyder att

$$\lim _{n\to \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in A\,\}=0,$$

där $A$ är den gemensamma domänen för $f$ och $f_{n}$ , och $\sup$ står för supremum . Det är ett starkare uttalande än påståendet om punktvis konvergens: varje enhetligt konvergent sekvens är punktvis konvergent, till samma begränsande funktion, men vissa punktvis konvergenta sekvenser är inte enhetligt konvergent. Till exempel, om $f_{n}:[0,1)\to [0,1)$ är en sekvens av funktioner som definieras av $f_{n}(x)=x^{n},$ sedan $\lim _{n\to \infty }f_{n}( x)=0$ punktvis på intervallet $[0,1),$ men inte enhetligt.

Den punktvisa gränsen för en sekvens av kontinuerliga funktioner kan vara en diskontinuerlig funktion, men endast om konvergensen inte är enhetlig. Till exempel,

$$f(x)=\lim _{n\to \infty }\cos(\pi x)^{2n}$$

tar värdet $1$ när $x$ är ett heltal och $0$ när $x$ inte är ett heltal, och därför är diskontinuerligt vid varje heltal.

Värdena för funktionerna $f_{n}$ behöver inte vara reella tal, utan kan vara i vilket topologiskt utrymme som helst , för att begreppet punktvis konvergens ska vara vettigt. Enhetlig konvergens, å andra sidan, är inte vettigt för funktioner som tar värden i topologiska utrymmen i allmänhet, men är vettigt för funktioner som tar värden i metriska utrymmen , och, mer allmänt, i enhetliga utrymmen .

Topologi

Se även: Karakteriseringar av kategorin topologiska utrymmen

Låt $Y^{X}$ beteckna mängden av alla funktioner från någon given mängd $X$ till något topologiskt utrymme $Y.$ Som beskrivs i artikeln om karakteriseringar av kategorin topologiska utrymmen, om vissa villkor är uppfyllda är det möjligt att definiera en unik topologi på en uppsättning i termer av vad nät gör och inte konvergerar . Definitionen av punktvis konvergens uppfyller dessa villkor och så inducerar den en topologi , kallad topologin för punktvis konvergens , på mängden $Y^{X}$ av alla funktioner av formen $X\to Y.$ Ett nät i $Y^{X}$ konvergerar i denna topologi om och endast om det konvergerar punktvis.

Topologin för punktvis konvergens är densamma som konvergens i produkttopologin på utrymmet $Y^{X},$ där $X$ är domänen och $Y$ är koddomänen . Explicit, om ${\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}$ är en uppsättning funktioner från någon uppsättning $X$ till ett topologiskt utrymme $Y$ då topologin för punktvis konvergens på ${\mathcal {F}}$ är lika med subrymdstopologin som den ärver från produktutrymmet $\prod _{x\in X}Y$ när ${\mathcal {F}}$ identifieras som en delmängd av denna kartesiska produkt via den kanoniska inklusionskartan ${\mathcal {F}}\to \prod _{ x\in X}Y$ definierad av $f\mapsto (f(x))_{x\in X}.$

Om koddomänen $Y$ är kompakt , så är enligt Tychonoffs sats också utrymmet $Y^{X}$ kompakt.

Nästan överallt konvergens

I måttteorin talar man om nästan överallt konvergens av en sekvens av mätbara funktioner definierade på ett mätbart utrymme . Det betyder punktvis konvergens nästan överallt , det vill säga på en delmängd av domänen vars komplement har måttet noll. Egorovs teorem säger att punktvis konvergens nästan överallt på en uppsättning av ändliga mått innebär enhetlig konvergens på en något mindre mängd.

Nästan överallt definierar punktvis konvergens på funktionsutrymmet på ett måttutrymme inte strukturen för en topologi på utrymmet för mätbara funktioner på ett måttutrymme (även om det är en konvergensstruktur ). För i ett topologiskt utrymme, när varje efterföljd av en sekvens i sig själv har en följd med samma efterföljande gräns , måste sekvensen själv konvergera till den gränsen.

Men överväg sekvensen av så kallade "galopperande rektanglar"-funktioner, som definieras med hjälp av golvfunktionen : låt $N=\operatörsnamn {floor} \left(\log _{ 2}n\right)$ och $k=n$ mod $2^{X},$ och låt

$$f_{n}(x)={\begin{cases}1,&{\frac {k}{2^{N}}}\leq x\leq {\frac {k+1}{2^ {N}}}\\0,&{\text{annars}}.\end{fall}}$$

Då har varje underföljd av sekvensen $\left(f_{n}\right)_{n}$ en underföljd som själv konvergerar nästan överallt till noll, till exempel underföljden av funktioner som försvinner inte vid $x=0.$ Men inte vid något tillfälle konvergerar den ursprungliga sekvensen punktvis till noll. Till skillnad från konvergens i mått och $L^{p}$ konvergens , är punktvis konvergens nästan överallt inte konvergensen av någon topologi i funktionsutrymmet.

Se även

• Boxtopologi
• Konvergensutrymme – Generalisering av begreppet konvergens som finns i allmän topologi
• Cylindersats – naturlig grundsats i produktutrymmen Sidor som visar wikidata-beskrivningar som reserv
• Lista över topologier – Lista över konkreta topologier och topologiska rum
• Konvergenslägen (kommenterat index) – Annoterat index över olika konvergenslägen
• Topologier på utrymmen av linjära kartor
• Svag topologi – Matematisk term
• Svag-* topologi – Matematisk term Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål